Migne Patrologia Latina Tomus 63
Boetiu.DeMus2 63 Boetius480-525 Parisiis J. P. Migne 1847 early modern edition, no apparatus this file was encoded in TEI xml for the University of Zurich's Corpus Corporum project (www.mlat.uzh.ch) by Ph. Roelli in 2013 Classical Latin orthography latin
Quae in margine Glareani editionis e regione textus notata sunt, nos ad columnarum nostrarum calcem exscripsimus.
LIBER PRIMUS.
CAPUT PRIMUM. Musicam naturaliter nobis esse conjunctam, et mores vel honestare vel evertere.
Omnium quidem perceptio sensuum, ita sponte ac naturaliter quibusdam viventibus adest, ut sine his animal non possit intelligi. Sed non aeque eorumdem cognitio ac firma perceptio animi investigatione colligitur. Illaboratum est enim quod sensum percipiendis sensibilibus rebus adhibemus. Quae vero sit ipsorum sensuum secundum quos agimus natura, et quae rerum sensibilium proprietas, id non obvium neque cuilibet explicabile esse potest, nisi quem conveniens investigatio veritatis contemplatione direxerit. Adest enim cunctis mortalibus visus, qui utrum venientibus ad visum figuris, an ad sensibilia radiis emissis efficiatur, inter doctos quidem dubitabile est, vulgus quoque ipsa dubitatio praeterit. Rursus cum quis triangulum respicit, vel quadratum, facile id quod oculis invenitur agnoscit. Sed quaenam trianguli vel quadrati sit natura, a mathematico necesse est petat. Idemque de caeteris sensibus dici potest, maximeque de arbitrio aurium, quarum vis ita sonos captat, ut non modo de his judicium capiat, differentiasque cognoscat, verum etiam delectetur saepius, si dulces coaptatique modi sint, angatur vero, si dissipati atque incohaerentes feriant sensum. Unde fit, ut cum sint quatuor matheseos disciplinae, caeterae quidem ad investigationem veritatis laborent; musica vero non modo speculationi, verum etiam moralitati conjuncta sit. Nihil est enim tam proprium humanitati, quam remitti dulcibus modis astringique contrariis. Idque non modo sese in singulis vel studiis vel aetatibus tenet, verum per cuncta diffunditur studia, et infantes ac juvenes, necnon etiam senes, ita naturaliter affectu quodam spontaneo modis musicis adjunguntur, ut nulla omnino sit aetas quae a cantilenae dulcis delectatione sejuncta sit. Hinc etiam internosci potest, quod non frustra a Platone dictum est, mundi animam, musica convenientia fuisse conjunctam. Cum enim ex eo quod in nobis est junctum convenienterque coaptatum, illud excipimus, quod in sonis apte convenienterque conjunctum est, eoque delectamur, nos quoque ipsos eadem similitudine compactos esse cognoscimus. Amica est enim similitudo. Dissimilitudo vero odiosa atque contraria. Hinc etiam morum quoque maxime permutationes fiunt. Lascivus quippe animus, vel ipse lascivioribus delectatur modis, vel saepe eosdem audiens cito emollitur, at frangitur. Rursus asperior mens vel incitatioribus gaudet, vel incitatioribus asperatur. Hinc est etiam quod modi musici gentium vocabulo designati sunt, ut Lydius modus, et Phrygius. Quo enim quasi unaquaeque gens gaudet, eodem modus ipse vocabulo nuncupatur. Gaudet enim gens modis morum similitudine. Neque enim fieri potest ut mollia duris, dura mollioribus adnectantur aut gaudeant. Sed amorem delectationemque (ut dictum est) similitudo conciliat. Unde Plato etiam maxime cavendum existimat, ne de bene morata musica aliquid permutetur. Negat enim esse ullam tantam morum in republica labem, quam paulatim de pudenti ac modesta musica invertere. Statim enim idem quoque audientium animos pati, paulatimque discedere, nullumque honesti ac recti retinere vestigium, si vel per lasciviores modos inverecundum aliquid, vel per asperiores ferox atque immane mentibus illabatur. Nulla enim magis ad animum disciplinis via, quam auribus patet. Cum ergo per eas rhythmi modique ad animum usque descenderint, dubitari non potest quin aequo modo mentem atque ipsa sunt efficiant atque conforment. Id vero etiam intelligi in gentibus potest. Nam quae asperiores sunt Getarum, durioribus delectantur modis. Quae vero mansuete, mediocribus, quanquam id hoc tempore pene nullum est. Quod vero lascivum ac molle est genus humanum, id totum scenicis ac theatralibus modis tenetur. Fuit vero pudens ac modesta musica, dum simplicioribus organis ageretur. Ubi vero varie permixteque tractata est, amisit gravitatis atque virtutis modum, et pene in turpitudinem prolapsa, minimum antiquam speciem servat. Unde Plato praecipit minime oportere pueros ad omnes modos erudiri, sed potius ad valentes ac simplices. Atque hic maxime illud est retinendum, quod si quoquo modo per parvissimas mutationes hinc aliquid permutaretur, recens quidem minime sentiri, post vero magnam facere differentiam, et per aures ad animum usque delabi. Idcirco magnam esse custodiam reipub. Plato arbitratur, musicam optime moratam pudenterque conjunctam, ita ut sit modesta ac simplex, et mascula, nec effeminata, nec fera, nec varia. Quod Lacedaemonii maxima ope servavere, dum apud eos Taletas Cretensis Gortinus magno pretio accitus, pueros disciplina musicae artis imbueret. Fuit enim id antiquis in morem, diuque permansit. Quoniam vero eis Timotheus Milesius super eas quas ante repererat unum addidit nervum, ac multipliciorem musicam fecit, exegere de laconica. Consultumque de eo factum est. Quod quoniam insigne est Spartiatarum lingua S litteram in R vertentium, ipsum de eo consultum eisdem verbis Graecis apposui.
Ἐπειδὴ Τιμόθεορ ὁ Μιλήσιορ, ἐλθὼν ἐττὰν ἁμετέραν πόλιν, τὰν παλαιὰν μολπὴν ἀτιμάσδει, καὶ τὰν διὰ τᾶν ἑπτὰ χορδᾶν κιθαρίζειν ἀποστρεφόμενορ, πολυφωνίαν εἰσάγων λυμαίνεται τὰρ ἀκοὰρ τῶν νέων, διά τε τᾶρ πολυχορδίαρ καὶ τᾶρ καινότητορ τῶ μέλεορ, ἀγεννῆ καὶ ποικίλαν ἀντὶ ἁπλόαρ καὶ τεταγμέναρ ἀμφιέννυται τὰν μοῦσαν, ἐπὶ χρώματος συνιστάμενος τὰν τῶ μέλεορ διασκευὰν, ἀντὶ τᾶρ ἐναρμονίω ποιῶν ἀντίστροφον ἀμοιβάν· παρακλαθεὶς δὲ καὶ ἐττὸν ἀγῶνα τᾶρ Ἐλευσινίαρ Δάματρορ ἀπρεπῆ διεσκεύσατο τὰν τῶ μυθὼ διασκευὰν, τὰρ γὰρ τᾶρ Σεμέλαρ ὠδῖναρ οὐκ ἔνδεκα τὼρ νέωρ δίδασκε. Δέδοκται ὑπὲρ τούτων τῶρ βασιλέαρ καὶ τῶρ ἐφόρωρ μέμψασθαι Τιμόθεον. κ. τ. λ.
Quod consultum id scilicet continet, idcirco Timotheo Milesio Spartiatas succensuisse, quod multiplicem musicam reddens puerorum animis quos acceperat erudiendos, officeret, et a virtutis modestia praepediret, et quod harmoniam, quam modestam susceperat, in genus chromaticum, quod est mollius, invertisset. Tanta igitur fuit apud eos musicae diligentia, ut eam animos quoque obtinere arbitrarentur. Vulgatum quippe est, quam saepe iracundias cantilena represserit, quam multa vel in corporum, vel in animorum affectionibus miranda perfecerit. Cui enim est illud ignotum, quod Pythagoras ebrium adolescentem Taurominitanum sub Phrygii modi sono incitatum, spondeo succinente reddiderit mitiorem et sui compotem. Nam cum scortum in rivalis domo esset clausum, atque ille furens domum vellet amburere, cumque Pythagoras stellarum cursus (ut ei mos nocturnus erat) inspiceret, ubi intellexit sono Phrygii modi incitatum, multis amicorum admonitionibus a facinore noluisse desistere, mutari modum praecepit atque ita furentis animum adolescentis ad statum mentis pacatissimae temperavit. Quod scilicet Marcus Tullius commemorat in eo libro quem de consiliis suis composuit, aliter quidem, sed hoc modo. Sed ut aliqua similitudine adductus, maximis minima conferam, ut cum vinolenti adolescentes tibiarum etiam cantu (ut fit) instincti, mulieris pudicae fores frangerent, admonuisse tibicinam ut spondeum caneret Pythagoras dicitur; quod cum illa fecisset, tarditate modorum et gravitate canentis, illorum furentem petulantiam consedasse. Sed ut similia breviter exempla conquiram. Terpander atque Arion Methimneus Lesbios atque Iones, gravissimis morbis, cantus eripuere praesidio. Hismenias vero Thebanus Boetiorum pluribus, quos schiatici doloris tormenta vexabat, modis fertur cunctas abstersisse molestias. Sed et Empedocles cum ejus hospitem quidam gladio furibundus invaderet, quod ejus patrem ille accusatione damnasset, inflexisse dicitur modum canendi, itaque adolescentis iracundiam temperasse. In tantum vero priscae philosophiae studiis vis musicae artis innotuit, ut Pythagorici, cum diurnas in somno resolverent curas, quibusdam cantilenis uterentur, ut eis lenis et quietus sopor irreperet. Itaque experrecti, aliis quibusdam modis stuporem somni confusionemque purgabant. Id nimirum scientes, quod tota nostrae animae corporisque compago musica coaptatione conjuncta sit. Nam ut sese corporis habet affectus, ita etiam pulsus cordis motibus incitantur. Quod scilicet Democritus Hippocrati medico tradidisse fertur, cum eum quasi insanum cunctis Democriti civibus id opinantibus, in custodia medendi causa viseret. Sed quorsum ista haec? Quia non potest dubitari quin nostrae animae et corporis status, eisdem quodammodo proportionibus videatur esse compositus, quibus harmonicas modulationes posterior disputatio conjungi copularique monstrabit. Inde est enim quod infantes quoque cantilena dulcis oblectat. Aliquid vero asperum atque immite, ab audiendi voluptate suspendit. Nimirum id etiam omnis aetas patitur, omnisque sexus. Quae licet suis actibus distributa sint, una tamen musicae delectatione conjuncta sunt. Quid enim fit, cum in fletibus luctus ipsos modulantur dolentes? Quod maxime muliebre est, ut cum cantico quodam dulcior fiat causa flendi. Id vero etiam fuit antiquis in morem, ut cantus tibiae luctibus praeiret. Testis est Papinius Statius hoc versu: Cornu grave mugit adunco, Tibia cui teneros suetum producere manes. Et qui suaviter canere non potest, sibi tamen aliquid canit, non quod eum aliqua voluptate id quod canit afficiat, sed quod quamdam insitam dulcedinem ex animo proferentis quoquomodo proferant, delectantur. Nonne illud etiam manifestum est, in bellum pugnantium animos tubarum carmine accendi? Quod si verisimile est, ab animi pacato statu, quemquam ad furorem atque iracundiam posse proferri. Non est dubium, quod conturbatae mentis iracundiam, vel nimiam cupiditatem modestior modus possit astringere. Quid quod cum aliquis cantilenam libentius auribus atque animo capit, ad illud etiam non sponte convertitur, ut motum quoque aliquem similem auditae cantilenae corpus effingat, et quod omnino aliquod melos auditum sibi memor animus ipse decerpat? Ut ex his omnibus perspicue nec dubitanter appareat, ita quidem nobis musicam naturaliter esse conjunctam, ut ea ne si velimus quidem carere possimus. Quocirca intendenda vis mentis est, ut id quod natura est insitum, scientia quoque possit comprehensum teneri. Sicut enim in visu quoque non sufficit eruditis colores formasque conspicere, nisi etiam quae sit horum proprietas investigaverint: sic non sufficit cantilenis musicis delectari, nisi etiam quali inter se conjunctae sint vocum proportione discatur.
CAPUT II. Tres esse musicas, in quibus de vi musicae narratur. Principio igitur de musica disserenti, illud interim dicendum videtur, quot musicae genera ab ejus studiosis comprehensa esse noverimus. Sunt autem tria. Et prima quidem mundana est; secunda vero humana; tertia quae in quibusdam constituta est instrumentis, ut in cithara vel in tibiis, caeterisque quae cantilenae famulantur. Et primum ea quae est mundana in his maxime perspicienda est quae in ipso coelo, vel compage elementorum, vel temporum varietate visuntur. Qui enim fieri potest, ut tam velox coeli machina tacito silentique cursu moveatur? Et si ad nostras aures sonus ille non pervenit, quod multis fieri de causis necesse est, non poterit tamen motus tam velocissimus ita magnorum corporum, nullos omnino sonos ciere, cum praesertim tanta sint stellarum cursus coaptatione conjuncti, ut nihil aeque compaginatum, nihil ita commixtum possit intelligi. Namque alii excelsiores, alii inferiores feruntur, atque ita omnes aequali incitatione volvuntur, ut per dispares inaequalitates ratus cursuum ordo ducatur. Unde non potest ab hac coelesti vertigine ratus ordo modulationis absistere. Jam vero quatuor elementorum diversitates contrariasque potentias, nisi quaedam harmonia conjungeret, qui fieri posset, ut in unum corpus ac machinam convenirent? Sed haec omnis diversitas ita et temporum varietatem parit et fructuum, ut tamen unum anni corpus efficiat. Unde si quid horum, quae tantam varietatem rebus ministrant, animo et cogitatione discerpas, cuncta pereant, nec (ut ita dicam) quidquam consonum servent. Et ut in gravibus chordis is vocis est modus, ut non ad taciturnitatem gravitas usque descendat, atque in acutis ille custoditur acuminis modus, ne nervi nimium tensi vocis tenuitate rumpantur, sed totum sibi sit consentaneum atque conveniens; ita etiam in mundi musica pervidemus, nihil ita nimium esse posse ut alterum propria nimietate dissolvat. Verum quidquid illud est, aut suos affert fructus, aut aliis auxiliatur ut afferant. Nam quod constringit hiems, ver laxat, torret aestas, maturat autumnus, temporaque vicissim vel ipsa suos afferunt fructus, vel aliis ut afferant subministrant. De quibus posterius studiosius disputandum est. Humanam vero musicam, quisquis in sese ipsum descendit, intelligit. Quid est enim quod illam incorpoream rationis vivacitatem corpori misceat, nisi quaedam coaptatio, et veluti gravium leviumque vocum, quasi unam consonantiam efficiens, temperatio? Quid est autem aliud quod ipsius inter se partes animae conjungat, quae (ut Aristoteli placet) ex rationabili irrationabilique conjuncta est? Quid vero quod corporis elementa permisceat, aut partes sibimet rata coaptatione contineat? Sed de hac quoque posterius dicam. Tertia est musica, quae in quibusdam consistere dicitur instrumentis. Haec vero administratur, aut intentione, ut nervis, aut spiritu, ut tibiis, vel his quae ad aquam moventur, aut percussione quadam, ut in his quae in concava quaedam virga aerea feriuntur, atque inde diversi efficiuntur soni. De hac igitur instrumentorum musica primum hoc opere disputandum videtur. Sed prooemii satis est. Nunc de ipsis musicae elementis est disserendum.
CAPUT III. De vocibus ac de musicae elementis. Consonantia, quae omnem musicae modulationem regit, praeter sonum fieri non potest. Sonus vero praeter quemdam pulsum percussionemque non redditur. Pulsus vero atque percussio nullo modo esse potest, nisi praecesserit motus. Si enim cuncta sint immobilia, non poterit alterum alteri concurrere, ut alterum impellatur ab altero. Sed cunctis stantibus motuque carentibus, nullum fieri necesse est sonum. Idcirco definitur sonus: Aeris percussio indissoluta usque ad auditum. Motuum vero alii sunt velociores, alii tardiores, eorumdemque motuum alii rariores sunt, alii spissiores. Nam si quis in continuum motum respiciat, ibi aut velocitatem aut tarditatem necesse est comprehendat. Sin vero quis moveat manum, aut frequenti eam motu movebit aut raro. Et si tardus quidem fuerit ac rarior motus, graves necesse est sonos effici ipsa tarditate et raritate pellendi. Sin vero motus sint celeres ac spissi, acutos reddi necesse est sonos. Idcirco enim idem nervus si intendatur amplius, acutum sonat; si remittatur, grave. Quando enim tensior est, velociorem pulsum reddit, celeriusque revertitur, et frequentius ac spissius aerem ferit. Qui vero laxior est, solutos ac tardos pulsus effert, rarusque ipsa imbecillitate feriendi, nec diutius tremit. Neque enim quotiens chorda pellitur, unus edi tantum putandus est sonus, aut unam in his esse percussionem, sed totiens aer feritur quotiens eum chorda tremebunda percusserit. Sed quoniam junctae sunt velocitates sonorum, nulla intercapedo sentitur auribus. Et unus sonus sensum pellit vel gravis, vel acutus, quamvis uterque ex pluribus constet, gravis quidem ex tardioribus et rarioribus, acutus vero ex celeribus ac spissis, veluti si conum, quem turbonem vocant, quis diligenter exornet, eique unam virgulam coloris rubri vel alterius ducat, et eum qua potest celeritate convertat, tunc totus conus rubro colore videtur infectus, non quod totus ita sit, sed quod partes puras rubrae virgae velocitas comprehendat, et apparere non sinat. Sed de his posterius. Igitur quoniam acutae voces spissioribus et velocioribus motibus incitantur, graves vero tardioribus ac raris, liquet additione quadam motuum ex gravitate acumen intendi, detractione vero motuum laxari ex acumine gravitatem. Ex pluribus enim motibus acumen, quam gravitas constat. In quibus autem pluralitas differentiam facit, eam necesse est in quadam numerositate consistere. Omnis vero paucitas ad pluralitatem ita sese habet, ut numerus ad numerum comparatus. Eorum vero quae secundum numerum conferuntur, partim sibi sunt aequalia, partim inaequalia. Quocirca soni quoque partim sunt aequales, partim vero sunt inaequalitate distantes. Sed in his vocibus, quae nulla inaequalitate discordant, nulla omnino consonantia est, etenim consonantia est dissimilium inter se vocum in unum redacta concordia.
CAPUT IV. De speciebus inaequalitatum. Quae vero sunt inaequalia, quinque inter se modis inaequalitatis momenta custodiunt. Aut enim alterum ab altero multiplicate transcenditur, aut singulis partibus, aut pluribus, aut multiplicitate et parte, aut multiplicitate et partibus. Et primum quidem inaequalitatis genus multiplex appellatur. Est vero multiplex ubi major numerus minorem numerum habet in se totum, vel bis, vel ter, vel quater, ac deinceps, nihilque deest, nihilque exuberat, appellaturque vel duplum, vel triplum, vel quadruplum, atque ad hunc ordinem in infinita progreditur. Secundum vero inaequalitatis genus est quod appellatur superparticulare, id est cum major numerus minorem numerum habet in se totum, et unam ejus aliquam partem, eamque vel dimidiam, ut tres duorum, et vocatur sesquialtera proportio, vel tertiam, ut quatuor ad tres, et vocatur sesquitertia. Ad hunc etiam modum in posterioribus numeris pars aliqua a majoribus super minores numeros continetur. Tertium vero genus inaequalitatis est, quotiens major numerus totum intra se minorem continet, et ejus aliquantas insuper partes, et si duas quidem supra continet, vocabitur proportio superbipartiens, ut sunt quinque ad tres. Sin vero tres super se continet, vocabitur supertripartiens, ut sunt septem ad quatuor. Et in caeteris quidem eadem similitudo esse potest. Quartum vero est inaequalitatis genus, quod ex multiplici et superparticulari conjungitur, cum scilicet major numerus habet in se minorem numerum, vel bis, vel ter, vel quotieslibet, atque ejus unam aliquam partem. Et si eum bis habet, et ejus dimidiam partem, vocabitur duplex sesquialter, ut sunt quinque ad duo. Sin vero bis minor continebitur, et ejus tertia pars, vocabitur duplex sesquitertius, ut sunt septem ad tres. Sin vero tertio continebitur, et ejus dimidia pars, vocabitur triplex sesquialiter, ut sunt septem ad duo. Atque ad eumdem modum in caeteris et multiplicitatis et superparticularitatis vocabula variantur. Quintum est genus inaequalitatis, quod appellatur multiplex superpartiens, quando major numerus minorem numerum habet in se totum plusquam semel, et ejus plusquam unam aliquam partem. Et si bis major numerus minorem numerum continebit, duasque ejus insuper partes, vocabitur duplex superbipartiens, ut sunt tres ad octo, et rursus triplex superbipartiens, ut sunt tres ad undecim. Ac de his idcirco nunc strictim ac breviter explicamus, quoniam in libris quos de Arithmetica Institutione conscripsimus, diligentius enodavimus.
CAPUT V. Quae inaequalitatis species consonantiis aptentur. Ex his igitur inaequalitatis generibus postrema duo, quoniam ex superioribus mixta sunt, relinquamus. De tribus vero prioribus speculatio facienda est. Obtinere igitur majorem ad consonantias potestatem videtur multiplex, consequenter autem superparticularis. Superpartiens vero ab harmoniae concinentia separatur, ut quibusdam praeter Ptolemaeum videtur.
CAPUT VI. Cur multiplicitas et superparticularitas consonantiis deputentur. Ea namque probantur comparationi consentanea, quae sunt natura simplicia. Et quoniam gravitas et acumen in quantitate consistunt, ea maxime videbuntur servare naturam concinentiae, quae discretae proprietatem quantitatis poterunt custodire. Nam cum sit alia quidem discreta quantitas, alia vero continua, ea quae discreta est in minimo quidem finita est, sed in infinitum per majora procedit. Namque in ea minima unitas eademque finita est. In infinitum vero modus pluralitatis augetur, ut numerus qui cum a finita incipiat unitate, crescendi non habet finem. Rursus quae est continua, tota quidem finita est, sed per infinita minuitur. Linea enim quae continua est, in infinita semper partitione dividitur. Cum sit ejus summa, vel bipedalis, vel quaecunque alia definita mensura. Quocirca numerus semper in infinita concrescit, continua vero quantitas in infinita minuitur. Multiplicitas igitur quoniam crescendi finem non habet, numeri maxime servat naturam. Superparticularitas autem, quoniam in infinitum minorem minuit, proprietatem servat continuae quantitatis. Minuit autem minorem, cum semper eum continet, et ejus vel dimidiam partem, vel tertiam, vel quartam, vel quintam. Nam semper pars a majore numero denominata ipsa decrescit. Nam cum tertia a tribus denominata sit, quarta vero a quatuor, cum quatuor tres superent, quarta potius quam tertia minutior invenitur. Superpartiens vero jam quodammodo a simplicitate discedit. Duas enim, vel tres, vel quatuor habet insuper partes, et a simplicitate discedens exuberat ad quamdam partium pluralitatem. Rursus multiplicitas omnis in integritate se continet. Nam duplum bis habet totum minorem; triplum item tertio continet totum minorem, atque ad eumdem modum et caetera. Superparticularitas vero nihil integrum servat, sed vel dimidio superat, vel tertia, vel quarta, vel quinta. Sed tamen divisionem singulis ac simplicibus partibus operatur. Superpartiens autem inaequalitas nec servat integrum nec singulis adimit partes. Atque ideo secundum Pythagoricos, minime musicis consonantiis adhibetur. Ptolemaeus tamen etiam hanc proportionem inter consonantias ponit, ut posterius ostendam.
CAPUT VII. Quae proportiones quibus consonantiis musicis aptentur. Illud tamen esse cognitum debet, quod omnes musicae consonantiae, aut in duplici, aut in triplici, aut in quadrupla, aut in sesquialtera aut in sesquitertia proportione consistunt. Et vocabitur quidem quae in numeris sesquitertia est, diatessaron insonis. Quae in numeris sesquialtera, diapente appellatur in vocibus. Quae vero in proportionibus dupla est, diapason in consonantiis. Tripla vero diapente, ac diapason. Quadrupla autem bisdiapason. Et nunc quidem universaliter atque indiscrete dictum sit. Posterius vero omnis ratio proportionum lucebit.
CAPUT VIII. Quid sit sonus, quid intervallum, quid concinentia. Sonus igitur est vocis casus, emmeles, id est aptus melo, in unam intensionem. Sonum vero non generalem nunc volumus definire; sed eum qui graece dicitur phthongus, dictus a similitudine loquendi φθέγγεσθαι. Intervallum vero est soni acuti gravisque distantia. Consonantia est acuti soni gravisque mixtura, suaviter uniformiterque auribus accidens. Dissonantia vero est duorum sonorum sibimet permixtorum ad aurem veniens aspera atque injocunda percussio. Nam dum sibimet misceri nolunt, et quodammodo integer uterque nititur pervenire, cumque alter alteri officit, ad sensum insuaviter uterque transmittitur.
CAPUT IX. Non omne judicium dandum esse sensibus, sed amplius rationi esse credendum, in quo de sensuum fallacia. Sed de his ita proponimus, ut non omne judicium sensibus demus, quanquam a sensu aurium hujusce artis sumatur omne principium. Nam si nullus esset auditus, nulla omnino disputatio de vocibus exstitisset. Sed principium quodammodo, et quasi admonitionis vicem tenet auditus. Postrema ergo perfectio, agnitionisque vis in ratione consistit, quae certis regulis sese tenens nullo unquam errore prolabitur. Nam quid diutius dicendum est de errore sensuum, quando nec omnibus eadem sentiendi vis, nec eidem homini semper aequalis est? Frustra autem vario judicio quisquam committet, quod veraciter affectat inquirere. Idcirco Pythagorici medio quodam feruntur itinere. Nam nec omne judicium dedunt auribus, et quaedam tamen ab eis non nisi auribus explorantur. Ipsas etenim consonantias aure metiuntur. Quibus vero inter se distantiis consonantiae differant, id jam non auribus, quarum sunt obtusa judicia, sed regulis rationique permittunt, ut quasi obediens quidem famulusque sit sensus, judex vero atque imperans ratio. Nam licet omnium pene artium, atque ipsius vitae momenta, sensuum occasione producta sint, nullum tamen in his judicium certum, nulla veri est comprehensio, si arbitrium rationis abscedat. Ipse enim sensus aeque maximis minimisque corrumpitur. Nam neque minima sentire propter ipsorum sensibilium parvitatem potest, et majoribus saepe confunditur. Ut in vocibus, quae si minimae sint, difficilius captat auditus; si sint maximae, ipsius sonitus intentione surdescit.
CAPUT X. Quemadmodum Pythagoras proportiones consonantiarum investigaverit. Haec igitur maxima causa fuit cur, relicto aurium judicio, Pythagoras ad regularum momenta migraverit, qui nullis humanis auribus credens, quae partim natura, partim etiam extrinsecus accidentibus permutantur, partim ipsis variantur aetatibus, nullis etiam deditus instrumentis, penes quae saepe multa varietas atque inconstantia nasceretur, dum nunc quidem si nervos velis aspicere, vel aer humidior pulsus obtunderet, vel siccior exsiccaret, vel magnitudo chordae graviorem redderet sonum, vel acumen subtilior tenuaret, vel alio quodam modo statum prioris constantiae permutaret. Et cum idem esset in caeteris instrumentis, omnia haec inconsulta minimaeque aestimans fidei, diuque aestuans inquirebat quanam ratione firmiter et constanter consonantiarum momenta perdisceret. Cum interea divino quodam motu praeteriens fabrorum officinas, pulsos malleos exaudivit, ex diversis sonis unam quodammodo concinentiam personare. Ita igitur ad id quod diu inquirebat attonitus, accessit ad opus: diuque considerans, arbitratus est diversitatem sonorum ferientium vires efficere. Atque ut id apertius colliqueret, mutarent inter se malleos imperavit. Sed sonorum proprietas non in hominum lacertis haerebat, sed mutatos malleos comitabatur. Ubi igitur id animadvertit, malleorum pondus examinat. Et cum quinque essent forte mallei, dupli reperti sunt pondere qui sibi secundum diapason consonantiam respondebant. Eumdem etiam qui duplus esset alio, sesquitertium alterius comprehendit, ad quem scilicet diatessaron sonabat. Ad alium vero quemdam, qui eidem diapente consonantia jungebatur, eumdem superioris duplum reperit esse sesquialterum. Duo vero hi, ad quos superior duplex sesquitertius et sesquialter esse probatus est, ad se invicem sesquioctavam proportionem perpensi sunt custodire. Quintus vero est rejectus, qui cunctis erat inconsonans. Cum igitur ante Pythagoram consonantiae musicae, partim diapason, partim diapente, partim diatessaron, quae est consonantia minima, vocarentur; primus Pythagoras hoc modo reperit, qua proportione sibimet haec sonorum chorda jungeretur. Et ut sit clarius quod dictum est, sint, verbi gratia, malleorum quatuor pondera, quae subterscriptis numeris contineantur, 12, 9, 8, 6. Hi igitur mallei, qui 12 et 6 ponderibus vergebant, diapason in duplo concinentiam personabant. Malleus vero 12 ponderum ad malleum 9, et malleus 8 ponderum ad malleum 6 ponderum, secundum epitritam proportionem diatessaron consonantia jungebatur. Novem vero ponderum ad 6, et 12 ad 8 diapente consonantiam permiscebant. Novem vero ad 8, in sesquioctava proportione resonabant tonum.
Haec ultima figura et in suprema calce Arithmeticae.
CAPUT XI. Quibus modis varie a Pythagora proportiones consonantiarum perpensae sint. Hinc igitur domum reversus, varia examinatione perpendit an in his proportionibus ratio symphoniarum tota consisteret. Hunc quidem aequa pondera nervis aptans, eorumque consonantias aure dijudicans; nunc vero in longitudine calamorum duplicitatem medietatemque restituens, caeterasque proportiones aptans, integerrimam fidem diversa experientia capiebat. Saepe et pro mensurarum modo cyathos aequorum ponderum acetabulis immittens; saepe ipsa quoque acetabula diversis formata ponderibus virga, vel aerea, ferreave percutiens, nihil esse diversum invenisse laetatus est. Hinc etiam ductus, longitudinem crassitudinemque chordarum ut examinaret aggressus est. Itaque invenit regulam, de qua posterius loquemur, quae ex re vocabulum sumpsit, non quod regula sit linea, per quam magnitudines chordarum sonumque metimur, sed quod regula quaedam sit hujusmodi inspectio fixa firmaque, ut nullum inquirentem dubio fallat judicio.
CAPUT XII. De divisione vocum earumque explanatione. Sed de his hactenus; nunc vocum differentias colligamus. Omnis enim vox aut συνεχὴς est, quae continua, aut διαστηματικὴ, quae dicitur cum intervallo suspensa. Et continua quidem est, quia loquentes vel ipsam orationem legentes verba percurrimus. Festinat enim tunc vox non inhaerere in acutis et gravibus sonis, sed quam velocissime verba percurrere, expediendisque sensibus, exprimendisque sermonibus continuae vocis impetus operantur. Diastematice autem est ea quam canendo suspendimus, in qua non potius sermonibus, sed modulis inservimus. Estque vox ipsa tardior, et per modulandas varietates quoddam faciens intervallum, non taciturnitatis, sed suspensae ac tardae potius cantilenae. His (ut Albinus autumat) additur tertia differentia, quae medias voces possit includere, sed heroum poemata legimus, neque continuo cursu, ut prosam, neque suspenso segniorique modo vocis, ut canticum.
CAPUT XIII. Quod infinitatem vocum humana natura finierit. Sed quae continua vox est, et ea rursus qua decurrimus cantilenam, naturaliter quidem infinitae sunt. Consideratione enim accepta, nullus modus vel evolvendis sermonibus fit, vel acuminibus attollendis gravitatibusque laxandis, sed utrisque natura humana fecit proprium finem. Continuae enim voci terminum humanus spiritus fecit, ultra quem nulla ratione vales excedere. Tantum enim unusquisque loquitur continue, quantum naturalis spiritus sinat. Rursus diastematice voci natura hominum facit terminum, quae acutam eorum vocem gravemque determinat. Tantum enim unusquisque vel acumen valet extollere, vel deprimere gravitatem, quantum vocis ejus naturaliter patitur modus.
CAPUT XIV. Quis modus sit audiendi. Nunc quis modus audiendi sit disseramus. Tale enim quiddam fieri consuevit in vocibus, quale cum paladibus vel quietis aquis jactum eminus mergitur saxum. Prius enim in parvissimum orbem undam colligit, deinde majoribus orbibus undarum globos spargit, atque eo usque dum fatigatus motus ab eliciendis fluctibus conquiescat. Semperque posterior et major undula pulsu debiliore diffunditur. Quod si quid sit, quod crescentes undas possit offundere, statim motus ille revertitur, et quasi ad centrum, unde profectus fuerat, eisdem undu is rotundatur. Ita igitur cum aer pulsus fecerit sonum, pellit alium proximum, et quodammodo rotundum fluctum aeris ciet. Itaque diffunditur et omnium circumstantium simul ferit auditum, atque illi est obscurior vox, qui longius steterit, quoniam ad eum debilior pulsi aeris unda pervenit.
CAPUT XV. De ordine theorematum, id est speculationum. His igitur ita propositis dicendum videtur quot generibus omnis cantilena texatur, de quibus harmonicae inventionis disciplina considerat. Sunt autem haec diatonicum, chromaticum, enharmonicum. De quibus ita demum explicandum est, si prius de tetrachordis disseramus, et quemadmodum auctus nervorum numerus, ad id quo nunc pluralitas est, usque pervenerit. Id autem fiet, si prius commemoremus quibus proportionibus symphoniae musicae misceantur.
CAPUT XVI. De consonantiis proportionum, et tono, et semitonio. Diapason consonantia est quae fit in duplo, ut haec est, 1, 2; diapente vero quae constat his numeris, 2, 3; diatessaron vero est quae in hac proportione consistit, 3, 4; tonus vero sesquioctava proportione concluditur, sed in hoc nondum est consonantia, ut 8, 9; diapason vero et diapente tripla comparatione colligitur hoc modo, 2, 4, 6; bisdiapason quadrupla collatione perficitur, 2, 4, 8; diatessaron vero ac diapente unum perficiunt diapason hoc modo, 2, 3, 4.
Nam si vox voci duplo sit acuta vel gravis, diapason consonantia fiet. Si vox voci sesquialtera proportione sit, vel sesquitertia, vel sesquioctava, acutior graviorque diapente, vel diatessaron, vel tonum consonantiam reddet. Item si diapason, ut 2 et 4, et diapente, ut 4 et 6, conjungantur, triplam, et quae est diapason et diapente, efficiant symphoniam. Quod si bis diapason fiant, ut duo ad quatuor, et quatuor ad octo, quadrupla fiet consonantia, quae est bisdiapason. Quod si sesquialtera et sesquitertia, id est diapente et diatessaron, ut duo ad tres, et tres ad quatuor conjungantur, dupla id est, diapason nimirum nascitur concinentia. Quatuor enim ad tres sesquitertiam obtinent proportionem. Tres vero ad binarium sesquialtera collatione junguntur, et idem quaternarius ad binarium appositus dupla ei comparatione copulatur. Sed sesquitertia diatessaron, sesquialtera proportio diapente consonantiam creant. Dupla vero diapason efficit symphoniam. Diatessaron igitur ac diapente unam diapason consonantiam jungunt. Rursus tonus in aequa dividi non potest, cur autem posterius liquebit. Nunc hoc tantum nosse sufficiat, quod nunquam tonus in gemina aequa dividitur. Atque ut id facillime comprobetur, sit sesquioctava proportio 8 et 9. Horum nullus naturaliter medius numerus incidet. Hos igitur si binario multiplicemus, fiuntque bis 8 16, bis 9 18, inter 16 autem et 18 unus numerus naturaliter incidit qui est scilicet 17. Qui disponantur in ordinem 16, 17, 18. Igitur 16 ac 18 collati, sesquioctavam retinent proportionem, atque idcirco tonum. Sed hanc proportionem 17 numerus medius non in aequalia partitur. Comparatus enim ad 16, habet in se totum 16, et ejus sextam decimam partem, scilicet unitatem. Si vero ad eum, id est 17, tertius, id est 18, numerus comparetur, habet eum totum, et ejus decimam septimam partem. Non igitur iisdem partibus et minorem superat, et a majore superatur. Est enim minor pars septima decima, major sexta decima. Sed utraque semitonia nuncupantur. Non quod omnino semitonia ex aequo sint media, sed quod semum dici solet, quod ad integritatem usque non pervenit. Sed inter haec unum majus semitonium nuncupatur, aliud minus.
CAPUT XVII. In quibus primis numeris semitonium constet. Quod vero integrum sit semitonium, aut in quibus primis numeris constet, nunc evidentius explicabo. Id enim quod de divisione toni dictum est, non ad hoc pertinet, ut semitoniorum modos voluerimus ostendere. Sed ad id potius quod tonum in gemina aequa diceremus non posse disjungi. Diatessaron, quae est consonantia, vocum quidem est quatuor, intervallorum trium. Constat autem ex duobus tonis, et non integro semitonio. Sit enim subjecta descriptio 192, 216, 243, 256. Si igitur 192 numerus, 256 comparetur, sesquitertia proportio fiet, ac diatessaron concinentiam resonabit. Sed si 216 ad 192 comparemus, sesquioctava proportio est; est enim eorum differentia 24, quae est octava pars, 192 est igitur tonus. Rursus si 243 ad 216 comparetur, erit altera sesquioctava proportio. Nam eorum differentia 27, pars 216, probatur octava, restat comparatio 256 ad 243, quorum differentia est 13. Qui octies facti, medietatem 243 non videntur implere. Non est igitur semitonium, sed minus a semitonio. Tunc enim integrum esse semitonium jure putaretur, si eorum differentia, quae est 13 facta octies, medietatem 243 numerorum potuisset aequare. Estque verum semitonium minus 243 ad 256 comparatio.
CAPUT XVIII. Diatessaron a diapente tono atstare. Rursus diapente consonantia, vocum quidem est quinque intervallorum quatuor, trium tonorum, et minore semitonio. Ponatur enim idem numerus 192, et ejus sesquialter sumatur, qui ad eum diapente faciat consonantiam. Sit igitur numerus 288. Igitur horum et superius deprehensorum 192, ponantur in medio numeri hi 216, 243, 256, et sit hoc modo formata descriptio, 192, 216, 243, 256, 288. In superiore igitur descriptione, 192 et 256 duos tonos et semitonium contineri monstrati sunt. Restat igitur comparatio 256 ad 288, quae est sesquioctava, id est tonus, eorumque differentia est 32, quae est octava pars 256. Itaque monstrata est diapente consonantia ex tribus tonis semitonioque constare. Sed dubium diatessaron consonantia a centum nonaginta duobus numeris usque ad 256 venerat. Nunc vero diapente ab eisdem 192 numeris usque ad 288 distenditur. Superatur igitur diatessaron consonantia a diapente, ea proportione quae inter 256 et 288 numeros continetur, at est hic tonus. Diatessaron igitur symphonia a diapente tono transcenditur.
CAPUT XIX. Diapason quinque tonis et duobus semitoniis jungi. Diapason consonantia constat ex quinque tonis et duobus semitoniis, quae tamen unum non impleant tonum. Quoniam enim monstratum est diapason ex diapente et diatessaron consistere, diatessaron vero probata est ex duobus tonis et semitonio constare; diapente ex tribus tonis ac semitonio simul juncta efficiunt quinque tonos. Sed quoniam illa duo semitonia non erant integrae medietatis, eorum conjunctio ad plenum usque non pervenit. Sed medietatem quidem superat, ab integritate relinquitur. Estque diapason secundum hanc rationem ex quinque tonis et duobus semitoniis. Quae sicut ad integrum tonum non aspirant, ita ultra integrum semitonium prodeunt. Sed quae horum sit ratio, vel quemadmodum ipsae musicae consonantiae reperiantur, postea liquidius explanabitur. Interea praesenti disputationi sub mediocri intelligentia credulitatis adhibenda est: tunc vero firma omnis fides sumenda est, cum propria unum quodque demonstratione claruerit. His igitur ita dispositis paulisper de cytharae nervis, ac de eorum nominibus, quoque modo sunt additi, disseramus, quaque eorum causa sit nominum. His enim primum ad notitiam venientibus facile erit scientia, quae sequuntur, amplecti.
CAPUT XX. De additone chordarum earumque nominibus. Simplicem principio fuisse musicam refert Nicomachus, adeo ut quatuor nervis tota constaret. Idque usque ad Orpheum duravit, ut primus quidem nervus et quartus diapason consonantiam resonarent. Medii vero ad se invicem atque ad extremos diapente, ac diatessaron, ac tonum. Nihil vero in eis esset inconsonum, ad imitationem scilicet musicae mundanae, quae ex quatuor constat elementis. Cujus quadrichordi Mercurius dicitur inventor. Quintam vero chordam post Chorebus Athys filius adjunxit, qui fuit Lydorum rex. Hyagnis vero Phryx sextum his apposuit nervum. Sed septimus nervus a Terpandro Lesbio adjunctus est, secundum septem scilicet planetarum similitudinem. Inque his quae gravissima quidem erat, vocata est hypate, quasi major atque honorabilior. Unde Jovem etiam Hypaton vocant. Consulem eodem quoque nuncupant nomine propter excellentiam dignitatis, eaque Saturno est attributa propter tarditatem motus et gravitatem soni. Parhypate vero secunda, quasi juxta hypaten posita et collocata. Lichanos tertia idcirco, quoniam lichanos digitus dicitur, quem nos indicem vocamus. Graecus a lingendo lichanon appellat. Et quoniam in canendo ad eam chordam, quae erat tertia ab hypate, index digitus, qui est lichanos inveniebatur, idcirco ipsa quoque lichanos appellata est. Quarta dicitur mese, quoniam inter septem semper est media. Quinta est paramese, quasi juxta mediam collocata. Septima autem dicitur nete, quasi neate, id est inferior. Inter quam neten et paramesen est sexta, quae vocatur paranete, quasi juxta neten locata. Paramese vero quoniam tertia est a nete, eodem quoque vocabulo trite, id est tertia nuncupatur, ut sit descriptio haec. His octavam Samius Lichaon adjunxit, atque inter paramesen, quae etiam trite dicitur, et paraneten nervum medium coaptavit, ut ipse tertius esset a nete. Et paramese quidem vocata est solum, quae post mediam collocabatur. Trites vero nomen perdidit, posteaquam inter eam atque paraneten tertius a nete locatus est nervus, qui digne trites nomen exciperet, ut sit octochordum secundum Lichaonis additionem, hoc modo: In superioribus igitur duabus dispositionibus heptachordi et octochordi. Heptachordum quidem dicitur synemmenon, quod est conjunctum. Octochordum vero diezeugmenon, quod est disjunctum. In heptachordo enim est unum tetrachordum, hypate, parhypate, lichanos, mese. Aliud vero mese, paramese, paranete, nete, dum mesen nervum secundo numeramus, atque ideo duo tetrachorda per mesen conjunguntur. In octochordo vero quoniam octo sunt chordae, superiores quatuor, id est hypate, parhypate, lichanos, mese, unum tetrachordum explent. Ab hoc vero disjunctum atque integrum inchoat a paramese, progrediturque per triten et paraneten, et finitum ad neten, et est disjunctio, quae vocatur diezeuxis. Tonusque est distantia meses et parameses. Hic igitur mese tantum quidem nomen obtinuit. Non enim est media positione, quia in octochordo duae quidem semper mediae reperiuntur, sed una media non potest inveniri. Prophrastus autem periotes ad graviorem partem unam addidit chordam, ut faceret totum enneachordum. Quae quoniam super hypaten est addita, hyperhypate est nuncupata. Quae prius quidem dum novem chordarum tantum esset cythara, hyperhypate vocabatur. Nunc autem lichanos hypaton dicitur aliis superadditis. In quo ordine atque instructione, quoniam ad indicem digitum venit, lichanos appellata est. Sed hoc posterius apparebit. Nunc vero enneachordi ordo sic se habet.
Hestiaeus Colophonius decimam in graviorem partem coaptavit chordam, Timotheus vero Milesius undecimam. Quae quoniam super hypaten atque parhypaten sunt additae, hypate quidem hypaton vocatae sunt quasi maximae magnarum et gravissimae gravium, aut excellentes excellentium. Sed vocata est prima inter undecim hypate hypaton. Secunda vero parhypate hypaton, quoniam juxta hypaten hypaton collocata est. Tertia quae dudum in enneachordo parhypate vocabatur, lichanos hypaton est nuncupata. Quarta vero hypate antiquum tenuit nomen. Quinta parhypate. Sexta lichanos antiquum scilicet habens vocabulum. Septima mese. Octava paramese. Nona trite. Decima paranete. Undecima nete. Est igitur unum tetrachordum hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate. Aliud vero hypate, parhypate, lichanos, mese, et haec quidem conjuncta sunt. Tertium vero est paramese, trite, paranete, nete. Sed quoniam inter superius tetrachordum, quod est hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate meson, et inter infimum, quod est paramese, trite, paranete, fit positione medium tetrachordum, quod est hypate, parhypate. Lichanos, mese, totum hoc medium tetrachordum meson vocatum est, quasi mediarum, vocaturque cum additamento hoc hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese. Quoniam vero inter hoc meson tetrachordum, et inferius, quod est netarum, disjunctio est, meses scilicet et parameses, inferius omne tetrachordum disjunctarum, id est diezeugmenon, vocatum est, cum additamento scilicet hoc: paramese diezeugmenon, trite diezeugmenon, paranete diezeugmenon, nete diezeugmenon, ut sit descriptio hoc modo: Est igitur hic inter paramesen ac mesen disjunctio, atque ideo diezeugmenon tetrachordum hoc vocatum est. Quod si paramese auferatur, et sit mese trite, paranete, nete, tunc conjuncta, id est synemmena, erunt tria tetrachorda, vocabiturque ultimum tetrachordum synemmenon hoc modo: Sed quoniam in hac vel in superiore hendecachordi dispositione mese, quae propter mediam collocationem ita vocata est, nete proxima accedit, et longe ab hypatis ultimis distat, nec proprium distantiae retinet locum, aliud unum tetrachordum adjunctum est, super neten diezeugmenon, quae quoniam supervadebat acumine netas superius collocatas, omne illud tetrachordum hyperboleon vocatum est hoc modo: Sed quoniam rursus mese non erat loco media, sed magis hypatis accedebat, idcirco super hypatas hypaton addita est una chorda, quae dicitur proslambanomenos; ab aliquibus autem prosmelodos dicitur, tono integro distans ab ea quae est hypate hypaton. Et ipsa quidem, id est proslambanomenos a mese octava est, resonans cum ea diapason symphoniam, eademque ad lichanon hypaton resonat diatessaron ad quartam, scilicet quae lichanos hypaton ad meson resonat diapente symphoniam, et est ab ea quinta. Rursus mese a paramese distat tono, quae eadem mese ad neten diezeugmenon quintam facit diapente consonantiam. Quae nete diezeugmenon ad neten hyperboleon quartam, facit diatessaron consonantiam. Et proslambanomenos ad neten hyperboleon reddit bisdiapason consonantiam hoc modo:
CAPUT XXI. De generibus cantilenarum. His igitur expeditis, dicendum est de generibus melorum. Sunt autem tria diatonum, chroma, enharmonium, et diatonicum quidem, aliquanto durius et naturalius. Chroma vero est jam quasi ab illa naturali intentione descendens, et in mollius decidens. Enharmonium vero optime atque apte conjunctum. Cum sint igitur quinque tetrachorda, hypaton, meson, synemmenon, diezeugmenon, hyperboleon; in his omnibus secundum diatonum cantilenae procedit vox per semitonium, tonum ac tonum, in uno tetrachordo. Rursus in alio tetrachordo per semitonium tonum et tonum ac deinceps. Ideoque vocatur diatonicum quasi quod per tonum ac per tonum progrediatur. Chroma autem quod dicitur color, quasi jam ab hujusmodi intentione prima mutatio cantatur per semitonium et semitonium et tria semitonia. Tota enim diatessaron consonantia est duorum tonorum ac semitonii, sed non pleni. Tractum est autem hoc vocabulum ut diceretur chroma a superficiebus, quae cum permutantur, in alium transeunt colorem. Enharmonium vero quod est magis coaptatum, est quod cantatur in omnibus tetrachordis per diesin et diesin et diatonum. Diesis autem est semitonii dimidium, ut sit trium generum descriptio, per omnia tetrachorda discurrens hoc modo:
CAPUT XXII. De ordine chordarum nominibusque in tribus generibus. Nunc igitur ordo chordarum disponendus est omnium quae per tria genera variantur, vel inconstanti ordine disponuntur. Prima est igitur proslambanomenos, quae eadem dicitur prosmelodos; secunda, hypate hypaton; tertia parhypate hypaton; quarta vero universaliter quidem lichanos appellatur. Sed si in diatono genere aptetur, dicitur lichanos hypaton diatonos. Si vero in chromate, dicitur diatonos chromaticae, vel lichanos hypaton chromaticae. Si autem in enharmonio, dicitur lichanos hypaton enharmonios, vel diatonos hypaton enharmonios. Post hanc vocatur hypate meson; dehinc parhypate meson; atque hic lichanos meson simpliciter. In diatonico quidem genere, diatonos meson. In chromate, lichanos meson chromaticae, vel diatonos meson chromaticae. In enharmonio diatonos meson enharmonios, vel lichanos meson enharmonios. Has sequitur mese. Post hanc sunt duo tetrachorda partim synemmenon, partim diezeugmenon. Et synemmenon est quod post mesen ponitur, id est trite synemmenon. Dehinc lichanos synemmenon, eadem in diatonico diatonos synemmenon. In chromate vero vel diatonos synemmenon chromaticae, vel lichanos synemmenon chromaticae. In enharmonio vero vel diatonos synemmenon enharmonios, vel lichanos synemmenon enharmonios. Post has nete synemmenon. Si vero mese nervo non sit synemmenon tetrachordum adjunctum, sed sit diezeugmenon, est post mesen paramese. Dehinc trite diezeugmenon, inde lichanos diezeugmenon, quae, in diatono, diatonos diezeugmenon. In chromate tum diatonos diezeugmenon chromaticae, tum lichanos diezeugmenon chromaticae. In enharmonio vero tum diatonos diezeugmenon enharmonios, tum lichanos diezeugmenon enharmonios. Eadem vero dicitur et paranete, cum additione vel diatoni, vel chromatis, vel enharmonii. Super has nete diezeugmenon, trite hyperboleon, paranete hyperboleon, nete hyperboleon et quae est paranete hyperboleon, eadem in diatono diatonos hyperboleon. In chromate vero chromaticae hyperboleon; in enharmonio vero enharmonios hyperboleon. Harum ultima ea est quae est nete hyperboleon, et sit descriptio ejusmodi ut trium generum contineat dispositionem in quibus et similitudinem nominum et differentiam pernotabis, ut si nervi similes in omnibus, cum eis qui sunt dissimiles colligantur, fiant simul omnes octo et viginti. Hoc autem monstrat subjecta descriptio.
DIATONICUM. CHROMATICUM. ENHARMONIUM.
Proslambanomenos. Proslambanomenos. Proslambanomenos. Hypate hypaton. Hypate hypaton. Hypate hypaton. Parhypate hypaton. Parhypate hypaton. Parhypate hypaton. Lichanos hypaton diatonos. Lichanos hypaton chromaticae. Lichanos hypaton enharmonios. Hypate meson. Hypate meson. Hypate meson. Parhypate meson. Parhypate meson. Parhypate meson. Lichanos meson diatonos. Lichanos meson chromaticae. Lichanos meson enharmonios. Mese. Mese. Mese. Trite synemmenon. Trite synemmenon. Trite synemmenon. Paranete synemmenon diatonos. Paranete synemmenon chromaticae. Paranete synemmenon enharmonios. Nete synemmenon. Nete synemmenon. Nete synemmenon. Paramese. Paramese. Paramese. Trite diezeugmenon. Trite diezeugmenon. Trite diezeugmenon. Paranete diezeugmenon diatonos. Paranete diezeugmenon chromaticae. Paranete diezeugmen. enharmonios. Nete diezeugmenon. Nete diezeugmenon. Nete diezeugmenon. Trite hyperboleon. Trite hyperboleon. Trite hyperboleon. Paranete hyperboleon diatonos. Paranete hyperboleon chromaticae. Paranete hyperboleon enharmonios. Nete hyperboleon. Nete hyperboleon. Nete hyperboleon. CAPUT XXIII. Quae sint inter voces in singulis generibus proportiones. Hoc igitur modo per singula tetrachorda in generum proprietates partitio facta est, ut omnia quidem diatonici generis quinque tetrachorda, duobus tonis ac semitonio partiremur. Diciturque in hoc genere tonus incompositus, idcirco quoniam integer ponitur, nec aliquod ei aliud intervallum adjungitur. Sed in singulis intervallis integri insunt toni. In chromate vero semitonio, ac semitonio incompositoque trihemitonio posita divisio est. Idcirco autem incompositum hoc trihemitonium appellavimus, quoniam in uno collocatum est intervallo; potest autem appellari trihemitonium in diatono genere semitonium ac tonus; sed non est incompositum, duobus enim id perficitur intervallis, et in enharmonio genere idem est. Constat autem ex diesi, et diesi, et ditono incomposito, quod scilicet propter eamdem causam incompositum nuncupamus, quoniam in uno collocatum est intervallo.
CAPUT XXIV. Quid sit synaphe. Sed in his ita dispositis constitutisque tetrachordis synaphe est. Quam conjunctionem dicere Latina significatione possumus, quotiens duo tetrachorda unius termini medietas continuat atque conjungit, ut in hoc tetrachordo: Hoc igitur est unum tetrachordum hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate meson. Aliud vero hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese. In utrisque igitur tetrachordis hypate meson annumerata est. Superiorisque tetrachordi ea est acutissima, posterioris vero gravissima. Estque ista conjunctio una eademque chorda hypate meson, duo tetrachorda conjungens, ut eadem hypaton ac meson tetrachorda in superiore descriptione adjunxit. Est igitur synaphe, quae conjunctio dicitur, duorum tetrachordorum vox media, superioris quidem acutissima, posterioris vero gravissima.
CAPUT XXV. Quid sit diezeuxis. Diezeuxis vero appellatur, quae disjunctio dici potest, quotiens duo tetrachorda toni medietate separantur, ut in his duobus tetrachordis.
Duo igitur esse tetrachorda evidenter apparet, quoniam quidem octo sunt chordae. Sed diezeuxis est, id est disjunctio inter mesen et paramesen, quae inter se pleno differre tono, de quibus evidentius explicabitur, cum unumquodque studiosius explanandum posterior tractatus assumpserit. Sed diligentius intuenti quinque, non amplius tetrachorda reperiuntur, hypaton, meson, synemmenon, diezeugmenon, hyperboleon.
CAPUT XXVI. Quibus nominibus nervos appellaverit Albinus. Albinus autem earum nomina Latina oratione ita interpretatus est, ut hypatas principales vocaret, mesas medias, synemmenas conjunctas, diezeugmenas disjunctas, hyperboleas excellentes. Sed nobis in alieno opere non erit immorandum.
CAPUT XXVII. Qui nervi quibus sideribus comparentur. Illud tamen interim de superioribus tetrachordis addendum videtur, quod ab hypate meson usque ad meten quasi quoddam ordinis disjunctionisque coelestis exemplar est. Namque hypate meson Saturno est attributa, parhypate vero Joviali circulo consimilis est, lichanon meson Marti tradidere, Sol meson obtinuit, trite synemmenon Venus habet, paranete synemmenon Mercurius regit, nete autem Lunaris circuli tenet exemplum. Sed Marcus Tullius contrarium ordinem facit. Nam in VI lib. de Republica sic ait: Et natura fert ut extrema ex altera parte graviter, ex altera autem acute sonent. Quam ob causam summus ille coeli stellifercursus, cujus conversio est concitatior acuto, et excitato movetur sono, gravissimo autem hic lunaris atque infimus. Nam terra nona, immobilis manens, ima sede semper haeret; hic igitur Tullius terram quasi silentium ponit, scilicet immobilem. Post hanc sui proximus a silentio est, dat Lunae gravissimum sonum, ut sit Luna proslambanomenos, Mercurius hypate hypaton, Venus parhypate hypaton, Sol lichanos hypaton, Mars hypate meson, Jupiter parhypate meson, Saturnus lichanos meson, Coelum ultimum mese. Quae vero sint harum immobiles, quae vero in totum mobiles, quae autem immobiles mobilesque consistant, cum de monochordi regularis divisione tracta vero, erit locus aptior explicandi.
CAPUT XXVIII. Quae sit natura consonantiarum. Consonantiam vero licet aurium quoque sensus dijudicet, tamen ratio perpendit. Quotiens enim duo nervi, uno graviore, intenduntur, simulque pulsi reddunt permixtum quodammodo et suavem sonum, duaeque voces quasi conjunctae in unum coalescunt, tunc fit ea quae dicitur consonantia. Cum vero simul pulsi, sibi quisque ire cupit, nec permiscent ad aurem suavem atque unum ex duobus compositum sonum, tunc est quae dicitur dissonantia.
CAPUT XXIX. Ubi consonantiae reperiuntur. In his autem comparationibus gravitatis atque acuminis has consonantias necesse est inveniri, quae sibi commensuratae sint, id est quae notam possunt communem habere mensuram, ut in multiplicibus duplum, quod est, illa pars metitur, quae inter duos est terminos differentia, ut inter duos et quatuor binarius utrosque metitur, inter duos atque sex quae tripla est, binarius utrosque metiatur, inter novem atque octo eadem unitas est, quae utrosque metiatur. Rursus in superparticularibus si sesquialtera sit proportio, ut quatuor ad sex, binarius est qui utrosque metiatur, qui scilicet utrorumque est differentia. Quod si sesquitertia sit proportio, ut si octo senario comparentur, idem binarius utrosque metitur, id vero non evenit in caeteris generibus inaequalitatum, quae supra retulimus, ut in superpartiente. Nam si quinarium ad ternarium comparemus, binarius qui eorum differentia est, neutrum metitur. Nam si semel ternario comparatus, minor est, duplicatus excedit. Item bis quinario comparatus, minor est, tertio vero supergreditur. Atque idcirco hoc primum inaequalitatis genus a consonantiae natura disjungitur amplius quod in his quae consonantias formant, multa similia sunt, in his vero minime; id probatur hoc modo: namque duplum nihil est aliud nisi bis simplum. Triplum nihil aliud nisi tertio simplum. Quadruplum vero idem est quod quarto simplum. Sesquialterum, bis medietas. Sesquitertium vero ter pars tertia, quod haud facile in caeteris inaequalitatum generis invenitur.
CAPUT XXX. Quemadmodum Plato dicat fieri consonantias. Plato vero hoc modo fieri in aure consonantiam dicit. Necesse est, inquit, velociorem quidem esse acutiorem sonum. Hic igitur cum gravem praecesserit, in aurem celer ingreditur, ostensaque extrema ejusdem corporis parte quasi pulsus iterato motu revertitur. Sed jam segnior, nec ita celeri, ut primo impetu emissus cucurrit, quocirca gravior quoque. Cum igitur jam gravior rediens, nunc primum gravi sono venienti similis occurrit, miscetur ei, unamque, ut ait Plato, consonantiam miscet.
CAPUT XXXI. Quid contra Platonem Nicomachus sentiat. Sed id Nicomachus non arbitratur dictum veraciter. Neque enim similium esse consonantiam, sed dissimilium potius in unum eamdemque consonantiam venientium; gravius vero gravi si misceatur, nullam facere consonantiam, quoniam hanc canendi concordiam similitudo non efficit, sed dissimilitudo. Quae cum distet in singulis vocibus, copulatur in mixtis. Sed hinc potius Nicomachus consonantiam fieri putat. Non, inquit, unus tantum pulsus est, qui simplicem modum vocis emittat, sed semel percussus nervus saepius aerem pellens multas efficit voces. Sed quia ea velocitas est percussionis, ut sonus sonum quodammodo comprehendat, distantia non sentitur, et quasi una vox auribus venit. Si igitur percussiones gravium sonorum commensurabiles sint percussionibus acutorum sonorum, ut in his proportionibus quas supra retulimus, non est dubium quin ipsa commensuratio sibimet misceatur, unamque vocum efficiat consonantiam.
CAPUT XXXII. Quae consonantia quam merito praecedat. Sed inter omnes quas retulimus consonantias, habendum judicium est ut in aure, ita quoque in ratione quam harum meliorem oporteat arbitrari. Eodem namque modo auris afficitur sonis, vel oculus aspectu, quo animi judicium numeris vel continua quantitate. Proposito enim numero vel linea, nihil est facilius quam ejus duplum oculo vel animo contueri. Item post dupli judicium sequitur dimidii, post dimidium tripli, post triplum partis tertiae. Quae ideo quoniam facilior est dupli descriptio, optimam Nicomachus putat diapason consonantiam, post hanc diapente, quae medium tenet, hinc diapente ac diapason, quae triplum. Caeteraque secundum eumdem modum formamque dijudicat. Non vero hoc Ptolemaeus eodem modo, cujus omnem sententiam posterius explicabo.
CAPUT XXXIII. Quo sint modo accipienda quae dicta sunt. Omnia tamen quae dehinc diligentius expedienda sunt, summatim nunc ac breviter attentemus, ut interim in superficie quadam animum haec lectoris assuefaciant, qui ad interiorem scientiam posteriore tractatione descendet. Nunc vero quod erat Pythagoricis in morem, ut cum quid a magistro Pythagora diceretur, hinc nullus rationes petere audebat, sed erat ei ratio docentis auctoritas, idque fiebat quandiu discentis animus firmiore doctrina roboratus, ipse eamdem rerum rationem nullo etiam docente reperiret; ita etiam nunc lectoris fidei quae proponimus, commendamus, ut arbitretur diapason in dupla, diapente in sesquialtera, diatessaron in sesquitertia, diapente ac diapason in triplici, bis diapason in quadrupla propositione consistere. Post vero et hoc ratio diligentius explicabit, et quibus modis aurium quoque judicio consonantiae musicae colligantur, caeteraque omnia quae superius dicta sunt amplior tractatus edisseret, et tonum sesquioctavam facere proportionem, eumque in duo aequa dividi non posse, sicut nullam ejusdem generis proportiones, id est superparticularis; diatessaron etiam consonantiam duobus tonis semitonioque consistere, semitonia vero esse duo, majus ac minus, diapente autem tribus tonis ac semitonio minore contineri. Diapason vero quinque tonis ac duobus minoribus semitoniis expleri, neque ad sex tonos ullo modo pervenire. Haec omnia posterius et numerorum ratione et aurium judicio comprobabo, atque haec hactenus.
CAPUT XXXIV. Quid sit musicus. Nunc illud est intuendum quod omnis ars, omnisque etiam disciplina honorabiliorem naturaliter habeat rationem, quam artificium, quod manu atque opere artificis exercetur. Multo enim est majus atque altius scire quod quisque faciat, quam ipsum illud efficere quod sciat; etenim artificium corporale, quasi serviens famulatur. Ratio vero quasi domina imperat, et nisi manus secundum id quod ratio sancit efficiat, frustra fit. Quanto igitur praeclarior est scientia musicae in cognitione rationis, quam in opere efficiendi atque actu tantum, scilicet quantum corpus mente superatur! Quod scilicet rationis expers servitio degit, illa vero imperat, atque ad rectum deducit, quod nisi pareat ejus imperio, et expers rationis opus titubabit. Unde fit ut speculatio rationis operandi actu non egeat. Manuum vero opera nulla sint, nisi ratione ducantur. Jam vero quanta sit gloria meritumque rationis hic intelligi potest, quod caeteri (ut ita dicam) corporales artifices non ex disciplina, sed ex ipsis potius instrumentis cepere vocabula. Nam citharoedus ex cithara, vel tibicen ex tibia, caeterique suorum instrumentorum vocabulis nuncupantur. Is vero est musicus qui, ratione perpensa, canendi scientiam, non servitio operis, sed imperio speculationis assumit. Quod scilicet in aedificiorum bellorumque opera videmus, et in contraria scilicet nuncupatione vocabuli. Eorum namque nominibus vel aedificia inscribuntur, vel ducuntur triumphi, quorum imperio ac ratione instituta sunt, non quorum opere servitioque perfecta. Tria sunt igitur genera quae circa artem musicam versantur: unum genus est quod instrumentis agitur, aliud fingit carmina, tertium quod instrumentorum opus carmenque dijudicat. Sed illud quidem quod in instrumentis positum est, ibique totam operam consumit, ut sunt citharoedi, quique organo caeterisque musicae instrumentis artificium probant, a musicae scientiae intellectu sejuncti sunt, quoniam famulantur (ut dictum est), nec quidquam afferunt rationis, sed sunt totius speculationis expertes. Secundum vero musicam agentium est genus poetarum, quod non potius speculatione ac ratione quam naturali quodam instinctu fertur ad carmen, atque idcirco hoc quoque genus a musica segregandum est. Tertium est quod judicandi peritiam sumit, ut rhythmos cantilenasque eorumque carmen possit perpendere. Quod scilicet quando totum in ratione ac speculatione positum est, hoc proprie musicae deputabitur. Isque musicus est cui adest facultas secundum speculationem rationemve propositam ac musicae convenientem, de modis ac rhythmis, deque generibus cantilenarum, ac de permixtionibus, ac de omnibus de quibus posterius explicandum est, ac de poetarum carminibus, judicandi.
LIBER SECUNDUS. CAPUT PRIMUM. Prooemium. Superius volumen cuncta digessit, quae nunc diligentius explicanda esse proposui; itaque priusquam ad ea veniam quae propriis rationibus perdocenda sunt, pauca praemittam, quibus elucubratior animus auditoris ad ea quae dicenda sunt accipienda perveniat.
CAPUT II. Quid Pythagoras esse philosophiam constituerit. Primus omnium Pythagoras sapientiae studium philosophiam nuncupavit, quam scilicet ejus rei notitiam ac disciplinam ponebat, quae proprie vereque esse diceretur. Esse autem illa putabat quae nec intentione crescerent, nec diminutione decrescerent, nec ullis accidentibus mutarentur. Haec autem esse formas, magnitudines, qualitates, habitudines, caeteraque quae per se speculata immutabilia sunt, juncta vero corporibus permutantur, et multimodis variationibus mutabilis rei cognatione vertuntur.
CAPUT III. De differentiis quantitatis, et quae cui disciplinae sit deputata. Omnis vero quantitas secundum Pythagoram vel continua, vel discreta est. Sed quae continua est magnitudo appellatur, quae discreta est multitudo. Quorum haec est diversa et contraria pene proprietas. Multitudo enim a finita inchoans quantitate, crescens in infinita progreditur, ut nullus crescendi finis occurrat. Estque ad minimum terminata, interminabilis ad majus, ejusque principium unitas est, qua minus nihil est. Crescit vero per numeros atque in infinita protenditur, nec ullus numerus, quo minus crescat, terminum facit. Sed magnitudo finitam rursus suae mensurae recipit quantitatem, sed in infinita decrescit. Nam si sit pedalis linea, vel cujuslibet alterius modi, potest in duo aequa dividi, ejusque medietas in medietatem secari, ejusque rursus medietas in aliam medietatem, ut nunquam ullus secandi magnitudinem terminus fiat. Ita magnitudo quantum ad majorem modum terminata est, fit vero cum decrescere coeperit infinita. At contra numerus, quantum ad minorem modum finitus est, infinitus autem incipit esse cum crescit. Cum igitur haec ita sint infinita, tamen quasi de rebus finitis philosophia pertractat, inque rebus infinitis reperit aliquid terminatum, de quo possit jure acumen propriae speculationis adhibere. Namque magnitudinis alia sunt immobilia, ut terra, ut quadratum, vel triangulum, vel circulus. Alia sunt mobilia, ut sphaera mundi, et quidquid in eo rata celeritate convertitur. Discretae vero quantitatis alia sunt per se, ut tres vel quatuor, vel caeteri numeri; alia vero ad aliud, ut duplum, triplum, aliaque quae ex comparatione nascuntur. Sed immobilis magnitudinis geometria speculationem tenet. Mobilis vero scientiam astronomia persequitur. Per se vero discretae quantitatis arithmetica auctor est. Ad aliquid vero relatae musica probatur obtinere peritiam.
CAPUT IV. De relatae quantitatis differentiis. Ac de ea quidem quantitate discreta quae per se est in arithmetica sufficienter diximus. Relatae vero ad aliquid quantitatis simplicia quidem genera tria sunt: unum quidem multiplex, aliud vero superparticulare, tertium superpartiens. Cum vero multiplex superparticulari superpartientique miscetur, fiunt duae aliae ex his, id est multiplex superparticularis, e multiplex superpartiens. Horum igitur omnium talis est regula, si unitatem cunctis in naturali numero volueris comparare, ratus multiplicis ordo texetur. Duo enim ad unum duplus est, tres ad eumdem triplus, quatuor quadruplus, et in caeteris eodem modo, ut subjecta descriptio docet. Si vero superparticularem proportionem quaeras, naturalem sibi compara numerum, detracta scilicet unitate, ut tres duobus sesquialter est, quatuor tribus, qui sesquitertius est, quinarius quaternario sesquiquartus est, et in caeteris eodem modo, quod monstrat subjecta descriptio. Superpartientes autem tali modo reperies. Disponas naturalem numerum a ternario scilicet inchoantem. Si unum igitur intermiseris, superbipartientem effici pernotabis; quod si duo, supertripartientem; quod si tres, superquadripartientem, idemque in caeteris. Ad hunc ordinem spectans et compositas ex multiplici et superparticulari, et ex multiplici et superpartienti proportiones, lector diligens speculabitur. Sed de his tamen omnibus in arithmeticis expeditius dictum est.
CAPUT V. Cur multiplicitas antecellat. Sed in his illud est considerandum quod multiplex inaequalitatis genus longe duobus reliquis videtur antiquius. Naturalis enim numeri dispositio, in multiplicibus unitati quae prima est, comparatur. Superparticularis vero non unitatis comparatione perficitur, sed ipsorum, qui post unitatem sunt dispositi numerorum, ut ternarii ad binarium, quaternarii ad ternarium, et in caeteris ad hunc modum. Superpartientium vero longe retro formatio est, quae nec continuis numeris comparatur, sed intermissis, nec semper aequali intermissione. Sed nunc quidem una, nunc vero duabus, nunc tribus, nunc quatuor, atque ita in infinita succrescit. Amplius multiplicitas ab unitate incipit, superparticularitas a binario, superpartiens proportio a ternario initium capit. Sed de his hactenus; nunc quaedam quae quasi axiomata Graeci vocant, praemittere oportebit, quae tum demum quo spectare videantur intelligemus, cum de uniuscujusque rei demonstratione tractabimus.
CAPUT VI. Qui sint quadrati numeri deque his speculatio. Quadratus numerus est qui gemina dimensione in aequa concreverit, ut bis duo, ter tres, quater quatuor, quinquies quinque, sexies sex, quorum est ista descriptio: Superius igitur dispositus numerus naturalis, latus est quadratorum inferius descriptorum. Continuum enim naturaliter sunt quadrati, qui sese in subjecto ordine consequuntur, ut 4, 9, 16, et caeteri. Si igitur continuum quadratum minorem a continuo quadrato majore sustulero, quod relinquitur tantum erit quantum est quod ab utrorumque quadratorum lateribus jungitur; ut si quatuor auferam a novenario, quinque sunt reliqui, qui ex duobus et tribus, qui sunt utrorumque quadratorum latera, conjunguntur. Item si novenarium aufero de eo qui sedecim numeris ascriptus est, 7 sunt reliqui, qui scilicet ex ternario quaternarioque conjunctus est, qui praedictorum quadratorum latera sunt. Idemque est in caeteris. Quod si non sint continui quadrati, sed unus inter eos transmissus sit, fit ejus quod relinquitur medietas, id quod ex utriusque lateribus efficitur, ut si quaternarium de 16 quadrato auferamus, 12 relinquuntur, quorum 12 medietas est is numerus qui ex utrorumque lateribus convenit. Sunt autem utrorumque latera, duo et quatuor, quae senarium juncta perficiunt. Atque in caeteris idem modus est. Sin vero duo intermittantur, tertia pars erit ejus quod relinquitur, id quod utrorumque latera conjungunt, ut si quatuor de 25 auferam, intermissis duobus quadratis, reliqui 21 sunt. Eorum vero latera sunt 2 et 5 qui efficiunt 7, qui sunt pars tertia numeri 21. Atque haec regula est, ut si tres intermissi sint, pars quarta sit, id quod ex utrorumque lateribus efficitur ejus quod subtracto minore a majore relinquitur. Sin quatuor transmittantur, quinta, atque uno plus vocabulo numeri partes venient, quam sit intermissio numerorum.
CAPUT VII. Omnem inaequalitatem ex aequalitate procedere, ejusque demonstratio. Est autem quemadmodum unitas pluralitatis numerique principium, ita aequalitas proportionum. Tribus enim praeceptis (ut in arithmetica dictum est) multiplices proportiones ex aequalitate producimus, ex conversis vero multiplicibus superparticulares habitudines procreamus. Item ex conversis superparticularibus, superpartientes comparationes efficimus. Ponantur enim tres unitates, vel tres binarii, vel tres ternarii, vel quotlibet aequi termini, et sit primus primo aequus in sequenti scilicet ordine constitutus. Secundus vero primo ac secundo, tertius primo, duobus secundis ac tertio, ita enim numero progresso, fit duplex multiplicitatis prima proportio, ut haec subjecta descriptio monet. Nam unitas in secundo ordine constituta, aequa est primae unitati in superiore loco dispositae. Item binarius aequus est unitati primae ac secundae. Item quaternarius aequus est unitati primae, ac duabus unitatibus secundis atque unitati tertiae, et est 1, 2, 4, dupla proportio. Quod si de his idem feceris, tripla comparatio procreabitur, ac de tripla quadrupla, de quadrupla quincupla, ac deinceps talis currit habitudinum procreatio. Rursus hisdem tribus praeceptis superparticulares fiunt, ut uno probamus exemplo. Convertamus nunc, et priorem majorem numerum disponamus 4, 2, 1; ponatur igitur primus primo aequus, id est 4; secundus primo scilicet et secundo, id est 6; tertius primo, duobus secundis, et tertio, id est 9; quibus dispositis sesquialtera notatur esse proportio. Atque id si de triplis fiat, sesquitertia; si de quadruplis sesquiquarta, consimilibusque in alterutra parte vocabulis proportionalitas ex multiplicitate nascetur, ex superparticularitate vero conversa ducitur superpartiens habitudo. Disponatur enim conversim sesquialtera comparatio, 9, 6, 4. Ponatur enim primus primo aequus, id est 9; secundus primo et secundo, id est 15; tertius primo duobus secundis ac tertio, id est 25; ac disponantur in ordinem hoc modo: Superbipartiens igitur ex conversis sesquialteris habitudo producta est; quod si quis ad hanc speculationem diligens scrutator accedat, ex sesquitertiis conversis supertripartientem producit, caeterisque similibus vocabulis adaequatis cunctas ex superparticularitate superpartientis species procreari mirabitur. Ex non conversis autem superparticularibus, sed ita ut ex multiplici procreati sunt, manentibus, necesse est multiplices superparticulares creari. Ex manentibus vero superpartientibus, ita ut ex superparticularibus prodierunt, non alii nisi multiplices superpartientes procreabuntur. Ac de his quidem hactenus, diligentius enim in Arithmeticae libris de hac comparatione est disputatum.
CAPUT VIII. Regula quotlibet continuas proportiones superparticulares inveniendi. Saepe autem accidit ut tres, vel quatuor, vel quotlibet aequas superparticularium proportiones de musica disputator inquirat. Sed ne id casu atque inscitia facientes, error ullus difficultatis impediat, hac regula quotlibet aequas proportiones ex multiplicitate ducemus. Unusquisque multiplex ab unitate scilicet computatus, tot superparticulares habitudines praecedit, suae scilicet in contrariam partem denominationis, quotus ipse ab unitate discesserit. Hoc modo ut duplex sesquialteras antecedat, triplex sesquitertias, quadruplex sesquiquartas, ac deinceps in hunc modum. Sit igitur duplorum subjecta descriptio. In superiore igitur descriptione binarius primus multiplex, unum ad se ternarium habet, qui possit facere sesquialteram proportionem. Ternarius vero non habet alium qui ejus possit esse sesquialter, quoniam medietate deficit. Rursus quaternarius secundus est duplex, hic duos sesquialteros antecedit senarium et novenarium, qui medietate caret. Atque idcirco nullus ei habitudine sesquialtera comparatur, et in caeteris idem est. Tripli vero eodem modo sesquitertios creant; sit enim similis in triplo descriptio. In superiore igitur descriptione sesquitertias proportiones ita natas videmus, ut primus triplex unum sesquitertium antecedat, secundus duos, tertius tres, semperque pars tertia in ultimo numero naturali quodam fine claudatur. Quod si quadruplum statueris eodem modo, sesquiquartos invenies, si quincuplum sesquiquintos. Ac deinceps singuli denominationis multiplicis tot superparticulares praecedunt, quote loco ipsi a se unitate discesserint. Unam vero tantum quadrupli dispositionem ponemus, ut in ea sicut in caeteris lector diligens acumen mentis exerceat. Haec igitur speculatio ad hanc utilitatem videtur inventa, ut quotienscunque 4 vel 5, vel quotlibet sesquialteros, vel sesquitertios, vel sesquioctavos, vel quotlibet alias proportiones quis investigare voluerit, nullo errore labatur, utque non ei numero primo tales proportiones quaerat aptare, qui quanti sint propositi, tot praecedere, et post se habere non possit. Sed disponat potius multiplices, videatque quantos superparticulares requirit, eumque multiplicem respiciat, qui eo loco ab unitate recesserit, ut est in superioribus descriptionibus, si tres sesquialteros fortasse quaesierit, non a quaternario ingrediatur investigationem. Hic enim, quoniam secundus est duplus, duos tantum praecedit, tertiumque ei aptare non poterit, sed ut ab octonario medietates tentet apponere. Hic enim quoniam tertius est, tres quas quaerit sesquialteras proportiones efficiet, et in caeteris eodem modo. Est etiam alia augendi proportiones via hoc modo: Radices proportionum dicuntur in eisdem comparationibus minimae proportionis. Disponatur enim numerus naturalis, unitate multiplicatus. Minimae igitur proportiones sunt, ut in sesquialtera 3 ad 2, in sesquitertia 4 ad 3, in sesquiquarta 5 ad 4, et deinceps in infinitum, et quaecunque se proportiones unitate praecesserint. Propositum igitur sit duas sesquialteras proportiones continua comparatione producere. Sumo radicem sesquialteram, eamque dispono, 2 et 3. Multiplico igitur binarium per binarium, fiunt 4. Item ternarius per binarium crescat, erunt 6. Rursus ternarium in semetipsum ducemus, fiunt 9, qui disponuntur hoc modo: Invenimus igitur duas propositas sesquialteras proportiones 6 ad 4, et 9 ad 6. Sit nunc propositum tres invenire. Dispono eosdem numeros quos supra in exquirendis duabus sesquialteris habitudinibus proposueram, ipsasque sesquialteras proportiones. Multiplico binario quaternarium, fiunt octo. Rursus senarium binario, fiunt 12. Rursus novenarium binario, fiunt 18. Rursus novenarium ternario, fiunt 27. Disponantur igitur hoc modo: Atque hic modus erit in caeteris, ut si sesquitertias proportiones velis extendere, ponas sesquitertiorum radices, quae sunt quaternarius atque ternarius ad se invicem comparati. Atque ad hunc modum multiplices, quod si sesquiquartas sesquiquartorum dispones radices, eademque multiplicatione sesquiquartos quotlibet extendes. Quantum autem nobis hae considerationes prosint, sequens ordo monstrabit.
CAPUT IX. De proportione numerorum qui ab aliis metiuntur. Si duos numeros eorum differentia integre fuerit permensa, in eadem sunt proportione numeri, quos sua differentia mensa est, in qua erunt proportione etiam hi numeri secundum quos eos sua mensa est differentia. Sint enim numeri 50, 55; hi ergo ad se invicem sesquidecima habitudine comparantur, et est eorum differentia quinarius, qui scilicet est pars decima numeri 50. Hic igitur metietur quidem 50 numerum decies, 55 vero undecies; secundum decem igitur atque 11 numeros 55 et 50 propria differentia, id est quinarius, permetietur, et sunt 11 ad 10 sesquidecima comparatione compositi. In eadem igitur sunt proportione numeri quos propria differentia integra permensa est, in qua sunt hi secundum quos eos propria differentia est permensa; quod si qua differentia numerorum ita eos numeros quorum est differentia metiatur, ut eamdem mensuram numerorum pluralitas excedat, idemque in utrisque sit excessus, et sit diminutior differentiae mensura, quam est pluralitas numerorum, majorem obtinebunt proportionem ad se invicem numeri, si eis illud quod relinquitur post mensionem, retractum sit, quam fuerunt integri, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri duo 53, 58; hos igitur quinarius, qui est eorum differentia, metiatur. Metitur igitur 53 quinarius decies usque ad 50, relinquit vero ternarium. Rursus 58 numerum metitur idem undecies usque ad 55, atque in eo iterum ternarium derelinquit. Auferatur igitur ex utrisque ternarius, fiunt 50 et 55, qui disponatur hoc modo: In hoc igitur manifestum est majoris esse proportionis inter se 50 et 55 quam 53 et 58. In minoribus enim numeris major semper proportio reperitur, quod paulo posterius demonstrabimus. Sin vero illa differentiae permensio numerorum multitudinem supervadat, eademque utrosque numeri pluralitate praetereat, minores erunt proportiones numeri superius mensi cum additione ejus summae qua utrosque metiens differentia supervadit, quam fuerunt ante, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri 48 et 53, horum quinarius differentia est. Metiatur igitur 48 numerum, quinarius decies fiunt 50. Supervadit igitur 50 numerus 48 numerum binario, idem quinarius 53 undecies metiatur fiunt 55, qui eisdem rursus duobus 53 numerum supervadit; addatur utrisque binarius et disponantur hoc modo: Minores igitur sunt proportiones 50 ad 55 comparati, cum additione scilicet binarii quo differentia eos metiens supervadit, quam 48 et 53 numeri quos eadem, quae tamen in eis supercrevit, quinarii differentia permensa est. Majores vero et minores proportiones hoc modo intelliguntur. Dimidia pars major est quam tertia. Tertia pars est major quam quarta. Quarta pars major est quam quinta, ac deinceps eodem modo. Unde fit ut sesquialtera proportio major sit sesquitertia, et sesquitertia sesquiquartam vincat. Atque idem in caeteris. Hinc evenit ut in numeris majoribus minor, et minoribus major semper videatur proportio superparticularium numerorum. Quod apparet in numero naturali: disponatur enim numerus naturalis 1, 2, 3, 4. Binarius igitur ad unitatem duplus est. Ternarius ad binarium sesquialter est. Quaternarius vero ad ternarium sesquitertius. Majores vero sunt numeri tres et 4. Minores vero binarius et unitas, in majoribus igitur minor, et in minoribus major proportio continetur; hinc apparet quod si aliquibus numeris proportionem continentibus superparticularem, aequa pluralitas addatur, majorem esse proportionem ante aeque pluralitatia augmentum, quam posteaquam eis aequa sit addita pluralitas.
CAPUT X. Quae ex multiplicibus et superparticularibus multiplicitates fiant. Illud etiam praetermittendum non videtur, quod paulo post demonstrabitur, si multiplex intervallum binario fuerit multiplicatum, id etiam quod ex illa multiplicatione nascetur multiplex esse. Quod si id quod ex tali multiplicatione procreatum sit non fuerit multiplex, tunc illud non esse multiplex, quod binario fuerit multiplicatum. Item si superparticularis proportio binario multiplicetur, id quod fit neque superparticulare esse, neque multiplex. Quod si id quod ex tali multiplicatione nascetur, neque multiplex, neque superparticulare est, tunc illud quod binario multiplicatum est, vel superparticularis vel alterius generis est, non vero multiplicis.
CAPUT XI. Qui superparticulares quos multiplices efficiant. His illud est addendum duos primos superparticulares primam efficere multiplicem proportionem, ut sesquialter et sesquitertius conjungantur duplicem creant. Sint enim numeri 2, 3, 4, 3 ad 2 sesquialter est, 4 ad 3 sesquitertius, quatuor ad duo duplus. Rursus primus multiplex primo additus superparticulari secundum multiplicem creat. Sint enim numeri 2, 4, 6; 4 namque ad 2 duplex est, primus scilicet multiplex. At 6 ad 4 sesquialter, qui est primus superparticularis; 6 ad duos triplus, qui secundus est multiplex: quod si triplum sesquitertio addas, quadruplus efficitur; si quadruplum sesquiquarto, quincuplus. Atque in hunc modum junctis proportionibus multiplicium ac superparticularium, in infinitum multiplices procreantur.
CAPUT XII. De arithmetica, geometrica, harmonica medietate. Quoniam vero de proportionibus quae erant interim tractanda praediximus, nunc de medietatibus est dicendum. Proportio enim est duorum ad se terminorum quaedam comparatio, terminos autem voco numerorum summas. Proportionalitas est aequarum proportionum collectio. Proportionalitas vero in tribus terminis minimis constat. Constat autem plerumque in pluribus, ut in quatuor vel in sex terminis. Cum enim primus ad secundum terminum eamdem retinet proportionem quam secundus ad tertium, dicitur haec proportionalitas. Estque inter tres terminos medius, qui secundus est. Has igitur proportiones medii termini conjungentis, trina partitio est. Aut enim aequa est differentia minoris termini ad medium, et medii ad maximum, sed non aequa proportio, ut in his numeris 1, 2, 3; inter unum quippe ac duo et inter duo et tres tantum unitas differentiam tenet. Non est autem aequa proportio. Duo quippe ad unum dupli sunt, ternarius ad duo sesquialter. Aut est aequa proportio in utrisque, non vero aequalibus differentiis constituta, ut in his numeris 1, 2, 4. Nam duo ad unum ita sunt dupli, quemadmodum quaternarius ad binarium. Sed inter quaternarium binariumque binarius, inter binarium atque unitatem unitas differentiam facit. Est vero tertium medietatis genus, quod neque eisdem proportionibus neque eisdem differentiis constat. Sed quemadmodum se habet maximus terminus ad minimum, ita sese habet majorum terminorum differentia ad minorum differentiam terminorum, ut in his numeris 3, 4, 6. Nam sex ad 3 duplus est, inter sex vero et 4 binarius interest. Inter quaternarium vero ac ternarium unitas. Sed binarius comparatus ad unitatem rursus duplus est; ergo ut est maximus terminus in numeris ad minimum, ita majorum differentia ad minorum differentiam terminorum. Vocatur igitur illa medietas, in qua aeque sunt differentiae, arithmetica. Illa vero in qua aequae proportiones, geometrica. Illa autem quam tertiam descripsimus, harmonica. Quarum haec subjiciamus exempla: Non vero ignoramus alias quoque esse proportionum medietates, quas quidem in arithmetica diximus; sed ad praesentem tractatum hae sunt interim necessariae. Sed inter has tres medietates proportionalitas quidem proprie, et maxime geometrica nuncupatur, idcirco quoniam aequis proportionibus tota contexitur. Sed tamen eodem utemur promiscue vocabulo, proportionalitates etiam caeteras nuncupantes.
CAPUT XIII. De continuis medietatibus et disjunctis Sed in his alia continua est proportionalitas, alia disjuncta. Continua quidem, ut superius disposuimus. Unus enim idemque numerus medius, nunc quidem majori supponitur, nunc quidem minori praeponitur. Quotiens vero duo sunt medii, tunc disjuncta proportionalitas nuncupatur, ut in geometrica hoc modo, 1, 2, 3, 6. Nam ut est binarius ad unitatem, ita senarius ad ternarium, et vocatur haec disjuncta proportionalitas; unde intelligi potest continuam quidem proportionalitatem in tribus et minimis terminis inveniri, disjunctam vero in 4. Potest autem in 4 et in pluribus continua esse proportionalitas, siquidem hoc modo sit, 1, 2, 4, 8, 16. Sed hic non erunt duae proportiones, sed plures, semperque una minus quam sint termini constituti.
CAPUT XIV. Cur ita appellatae sint digestae superius medietates. Idcirco autem una eorum medietas arithmetica nuncupatur, quod inter terminos, secundum numerum aequa est differentia. Geometrica vero secunda dicitur, quod similis est qualitas proportionis. Harmonica autem vocatur, quoniam ita est coaptata, ut in differentiis ac terminis aequalitas proportionum consideretur. Et de his quidem diligentius in arithmeticis disputatum est, nunc vero ut commemoremus, tantum ista percurrimus.
CAPUT XV. Quemadmodum ab aequalitate supradictae processerant medietates. Sed paulisper quemadmodum istae proportionalitates ab aequalitate procreantur dicendum est. Praedictum est enim quod in numero valet unitas, idem in proportionibus aequalitatem valere, et sicut numeri caput est unitas, ita proportionum aequalitatem esse principium. Quocirca hoc modo arithmetica medietas ab aequalitate nascetur: positis enim tribus aequis terminis, hi duo modi sunt quibus haec proportionalitas producatur. Ponatur enim primus primo aequus. Secundus primo et secundo. Tertius primo secundo ac tertio, quod hoc monstratur exemplo: Sint unitates tres. Ponatur igitur primus primo aequus id est unus. Secundus primo ac secundo, id est duo. Tertius primo secundo ac tertio, id est tres, eritque dispositio talis: Rursus sint tres binarii inaequalitate constituti, 2, 2, 2: ponatur primus primo aequus, id est 2. Secundus primo et secundo, id est 4. Tertius primo secundo ac tertio, id est 6, et erit dispositio haec: Sed in his hoc speculandum est, quod unitas fuerit ad aequalitatis principium constituta, unitas etiam erit in differentiis numerorum, ipsi vero numeri inter se nullum intermittunt. Si vero binarius teneat aequalitatem, binarius est differentia, et unus inter terminos semper numerus intermittitur. Sin vero ternarius idem differentia est, inter terminos vero duo naturaliter constituti intermittentur, ac deinceps in hunc modum: Est etiam alia proportionalitatem arithmeticam procreandi via. Ponantur enim tres aequi termini, constituaturque primus primo ac secundo aequus, secundus primo ac duobus secundis, tertius primo et duobus secundis ac tertio, ut si sint tres unitates. Sit primo primo ac secundo aequus, id est secundo. Secundus vero primo, ac duobus secundis, id est lertio. Tertius autem primo, duobus secundis ac terlio, id est quatuor. Hic igitur terminorum differentiam unitas tenet; inter binarium enim et unitatem, atque inter ternarium ac binarium, unitas interest. Nullus vero naturalis numerus intermittitur. Post unitatem enim mox binarius est, ac post binarium ternarius naturaliter constitutus; idem rursus in binario fiat. Sintque tres binarii, et sit primus primo ac secundo aequus, id est quaternarius; secundus vero primo et duobus secundis, id est senarius; tertius autem primo, duobus secundis ac tertio, id est octonarius. Hic quoque binarius tenet differentiam terminorum, uno inter eos naturaliter intermisso. Nam inter 4 et 6 quinarius naturaliter intermittitur, inter 6 atque 8 septenarius collocatur. Quod si ternarius aequalitatis principium sit, fiet ternarius differentia; verbi gratia: Sint termini tres ad regulas superiorum subtus. In his ergo ternarius est differentia, et duo numeri intermissi, id est uno minus quam sit differentia semper numeris intermissis, atque idem et in quaternario, quinarioque perspicitur, et quae nos propter brevitatem tacemus, iisdem regulis ex semetipso diligens lector inveniet. Geometrica vero proportionalitas tunc quemadmodum inveniri ab aequalitate possit ostendimus, quando quemadmodum ab aequalitate omnis inaequalitas profluit monstrabamus, nisi tamen fastidium est, nunc quoque breviter repetendum est. Constitutis enim tribus aequis terminis, ponatur primus primo aequus. Secundus primo ac secundo. Tertio primo duobus secundis ac tertio. Idemque fiat continue atque ita ex aequalitate geometrica proportionalitas principium sumat. Sed de harum proportionum proprietatibus quam diligentissime in arithmeticis diximus; quod si ad haec illis instructus lector accedat, nullo dubitationis errore turbabitur. Harmonica vero medietas, de qua nunc paulo latius tractandum est, hac ratione procreatur. Constituatur enim, siquidem duplices curamus effingere, tribus aequis terminis positis, primus primo ac duobus secundis aequalis. Secundus duobus primis et duobus secundis. Tertius semel primo, bis secundo, et ter tertio. Atque hoc modo sint unitates. Constituatur igitur primus primo ac duobus secundis aequalis, id est ternarius. Secundus vero duobus primis et duobus secundis, id est quaternarius. Tertius vero primo ac duobus secundis et tribus tertiis, id est sex. Et si in binariis aequalitas construatur, vel in ternariis eadem ratio medietatis apparet, duplo a se terminis differentiisque distantibus, ut subjectae descriptiones monent. Quod si facienda est in extremitatibus tripla proportio, tribus aequis terminis constitutis, primus quidem faciendus est ex primo ac secundo, secundus vero ex primo ac duobus secundis, tertius autem ex primo, duobus secundis ac tribus tertiis, ut est subjecta descriptio. Sed ingressi harmonicam disputationem quae de ea diligentius dici possunt tacite praetereunda esse non arbitror. Collocetur igitur harmonica proportionalitas, inque ea descriptione superiore ordine termino rum inter se differentiae disponantur. Videsne igitur ut quatuor ad tres diatessaron consonantiam prodant, sex ad quatuor diapente concordent; sex vero ad tres diapason misceant symphoniam, ipsaeque earum differentiae rursus eamdem statuant consonantiam. Binarius enim ad unitatem duplus est in diapason consonantia constitutus; quod si se extremitates multiplicent, itemque medius sui multiplicitate succrescat, comparati numeri toni habitudinem concordiamque servabunt. Ter enim sex efficiunt 18, quater fient 16. Sed 18 numerus, 16 numerum minoris parte octava transcendit. Rursus minimus terminus si se ipse multiplicet, efficiet 9. Quod si major terminus sui multiplicatione concrescat, efficiet 36, qui sibimet comparati, quadruplam, id est bis diapason, concinentiam servant. Quod si haec diligentius inspiciamus, haec erit omnis rei differentiarum vel terminorum in se invicem multiplicatio. Minimus enim terminus, si medio multiplicetur, fient 12. Item minimus terminus, si maximo multiplicetur, fient 18. Medius vero terminus, si maximi numerositate augeatur, fiant 24. Rursus terminus minimus, si seipso concrescat, fient 9. Eodem modo si medius, fiant 16. Senarius vero, qui maximus est, si seipsum multiplicet, 36 reddet: haec igitur in ordinem disponantur, 36, 24, 18, 16, 12, 9. Sunt igitur diatessaron consonantiam resonantes 24 ad 18, et 12 ad 9, diapente vero 18 ad 12, et 24 ad 16, et 36 ad 24. Tripla autem quae est diapason et diapente 36 ad 12. Quadrupla vero quae est bis diapason 36 ad 9. Epogdous vero qui tonus est 18 ad 16 comparatione servatur.
CAPUT XVI. Quemadmodum inter duos terminos supradictae medietates vicissim collocentur. Solent autem duo termini dari proponique, ut inter eos nunc quidem arithmeticam, nunc vero geometricam, nunc harmonicam medietatem ponamus; de quibus in arithmeticis quoque diximus, id tamen ipsum nunc etiam breviter explicemus. Si arithmetica medietas quaeritur, datorum terminorum videnda differentia est, eademque dividenda ac minori termino adjicienda. Sint enim decem et 40 altrinsecus termini constituti, horumque medietas secundum arithmeticam proportionalitatem quaeratur. Differentiam prius utrorumque respicio, quae est 30; hanc divido, fiunt 15; hanc minori termino, id est decem appono, fiunt 25. Si igitur hic inter 10 et 40 medius collocetur, fit arithmetica proportionalitas hoc modo, 10, 25, 40. Item inter eosdem terminos medietatem geometricam collocemus. Extremos propria numerositate multiplico, ut 10 in 40 fiunt 400; horum tetragonale latus assumo, fiunt viginti. Vicies enim viginti fiunt 400. Hos igitur 20 medios inter 10 ac 40 si collocem, fit geometrica medietas subjecta descriptione formata, 10, 20, 40. Si vero harmonicam medietatem quaeramus, sibimetipsos copulamus extremos, ut 10 et 40 fient 50. Eorum differentiam quae est 30 in minorem terminum multiplicemus, scilicet in 10, ut fiant decies 30, qui sunt 300; hos si secundum 50 partimur, fiunt 6. Quos cum minori termino addiderimus, fient 16. Hunc igitur numerum si inter 10 ac 40 medium collocemus, harmonica proportionalitas expedietur 10, 16, 40.
CAPUT XVII. De consonantiarum modo secundum Nicomachum. Sed his hactenus. Nunc illud addendum videtur quemadmodum Pythagorici probant consonantias musicas in praedictis proportionibus inveniri, in qua re scilicet eis Ptolemaeus non videtur assensus, de quo paulo posterius dicemus. Haec enim ponenda est maxime esse prima suavisque consonantia, cujus proprietatem sensus apertior comprehendit. Quale enim est unumquodque per semetipsum, tale et deprehenditur sensu. Si igitur cunctis notior est ea consonantia quae in duplicitate consistit, non est dubium primam esse omnium diapason consonantiam, meritoque excellere, quoniam cognitione praecedat. Reliquae vero hunc necessario secundum Pythagoricos ordinem tenent, quem dederint multiplicitatis augmenta et superparticularis habitudinis detrimenta. Monstratum quippe est quod multiplex inaequalitas superparticulares proportiones meriti antiquitate transcendat. Quocirca naturalis numerus ab unitate usque ad quaternarium disponatur, 1, 2, 3, 4. Igitur unibinarius comparatus proportionem duplicem facit, et reddit diapason consonantiam eam, quae est maxima, ei simplicitate notissima. Si vero unitati ternarius comparetur, diapason ac diapente concordiam personabit. Quaternarius vero unitati comparatus quadruplam tenet, scilicet bis diapason efficiens symphoniam; quod si ternarius binario comparetur, diapente. Si vero quaternarius ternario diatessaron consonantiam supplet, isque est horum ordo cunctis ad se invicem comparatis. Nam comparatio quae restat, si quaternarium binario comparemus, cadet in duplicem proportionem, quam tenebat ad unitatem binarius comparatus; itaque maxime distant soni in bis diapason, cum a se quadrupla intervalli dimensione discedunt. Minimum vero, cum acutior graviorem tertia gravioris parte transcendit, ac stat deinceps concinentiarum modus, qui neque ultra quadruplam possit extendi, neque intra partem tertiam coarctari; et secundum Nicomachum quidem hic consonantiarum est ordo, ut sit prima diapason, secunda diapason et diapente, tertia bis diapason, quarta diapente, quinta diatessaron.
CAPUT XVIII. De ordine consonantiarum sententia Eubulidis et Hippasi. Sed Eubulides atque Hippasus alium consonantiarum ordinem ponunt: aiunt enim multiplicitatis augmenta superparticularitatis diminutioni rato ordine respondere. Itaque non posse esse duplum nisi dimidium, nec triplum praeter tertiam partem. Quoniam igitur sit duplum, ex eo diapason consonantiam reddi. Quoniam vero sit dimidium, ex eo quasi contraria divisione sesquialteram, id est diapente, effici proportionem. Quibus mixtis, scilicet diapason ac diapente, triplicem procreari, quae utramque contineat symphoniam, sed rursus triplicis partem tertiam contraria divisione partiri. Ex qua rursus diatessaron symphonia nascetur. Triplicem vero atque sesquitertium junctos quadruplam comparationem proportionis efficere; unde fit ut ex diapason et diapente quae est una consonantia, et diatessaron una continentia conjungatur, quae in quadruplo consistens bis diapason nomen accepit. Secundum hos quoque hic ordo est: Diapason, diapente, diapason ac diapente, diatessaron, bis diapason.
CAPUT XIX. Sententia Nicomachi quae quibus consonantiis apponantur. Sed Nicomachus non eamdem esse eis arbitratur contrariam positionem. Sed potius ut unitas in arithmeticis crementi erat diminutionisque principium, ita etiam diapason symphoniam reliquarum esse principium, illas vero sibi contraria divisione posse constitui; id vero facilius erit cognitu si prius praevideatur in numeris. Constituatur igitur unitas, duaeque partes ab ea fluant, una multiplicis, alia divisionis. Sitque haec formula: Et ad hunc modum ad infinita progressio est. Binarius enim unitatis duplex est. Contraria vero ejus pars eisdem dimidium unitatis ostendit. Tres triplus et contraria pars tertia. Quatuor quadruplus, parsque et contraria quarta. Atque ita crescendi et decrescendi in simplici est unitate principium. Idem igitur nunc ad consonantias convertamus. Est igitur diapason quae dupla est supremi loco principii, quae vero reliquae sunt, in contraria divisione hoc modo. Sesquialter quidem triplo, sesquitertius vero quadruplo, quod tali argumentatione probabitur. Idem enim primum est sesquialter, qui primus triplus principalis, scilicet unitatis. Nam ternarius idem primus triplus est, scilicet unitati. Idem primus sesquialter, si binario comparetur. Rursus idem ternarius ejusdem differentiae quam ad binarium facit, cujus naturaliter positus probatur esse sesquialter, triplus est. Cum igitur jure sesquialter triplici opponatur, diapente consonantia, diapente ac diapason consonantiae rationabiliter putatur opponi. Rursus quadruplus sesquitertii contrariam divisionem tenet. Nam qui est primus quadruplus, idem rursus primus sesquitertius invenitur hoc modo. Quaternarius quippe primus est quadruplus, si unitati primus sesquitertius, si ternario comparetur. Rursus ejus differentiae, quam inter se ac ternarium tenet, ipse fit quadruplus. Unde fit ut sesquitertia proportio, quae est diatessaron, quadruplae proportioni, quae est bis diapason, in contrarium dividatur. Dupla vero quoniam nullam habet oppositam proportionem, nec ullius ipsa sesquialtera est, aut exstat numerus cui possit binarius, qui primus est duplus, superparticulari proportione conjungi, talem formam contrariae proportionis excedit. Atque idcirco secundum Nicomachum diapason consonantiarum principium teneat hoc modo: Sed quamvis ita sese habeat, inquit tamen omnes melius multiplices proportiones consonantiarum praecedere, superparticulares sequi, sicut paulo ante descripsimus. Cum igitur consonantia sit duarum vocum rata permixtio, sonus vero modulatae vocis casus, una intentione productus, sitque idem minima particula modulationis, omnis vero sonus constet impulsu. Pulsus vero omnis ex motu fiat, cumque motuum aliqui sint aequales, alii vero inaequales, inaequalium vero alii sint multo inaequales, alii vero minus, alii vero mediocriter inaequales. Ex aequalitate quidem nascitur sonorum aequalitas. Ex inaequalitate vero ea quae secundum mediocritatem distantiae inaequales sunt, manifestae, primaeque ac simpliciores eveniunt proportiones, quae sunt scilicet multiplices aut superparticulares, dupli, tripli, quadrupli, sesquialteri, atque sesquitertii consonantiae. Ex his vero quae in reliquis proportionibus, vel multimodis, vel non ita claris, vel longe omnino a se distantibus inaequalitates fiunt, dissonantiae existunt. Nulla autem sonorum concordia procreatur.
CAPUT XX. Quid oporteat praemitti ut diapason in multiplici genere demonstretur. Hoc igitur ita distincto, demonstrabitur diapason consonantiam, quae cunctarum optima est in multiplici inaequalitatis genere, et in duplicitatis habitudine reperiri. Ac primum quidem illud demonstrandum, quemadmodum in multiplicitatis genere diapason consonantia possit agnosci. Praecurrendum est igitur ad breve quiddam, quo prius cognito facilior demonstratio fiat, ab omni superparticulari, si continuam ei superparticularem quis auferat proportionem, quae est scilicet minor, id quod relinquitur minus est ejus medietate, quae detracta est proportionis, ut in sesquialtera ac sesquitertia. Quoniam sesquialtera major est, sesquitertiam de sesquialtera detrahamus, relinquitur sesquioctava proportio, quae duplicata non efficit integram sesquitertiam proportionem; sed ea distantia minor est quae in semitonio reperitur; quod si duplicata sesquioctava comparatio non est integra sesquitertiae, simplex sesquioctava non est sesquitertiae proportionis plena medietas; quod si sesquiquartum sesquitertio auferas, id quod relinquitur medietatem sesquiquarti non efficit, idemque in caeteris.
CAPUT XXI. Demonstratio per impossibile diapason in multiplici genere esse. Age nunc ad diapason consonantiam redeamus. Quod si ea non est in multiplici genere linaequalitatis, cadet in superparticulare inaequalitatis genus. Sit igitur superparticularis proportio diapason consonantia. Auferatur ab ea continua consonantia, id est diapente, relinquitur diatessaron. Bis igitur diatessaron minus est uno diapente, et ipsum diatessaron non implet diapente consonantiae medietatem, quod est impossibile. Monstrabitur enim bisdiatessaron tono ac semitonio consonantiam diapente transcendere. Quocirca nec diapason quidem in superparticulari inaequalitatis genere poni potest.
CAPUT XXII. Demonstratio per impossibile, diapente, diatessaron, et tonum in superparticulari esse. Restat igitur ut diapente ac diatessaron, et tonum, in superparticularitate ponenda esse monstremus. Nam etsi id in prima quoque probatione ea qua diapason in superparticulari genere non esse ponenda monstravimus, id quoque quodam rationis modo perclaruit; sigillatim tamen de eo ac diligentius pertractemus. Nam si in superparticulari quis has habitudines ponendas esse non dixerit, in multiplici genere fatebitur collocandas. Nam in superpartienti vel caeteris mixtis cur poni non possint, superius (ut arbitror) explanatum est. Ponantur igitur, si fieri potest, in multiplici genere. Et quoniam diatessaron consonantia minor est, diapente major, diatessaron duplici, diapente vero triplici proportioni multiplicitatis aptetur. Verisimile est enim ut est consonantia diatessaron consonantiae, diapente continua, ita si diatessaron in duplici statuitur, diapente incontinua duplicis poni, id est triplici. Tonus autem quoniam in habitudinibus musicis post diatessaron locatur, nimirum in ea proportione ponatur, quae est minor duplici. Haec autem in multiplicitatis genere non potest inveniri. Restat igitur ut in superparticularitatis habitudinem cadat. Sit igitur prima, id est sesquialtera, toni proportio. Nam si duplicem auferamus, triplici, quod relinquitur, sesquialter est. Quod si diatessaron quidem duplex est, diapente vero triplum, sublato diatessaron a diapente tonus reliquus fit, nullo modo dubitari potest quin tonus in sesquialtera debeat proportione constitui. Sed duae sesquialterae proportiones duplicem vincunt, quemadmodum ex arithmeticis instructus sibi potest quisque colligere. Duo igitur toni diatessaron superabunt, quod est inconveniens: diatessaron enim duos tonos semitonii spatio transcendit. Non igitur fieri potest ut non diapente ac diatessaron in superparticulari inaequalitatis genere collocetur. Quod si quis tonum quoque in multiplici genere esse perscribat, quoniam quidem tonus minor est quam diatessaron. Diatessaron vero minus est quam diapente, diapente quidem ponatur in quadrupla, diatessaron in tripla, tonus in duplici. Sed diapente constat ex diatessaron et tono. Quadruplum igitur secundum hanc rationem constabit, ex triplo ac duplo, quod fieri nequit. Rursus statuatur diatessaron quidem in triplici, et diapente in quadruplo. Si igitur auferamus triplum a quadruplo, sesquitertius relinquetur. Rursus si diatessaron diapente consonantiae subtrahas, fit reliquus tonus. Tonus igitur secundum hanc rationem in sesquitertia proportione constabit. Sed tres sesquitertii uno triplici sunt minores. Tres igitur toni unum diatessaron nulla ratione supplebunt, quod est falsissimum. Duo enim toni ac semilonium minus diatessaron consonantiam supplent. Ex his igitur demonstratur diatessaron consonantiam non esse multiplicem. Dico autem quoniam nec diapente consonantia in multiplici genere poterit collocari. Nam si in eo statuatur, quoniam est ei minor continua, id est diatessaron, non locabitur diapente in minimo multiplici, id est duplici, scilicet ut sit locus quo diatessaron consonantia possit aptari. Sed diatessaron consonantia multiplicis generis non est. Quocirca nec diapente, in majore habitudine multiplicis quam est dupla quae minima est, aptari potest. Si igitur diapente in minima, scilicet dupla, diatessaron vero, quae minor est, in multiplici quidem aptari non potest. Non est enim quidquam minus a se duplici. Sit igitur sesquialtera, tonus vero sesquitertia, in continua enim proportione locabitur. Sed duo sesquitertii ampliores sunt uno sesquialtero. Duo igitur toni unam diatessaron consonantiam vincent, quod nulla ratione continget. Ex his igitur approbatur diapente ac diatessaron in multiplici genere collocari non posse: quocirca in superparticulari inaequalitatis genere jure ponentur.
CAPUT XXIII. Demonstratio diapente et diatessaron in maximis superparticularibus collocari. Illud quoque addendum necessario est, quoniam si diapente ac diatessaron superparticulares proportiones tenent, in maximis superparticularibus proportionibus collocantur. Sunt autem maxime sesquialtera et sesquitertia. Hoc vero approbabitur hoc modo. Nam si in minoribus proportionibus quam sesquialtera vel sesquitertia diapente ac diatessaron consonantiae collocentur, non est dubium quin sicut aliae quaelibet proportiones superparticulares praeter sesquialteram et sesquitertiam junctae non efficiunt unum duplum, ita diapente ac diatessaron unum diapason nulla ratione concludunt. Quoniam enim diapason in duplici proportione esse monstratum est, duplex vero proportio ex sesquialtero sesquitertioque componitur; diapason vero ex diatessaron ac diapente copulatur, non est dubium quin, si totum diapason in duplici statuatur, diapente et diatessaron in sesquialtera sesquitertiaque proportione sint locandae. Aliter enim non poterunt diapason junctae perficere, quae consonantia in duplici proportione consistit, nisi in his duabus proportionibus steterint sesquialtera scilicet ac sesquitertia. Aliae enim proportiones superparticulares hanc nulla ratione conjungent.
CAPUT XXIV Diapente in sesquialtera, diatessaron in sesquitertia esse, tonum in sesquioctava. Dico autem quoniam proprie diapente in sesquialtera, et diatessaron in sesquitertia proportione consistit. Quoniam enim inter utrasque proportiones, sesquialteram scilicet et sesquitertiam, sesquialtera est major et sesquitertia minor, quoniamque in consonantiis diapente major, diatessaron minor, apparet majorem proportionem majori, et minorem minori esse consonantiae aptandum. Erit igitur diapente quidem in sesquialtera, diatessaron vero in proportione sesquitertia collocanda. Quod si diatessaron a diapente consonantiam subtrahamus, relinquitur spatium, quod dicitur tonus. Sesquitertium vero si proportioni sesquialterae minuamus, relinquitur sesquioctava proportio. Quo fit ut tonus in sesquioctava debeat ratione constitui.
CAPUT XXV. Diapason ac diapente in tripla proportione esse, bis diapason in quadrupla. Sed quoniam demonstratum est diapason quidem duplam, diapente vero sesquialteram, junctas vero duplam ac sesquialteram triplicem proportionem procreare, ex his etiam apparet diapente ac diapason in triplici proportione constitui. Sed si quis triplici proportioni sesquitertiam habitudinem jungat, quadruplam facit. Igitur si diapente ac diapason consonantiis diatessaron symphonia jungatur, fit quadruplum spatium vocum, quod bis diapason supra esse monstravimus.
CAPUT XXVI. Diatessaron ac diapason non esse consonantiam secundum Pythagoricos. Sed in his illud diligens lector agnoscat, quod consonantiae consonantiis suppositae alias quasdam consonantes efficere. Nam diapente ac diatessaron junctae, diapason (ut dictum est) creant; huic vero, id est diapason, rursus si diapente symphonia jungatur, fit consonantia, quae ex utrisque vocabulis nuncupatur, diapason scilicet ac diapente. Cui si diatessaron addatur, fit bis diapason, quae quadruplam proportionem tenet. Quid igitur si diatessaron ac diapason consonantias jungamus, ullamne secundum Pythagoricos efficient consonantiam? Minime. Mox enim in superpartiens inaequalitatis genus cadit, nec servat vel multiplicitatis ordinem, vel superparticularitatis simplicitatem. Age enim statuantur numeri quibus id facilius approbemus: sit enim ternarius, cujus sit senarius, duplus scilicet, in diapason proportione consistens. Huic aptetur sesquitertia quam diatessaron esse praediximus, ut octonarius. Is enim ad senarium diatessaron proportionem tenet, qui octonarius ad ternarium comparatus habet eum bis. Sed ne sit multiplex, habet etiam ejus aliquas partes, neque eas simplices. Duabus enim eum supervenit unitatibus, quae sunt duae tertiae partes ternarii, quem primum terminum minimumque locamus. Sint igitur termini hi, 3, 6, 8. Illud quoque quae inter duas sibi continuas consonantias cadit, etenim neque duplum est integrum, ut diapason consonantiam prodat, neque triplum, ut diapason ac diapente efficiat symphoniam. Cui si tonus addatur, mox triplum modum proportionis efficiet. Quoniam enim diapason ac diapente sibi junctae efficiunt triplum, diatessaron vero et tonus diapente consonantiam jungunt, si diapason consonantia addatur diatessaron, inconsonum fit, quoniam inter duplicem ac triplicem nulla potest naturaliter proportio multiplicitatis intelligi. Quod si ei adjicio tonum, fit diapason, diatessaron, et tonus, quod nihil distabit utrum diapason ac diapente sit. Diatessaron enim et tonus diapente constituunt. Sit enim diapason quidem 3 et 6; diatessaron 6 et 8; tonus 8 et 9; diapente 6 et 9; diapason ac diapente 3 ac 9: erit igitur sic tripla proportio 3, 6, 8, 9. Sed quanquam de his multa Nicomachus, nos tamen qua potuimus brevitate partim ea ipsa quae Pythagorici affirmant promentes, partim ex eisdem quaedam consequentia argumentantes, probavimus, si diatessaron consonantiae diapason addatur, consonantiam ex his conjungi non posse. Quid vero sentiat de his Ptolemaeus, posterius apponam. Sed de his hactenus; nunc de semitoniis considerandum est.
CAPUT XXVII. De semitonio in quibus minimis numeris constet. Videntur enim semitonia nuncupata, non quod vere tonorum sint medietates, sed quod sint non integri toni. Hujusque spatii quod nunc quidem semitonium nuncupamus, apud antiquiores autem limma vel diesis vocabatur, hic modus est. Cum enim ex sesquitertia proportione quae diatessaron est, duae sesquioctavae habitudines, quae toni sunt, auferuntur, relinquitur spatium quod semitonium nuncupatur. Quaeramus igitur duos tonos continua dispositione descriptos. Sed, quoniam hi (ut dictum est) in sesquioctava proportione consistunt, duasque sesquioctavas proportiones continuas adhibere non possumus, nisi multiplex ille, a quo hae derivari possint, reperiatur, sit unitas prima eique octonarius octuplus primus. Ab hoc igitur unum sesquioctavum potero derivare. Sed quia duos quaerimus, fient octies octo, atque ex eo 64 explicentur. Erit igitur secundus octuplus a quo possumus duas sesquioctavas proportiones educere. Namque octo quae est octava pars 64 unitatum eisdem additi totam summam 72 perficiunt; his vero si sua octava similiter opponatur, quae est novenarius, 81 reddunt. Eruntque hi duo toni continui principali dispositione conscripti 64, 72, 81. Nunc igitur 64 unitatum sesquitertium conquiramus. Sed quoniam 64 probantur partem tertiam non habere, si omnes hi numeri ternario multiplicentur, mox eis pars tertia contingit, et omnes in eadem proportione durabunt, in qua fuerunt antequam his ternarius multiplicator accederet; fiant igitur ter 64, id est 192, horum tertia 64 eisdem addita 256 reddet. Erit igitur haec sesquitertia proportio diatessaron consonantiam tenens. Nunc igitur duas sesquioctavas proportiones ad 192 duobus se numeris continentes rato ordine collocemus; fiant igitur ter 72, id est 216. Rursus ter 81, qui sunt 243, qui inter duos supra scriptos terminos collocentur hoc modo: 192, 216, 243, 256. In hac dispositione proportionum, primus numerus ad postremum diatessaron constituit consonantiam. Idem vero primus ad secundum, et secundus ad tertium geminos constituunt tonos. Constat igitur spatium quod relinquitur ex 243 ad 256, in quibus minimi semitonii forma consistit.
CAPUT XXVIII. Demonstrationes non esse: 243 ad 256 toni medietatem. Approbo igitur 243 ad 256 distantiam non esse integram toni medii dimensionem. Etenim ducentorum quadraginta trium et ducentorum 56, differentia 13 tantum unitatibus continetur. Qui tredecim minus quidem quam minoris octavam decimam, plus vero quam nonam decimam obtinent partem. Si enim octies decies tredecim ducas, efficies 234, qui 243 nullo modo aequabit; si decies novies multiplices, supervadent, cum oporteat omne semitonium, si tamen integrum toni dimidium tenet, inter sextam decimam partem ac septimam decimam collocari. Quod posterius demonstrabitur. Nunc illud liquebit talem semitonii distantiam sibimet geminatam, unum toni spatium non posse complere. Age enim ut sese 256 ad 243 habent, tales duas sibimet continuas proportiones, secundum superius descriptam regulam disponamus; 200 enim et 50 et 6 in semetipsos multiplicemus, et sit maximus terminus 65536. Item 243 propria numerositate concrescant, et sit minimus terminus 59049. Rursus igitur 256 ad ducentorum 43 multitudinem concrescant. Erit igitur numerus 62208; hic igitur medius collocetur hoc modo: In eadem igitur sunt proportione ducenti 56 et 243, In qua 65536 ad 62208; et item 62208 ad 59049. Sed maximus eorum terminus, qui est 65536, ad minimum qui est 59049, unum integrum non efficit tonum. Quod si primi ad secundum proportio, quae est aequa secundi ad tertium proportioni, integri esse semitonii probaretur, duo dimidia juncta unum necessario efficerent tonum. Nunc autem cum non sit extremorum terminorum sesquioctava proportio, manifestum est haec duo spatia proprie tonorum dimidia non videri. Quidquid enim cujuscunque est dimidium, id si duplicetur illud efficit, cujus dicitur esse dimidium. Si vero illud implere non possit geminata particula, minus est parte dimidia. Si vero superfluat ac supervadat, plus est parte dimidia. Praeterea probabuntur 65536 non facere sesquioctavam proportionem. Si 59049 unitatibus comparentur, si octava pars 59049, eisdem secundum eas quae in arithmeticis dictae sunt regulas aggeratur. Quae quoniam in integris numeris non consistit, idcirco eamdem octavam partem relinquimus lectorum diligentiae computandam. Liquet igitur eam proportionem quae in 256 et 243 est constituta, non esse integrum dimidium toni; quocirca id quod vere semitonium nuncupatur, pars toni minor est quam dimidia. (Pinxissem totum spatium toni. At minimus terminus puta 59049 praecedentem sesquioctavam non habet, cum ipse sit quintus sesquioctavus, quinti octupli. Ut id in figurula ante picta comperies.)
CAPUT XXIX. De majore parte toni in quibus minimis numeris constet. Reliqua igitur pars, quae major est, apotome nun cupatur a Graecis, a nobis vero potest vocari decisio. Id enim natura fert, ut quotiens aliquid secatur, ita ut non aequis partibus dividatur, quarto minor pars dimidio minor est, tanto major pars eadem, quae auctior est, dimidium vincat. Quantum igitur semitonium minus integro dimidio toni minus est, tanto apotome toni integrum superat dimidium et vincit. Et quoniam docuimus semitonium in 256 et 243 principaliter stare, nunc ea quae apotome dicitur. In quibus possit minimis constare numeris approbemus. Si igitur 243 partem recipere octavam possent cum ad eum sesquioctavus numerus comparetur, tunc 256 habitudo ad sesquioctavam summam minimi numeri comparata, apotomen necessaria ratione monstraret. Nunc vero quoniam ei pars octava deesse monstratur, utrique numeri octies fiant. Et ex 243 quidem octies multiplicatis fit numerus 1944. Quibus si propria conferatur octava qui sunt 243, fient 2187. Rursus 256 per octonarium crescant, fient igitur 2048. Atque hic suprascriptorum terminorum in medio collocetur. Tertius igitur terminus ad primum toni retinet proportionem. Secundus ad primum semitonii minoris. Apotomes vero tertius ad secundum. Atque in hisdem primis apotomes videtur constare proportio, cum semitonii in 256 et 243, minimis numeris spatium contineatur. Idcirco autem 1944 et 2048 in eadem proportione sunt qua 243 ad ducentos 56, quoniam 256 et 243 octonario multiplicati sunt. Si enim unus numerus duos quoslibet numeros multiplicet, qui ex ea multiplicatione nascuntur, in eadem erunt proportione qua fuerunt hi numeri quos prior numerus multiplicavit.
CAPUT XXX. Quibus proportionibus diapente, diapason, constent, et quoniam diapason sex tonis non constet. Sed quoniam de diatessaron consonantia latius diximus, brevius et pene puris numeris de diapason ac diapente consonantiis disseramus. Diapente enim constat ex tribus tonis ac semitonio, id est ex diatessaron et tono. Disponantur enim numeri quos superior descriptio comprehendit, 192, 216, 243, 256. In hac igitur dispositione primus terminus ad secundum, et secundus ad tertium tonorum retinet proportiones. Sed tertius ad quartum semitonii minoris, ut supra monstratum est. Si igitur 256 octava eisdem quorum octava est apponatur, fient 288. Quibus 192 comparati, sesquialterum spatium proportionis efficiunt. Quocirca tres quidem toni sunt, si primus ad secundum, secundus ad tertium, quintus conferatur ad quartum. Semitonium vero minus tertii ad quartum terminum comparatio tenet; quod si diatessaron quidem duorum tonorum est ac semitonii minoris, diapente vero trium tonorum ac semitonii minoris, junctae vero diatessaron ac diapente unum diapason videntur efficere, erunt quinque toni et duo spatia semitoniorum minora, quae unum tonum non videantur implere. Non est igitur diapason consonantia constans sex tonis, ut Aristoxenus arbitratur, quod in numeris quoque dispositum evidenter apparet. Sex enim toni in ordinem disponantur, scilicet in sesquioctavis proportionibus constituti, sex vero sesquioctavae proportiones a sexto octuplo procreantur. Disponantur igitur sexoctupli, hoc modo: Ab hoc igitur ultimo numero sex toni in sesquioctava proportione constituti locentur, hoc modo dispositis, primum octupiis terminis, ut octavae terminorum partes ipsorum terminorum lateribus adjungantur; sit autem descriptio talis: Hujus igitur dispositionis haec ratio est. Continuus enim versus, qui limes dicitur, octuplos numeros tenet. A sexto vero octuplo sesquioctavae proportiones ducuntur. Ubi vero octavas partes scripsimus, octavae sunt eorum numerorum partes, quibus adjacent. Quae si eisdem quibus adjacent apponantur, posteriores numeros creant, ut in primo, qui est 262144. Hujus octava 32768; hi sibimet si conjungantur posteriorem efficit numerum qui est 294912. Idemque in caeteris invenitur. Si igitur ultimus numerus qui est 531441 duplus esset prioris numeri qui est 262144, recte diapason sex tonis constare videretur. Nunc autem si minimi numeri, id est prioris, duplicem conquiramus, minor erit eo numero qui est maximus ac supremus. Nam 262144 numeri duplus est qui ad eum scilicet diapason consonantiam tenet 524288; hic igitur minor est eo numero qui sextum retinet tonum, eo scilicet qui est 531441. Minor est igitur diapason consonantia sex tonis. Atque id quod sex toni diapason consonantiam supervadunt, voco comma, quod constat in minimis numeris 524288 et 531441. Sed de his quid Aristoxenus sentiat, qui auribus dedit omne judicium, alias commemorabo. Nunc voluminis seriem fastidii vitator astringam.
LIBER TERTIUS. CAPUT PRIMUM. Adversus Aristoxenum demonstratio superparticularem proportionem dimidii in aequa non posse, atque ideo nec tonum. Superiore volumine demonstratum est diatessaron consonantiam ex duobus tonis copulari ac semitonio, diapente vero ex tribus tonis ac semitonio constare. Sed ea semitonia dimidium toni integrum non posse perficere, si sigillatim considerata tractentur, atque ideo diapason ad sex tonos nullo modo pervenire. Sed quoniam Aristoxenus musicus, judicio aurium cuncta permittens, haec semitonia non arbitratur esse secundum Pythagoricos contractiora dimidio, sed sicut semitonia dicuntur, ita esse dimidietates tonorum, de eisdem rursus paulisper est disputandum, demonstrandumque prius nullam superparticularem habitudinem noto numero posse dividi in integram medietatem. Inter duos enim numeros superparticularem proportionem continentes, sive illi sint principales, quorum est unitas differentia, sive posteriores, nullus ita poterit medius numerus collocari, ut quam minimus proportionem tenet ad medium, eam medius teneat ad extremum, scilicet ut in geometrica proportione, sed aut differentias aequas facere potest, ut sit aequalitas secundum arithmeticam medietatem, aut harmonicam inter eosdem terminos medius numerus collocatus faciet medietatem, aut quamlibet aliam, quarum in arithmeticis fecimus mentionem. Quod si id demonstrabitur, nec illud quidem constare poterit, sesquioctavam proportionem, quae tonus est in dimidia posse discerni, quando quidem sesquioctava omnis insuperparticulari inaequalitatis genere consistit. Id vero melius inductione monstrabitur. Nam si per singulas proportiones consideratione deducta, scilicet superparticulares, nulla prorsus occurrit quae, interposito medio termino, aequis proportionibus dividatur, non est dubium quod superparticularis comparatio non possit in aequa partiri. Quod si videtur consonum auribus aliquid canere, cum cuilibet voci duobus tonis ac semitonio integro distans vocula comparetur, id non esse consonum natura monstratur. Sed quoniam sensus omnis quae minima sunt comprehendere nequeat, idcirco hanc differentiam, quae ultra consonum procedit, sensum aurium non posse distinguere, fore autem ut deprehendatur, si frequentissime talis particula per eosdem crescat errores. Nam quod in minimo haud sane cernitur, compositum conjunctumque cum jam magnum esse coeperit pervidetur. A qua igitur proportione est ordiendum an compendium dabimus quaestioni, si ab eo de quo quaeritur ordiamur. Id vero est tonus, in duo aequa possit partiri necne. Nunc igitur de tono est pertractandum, et quemadmodum non possit in duo aequa dividi demonstrandum est. Quam demonstrationem si quis ad reliquas superparticulares comparationes transferat, similiter demonstrabitur superparticularem in aequa noto atque integro numero separari non posse. Primi igitur tonum continentes numeri sunt 8 atque 9. Sed quoniam se isti ita naturaliter consequuntur, ut medius inter eos numerus non sit eosdem binario, quo scilicet minimo possum, multiplico. Fiunt igitur 16 ac 18, inter hos vero naturaliter numerus cadit qui est 17; igitur 18 ad 16 tonus est. Sed 10 et 8 ad 10 et 7, comparatus habet eum tonum, et ejus septimam decimam partem. Septima decima vero pars minor est sexta decima naturaliter. Major est igitur proportio quae sub 16 ac 17 numeris continetur, quam ea quae sub 17 ac 18. Qui disponantur hoc modo, et sit A 16, C 17, B 18. Medietas igitur integra toni inter C ac B nullo modo cadet. Minor est enim C B proportio C A proportione. Ad majorem igitur partem medietas rata ponenda est. Sit vero medietas D. Quoniam igitur D B quidem proportio, quod est integrum dimidium toni, major est C B proportione, quae est minor pars toni, A C autem proportio quae est major pars toni A D proportione major est, quod est dimidium toni, est autem A C proportio sesquisextadecima, C B autem sesquiseptimadecima, non est dubium quin integra medietas inter sesquisextadecimam ac sesquiseptimamdecimam cadat. Sed hoc in integro numero nullo modo poterit inveniri. Quoniam vero ad 16 numerum 17 numerus comparatus, supersesquisextamdecimam obtinet proportionem, si ejusdem 17 numeri sextam decimam requiramus, erit unitas, atque unitatis pars 16, hanc si eidem 17 numero conjungamus, fiunt 18 et pars sexta decima. Si igitur 18 et pars sexta decima 16 numero comparetur, recte toni mensuram videtur excedere, cum ad eum solus 18 numerus sesquioctavam custodiat proportionem. Unde fit ut quoniam supersesquisextadecima proportio tonum bis aucta transcendit, non sit integrum toni dimidium. Quidquid enim bis ductum transcendit aliquid, id ultra dimidium illius esse videbitur quod transcendit. Quocirca super sesquisextadecima, non erit toni dimidium. Ac per hoc, nec alia ulla major sesquisextadecima proportione toni poterit esse dimidium, cum ipsa sesquisextadecima integro toni dimidio sit major. Sed quoniam, sesquisextamdecimam proportionem continua sequitur sesquiseptimadecima, videamus an ea tonum bis multiplicata non impleat, 17 igitur numeri sesquiseptimamdecimam partem tenet terminus 18. In eadem igitur proportione si ad 18 numerum alium comparemus, erit 19 et septimadecima pars. Quod si ad 17 terminum in sesquioctava proportione positum numerum comparemus, fient 19, et pars octava. Major vero est pars octava parte septima decima. Major igitur est proportio numerorum 17 ac 19 et octava quam ea quae in 17 ac 19 et parte septima decima continetur, quae sunt scilicet bis sesquiseptimaedecimae proportiones. Duae igitur sesquiseptimaedecimae unum tonum non videntur implere. Non est igitur sesquiseptimadecima toni dimidium, quoniam quae duplicata non implet integrum, non continet dimidium. Semper enim dimidium duplicatum ei cujus dimidium est coaequatur.
CAPUT II. Ex sesquitertia proportione sublatis duobus tonis, toni dimidium non relinqui. Jam vero si eos numeros disponamus qui de sesquitertia proportione duobus tonis retractis relinquuntur, in his considerare possumus utrum ea proportio quae post duos tonos relinquitur, integri loco semitonii censeatur; quod si ita repertum sit, illud quoque est comprobatum diatessaron consonantiam duobus tonis atque integro semitonio copulari. Erat igitur superius terminus primus 192. Ad hunc sesquitertiam proportionem tenebant 256. Sed ad primum terminum 216 faciunt tonum. Ad 216 rursus 243 toni obtinent locum. Est igitur quod relinquitur ex diatessaron tota proportione, ea scilicet habitudo quae in 243 et 256 unitatibus constat. Haec igitur si probatur integri toni esse dimidium, dubitari non potest diatessaron ex duobus tonis semitonioque constare. Quoniam igitur demonstratum est toni dimidium inter sesquisextamdecimam et sesquiseptimamdecimam proportionem locari, ab hac comparatione etiam haec proportio metienda est. Ne enim longius progrediamur, sumo ex 243 octavam decimam partem, ea fit 13 et semis. Hanc si eisdem apposuero, fiunt 256 et semis. Apparet igitur minorem proportionem esse 256 ad 243 sesquioctavadecima habitudine. Quod si dimidius tonus major quidem est in sesquisextadecima, minor vero in sesquiseptima decima proportione. Sesquioctavadecima vero minor est sesquiseptimadecima habitudine, ducentorum vero 56 ad ducentos 43 comparatio, quae scilicet relinquitur ex diatessaron duobus retractis tonis, minor est sesquioctavadecima. Non est dubium quin haec duorum numerorum proportio semitonio longissime diminutior sit.
CAPUT III. Adversum Aristoxenum demonstrationes diatessaron consonantiam ex duobus tonis et semitonio non constare, nec diapason sex tonis. Quod si (ut ait Aristoxenus) diatessaron consonantia ex duobus tonis semitonioque conjungitur, duae diatessaron consonantiae necessario quinque tonos efficient, et diapente ac diatessaron junctae, sicut unum diapason jungunt, ita sex tonis continua proportione coaequantur. Et quoniam paulo ante sex disposuimus tonos, quorum minimus erat numerus 262144, ad hunc vero ultimus in sexto collocabatur tono numerus 531441, quintum vero retinebant tonum 472392, disponantur hoc modo: Nunc igitur de minoribus numeris, id est quinque tonis, loquamur. Si ergo diatessaron duobus tonis ac semitonio, bis vero diatessaron quinque consisteret tonis, cum ex 262144 diatessaron intenderem, cumque de 472392 aliud diatessaron remitterem, idem inter utramque intentionem remissionemve numerus inveniretur. Id autem fit hoc modo: a numero qui est 262144 besse diatessaron intendo, id est sesquitertium, qui fit in 349525 et triente. Rursus de 472392 numeris remitto sesquitertiam proportionem, quae sit in 354294, has igitur proportiones disponamus hoc modo, et sit primus quidem numerus A, secundus vero B, tertius C, quartus D. Quoniam igitur A terminus ab D termino quinque remotus est tonis, quoniamque diatessaron in duobus tonis ac semitonio jungitur, ut Aristoxenus arbitratur, unumque diatessaron, inter A atque B, aliud vero inter C atque B positum est, B et C terminos non oportet esse diversos, sed unos atque eosdem, ut integre quinque toni ex duabus diatessaron consonantiis constare videantur. Nunc vero quoniam est differentia 4768 et besse, arguitur diatessaron minime tonis duobus ac semitonio conjungi.
CAPUT IV. Diapason consonantiam á 6 tonis commate excedi, et qui sit minimus numerus commatis. Sed hanc si quaerimus in integris numeris differentiam collocare, quoniam in ea parte quae est besse pars tertia si addatur, plenam efficit unitatem, quae pars tertia ejusdem besse dimidium est, si totius differentiae dimidium eidem adjecero, quod est 2384 et triens sit omnis summa 7153. Quae dudum commatis proportionem tenebat. Comma enim est quo sex toni superant diapason consonantiam, quod in primis 7153 unitatibus continetur. Ut igitur differentiae dimidium proprium adjecimus, ut in 7153 excresceret, ita etiam cunctis A B C D terminis medietates proprias adjungamus, et eadem erit in omnibus quae supra proportio, fietque eadem inter quinque tonos ac bis diatessaron differentia quae est inter sex tonos ac diapason consonantiam differentia, scilicet 7153 unitates. Unde colligitur quinque tonos bis diatessaron, et sex tonos unum diapason tamen commate superare. Quod in primis 7153 unitatibus invenitur. Id autem patefaciet haec subjecta descriptio:
CAPUT V. Quemadmodum Philolaus tonum dividat. Philolaus vero Pythagoricus alio modo tonum dividere tentavit; statuens scilicet primordium toni ab eo numero qui primus cubum a primo impari (quod maxime apud Pythagoricos honorabile fuit) efficeret. Nam cum ternarius numerus primus sit impar, tres tertio 9, atque id ter si duxeris, 27 necessario exsurgent, qui ad 24 numerum tono distat, eamdem ternarii differentiam servans. Ternarius enim 24 summae octava pars est. Quae eisdem addita primum a ternario cubum 20 ac 7 reddit. Ex hoc igitur Philolaus duas efficit partes: unam quae dimidio sit major, eamque apotomen vocat; reliquam quae dimidio sit minor, eamque rursus diesim dicit, quam posteri semitonum minus appellavere. Harum vero differentiam comma ac primum diesim in 13 unitatibus constare arbitratur, eo quod hoc inter 256 et 243 pervisa sit differentia. Quodque idem numerus, id est 13, ex novenario ternario atque unitate consistat, quae unitas puncti obtineat locum. Ternarius vero primae imparis lineae. Novenarius primi imparis quadrati. Ex his igitur causis cum 13 diesim ponat, quod semitonium nuncupatur, reliquam 27 numeri partem quae ex 14 unitatibus continetur, apotome esse constituit. Sed quoniam inter 13 et 14 unitas differentiam facit, unitatem loco commatis censet esse ponendam, totum vero tonum in 27 unitatibus locat, eo quod inter 216 ac 243 qui inter se distant tono 27 sit differentia.
CAPUT VI. Tonum ex duobus semitoniis ac commate constare. Ex quibus facile apparet tonum duobus semitoniis minoribus et commate constare. Nam si totus tonus ex apotome constat ac semitonio, semitonium vero ab apotome differt commate; nihil est aliud apotome nisi semitonium minus et comma. Si igitur duo semitonia minora de tono quis auferat, comma fit reliquum.
CAPUT VII. Demonstratio, tonum duobus semitoniis commate distare. Idem vero hoc quoque probabitur modo. Nam si diapason quinque tonis ac duobus minoribus semitoniis continetur, superantque sex toni diapason consonantiam uno commate, non est dubium quin tonis quinis ab utroque spatio sublatis fiant reliqua ex diapason quidem duo semitonia minora, de sex vero tonis tonus. atque hic tonus haec duo semitonia quae relinquuntur vincit commate. Quod si duobus eisdem semitoniis comma reponatur, aequabunt tonum; constat igitur unum tonum duobus semitoniis minoribus et commati, quod in 7153 primis unitatibus invenitur, aequari.
CAPUT VIII. De minoribus semitonii interrallis. Philolaus igitur haec atque his minora spatia talibus diffinitionibus includit. Diesis, inquit, est spatium quo major est sesquitertia proportio duobus tonis. Comma vero est spatium quo major est sesquioctava proportio duabus diesibus, id est duobus semitoniis minoribus. Schisma est dimidium commatis. Diaschisma vero dimidium dieseos, id est semitonii minoris. Ex quibus illud colligitur, quoniam tonus quidem dividitur principaliter in semitonium minus atque apotomen. Dividitur etiam in duo semitonia et comma, quo fit ut dividatur in quatuor diaschismata et comma. Integrum vero dimidium toni quod est semitonium, constat ex duobus diaschismatibus, quod est unum semitonium minus, et schismate, quod est dimidium commatis. Quoniam cum totus tonus ex duobus semitoniis minoribus et commate conjunctus est, si quis id integre dividere velit, faciet unum semitonium minus commatisque dimidium. Sed unum semitonium minus dividitur in duo diaschismata. Dimidium vero commatis unum schisma est. Recte igitur dictum est integre dimidium tonum in duo diaschismata atque unum schisma posse partiri. Quo fit ut integrum semitonium a minore semitonio uno schismate differre videatur, apotome autem a minore semitonio duobus schismatibus differt, differt enim commate; sed duo schismata unum perficiunt comma.
CAPUT IX De toni partibus per consonantias sumendis. Sed de his quidem hactenus. Nunc vero illud videtur esse dicendum, quemadmodum per consonantias musicas imperata possimus spatia nunc extendere, nunc vero remittere. Id autem linealiter fiat, lineaeque quas describimus vocis accipiuntur loco. Sed sese jam ratio ipsa demonstret. Sit propositum toni spatium per consonantiam sumere, in acutum scilicet atque gravem. Sit sonus B, ab hoc intendo alium sonum qui diapente spatio ab eo quod est B distet ad eum qui est C. Ab hoc remitto diatessaron consonantiam ad id quod est D, et quoniam inter diapente ac diatessaron tonus differentiam facit, D B spatium tonus repertus est. Ad graviorem vero partem ita modulabimur tonum. Ab eo quod est B diatessaron intendo ad F, et ab F diapente remitto ad K. Erit K B tonus. Animadvertet igitur diligens lector ad D B quidem ad acutam partem effectum tonum, ad K B autem ad gravem. Sit propositum minorem toni partem per consonantiam sumere in acutam partem atque gravem. Minor vero toni pars est spatium quo duos tonos diatessaron consonantia transcendit. Sit enim sonus A, intendo ab A diatessaron ad B. Rursus intendo ab B diatessaron ad C, ab C remitto diapente ad D. Tonus est igitur B D. Rursus ab D intendo diatessaron ad E. Remitto iterum ab E diapente ad F. Tonus est igitur D F. Duo igitur sunt toni B D, D F. Et erat B A integrum diatessaron. Erit igitur F A minor toni pars, quod semitonium nuncupatur
Ad graviorem vero partem hoc modo: sit sonus A, intendo duos tonos per consonantiam ad G, diatessaron vero ab G remitto ad K; erit igitur K A minor semitonii pars, quod oportebat efficere. Si ergo a tribus tonis diatessaron auferamus, apotome fit reliqua. Sint enim tres toni A B, B C, C D; ab his auferatur A E diatessaron. Erit igitur E C semitonium minus; apotome igitur est E D. Hanc igitur apotomen si sit commodum sic sumemus. Ac primum quidem ad acutum intendo tres tonos, ab A eos qui sunt ad B, et ab eo quod est B ad C diatessaron consonantiam remitto, fit C A apotome reliqua. Quod si idem spatium ad gravem sonum velimus efficere fit hoc modo: sit sonus A, intendo semitonium minus, id quod est A D, remitto ab D tonum qui est D E. Erit igitur E A ea quam requirimus apotome. Sit propositum in acutam partem comma sumere, fit sonus A; intendo apotomen A B, remitto semitonium minus B C, et quoniam semitonium apotome minus est commate, comma erit C A. Rursus ad gravem partem hoc modo intendo: ab A sono semitonium minus, id quod est A D, ab D vero remitto apotomen, id quod est D E. Erit igitur comma C A.
CAPUT X. Regula sumendi semitonii. Oportet vero has omnes consonantias rite esse animo atque auribus notas; frustra enim haec ratione et scientia colliguntur, nisi fuerint usu atque exercitatione notissima. Ut vero id quod institutione musicae adorsi sumus non mox auribus, quod jam provectorum in musica est, sed ratione interim censeatur. Unum dabimus exemplum inveniendi spatii, quod videtur esse paulo difficilius, scilicet semitonii minoris, ut in utramque partem, acutam scilicet atque gravem, rato possit ordine reperiri. Sit diatessaron A B: oportet igitur circa A B consonam minus semitonium ad graviorem partem acutioremque deducere. Intendo igitur B C diatessaron. Remitto rursus diapente C D. Erit igitur tonus B D; diatessaron enim consonantia a diapente consonantia tono superatur, et C B spatium ab C D spatio B D spatio transcenditur. Rursus intendo diatessaron D E, remitto autem diapente E F. Tonus est igitur D F. Sed D B tonus erat. Semitonium igitur minus est A F, quod, subtractis duobus tonis F D, B D ab A B diatessaron spatio relinquitur. Rursus remitto diatessaron A G intendo diapente G H. Erit igitur A H tonus. Sed erat A F semitonium. Erit igitur F H apotome. Rursus remitto diatessaron H K, intendo diapente K L: tonus igitur est H L. Erat autem tonus H A. Semitonium igitur minus est L B. Sed erat tonus B D. Erit igitur I D apotome. Rursus intendo diatessaron F M. Semitonium igitur est B M. Remitto diatessaron L N; semitonium igitur est N A. Per consonantiam igitur sumpta sunt circa A B diatessaron, duo semitonia, B M quidem ad acutum; N A vero ad gravem partem totumque; M N minus est quam diapente. Constat enim ex quinque semitoniis, et apotome geminata ex duobus igitur tonis et tribus semitoniis minoribus, et quoniam duo semitonia unum tonum implere nequeunt. Sed relinquitur comma, totum M N spatium minus est spatio diapente consonantiae uno commate. Quod facillime diligens lector intelliget. Sed quoniam paululum de commatis ratione praediximus, non est diffugiendum et in quali proportione idem ipsum comma contineatur ostendere. Est enim comma quod ultimum comprehendere possit auditus, dicendumque est semitonium minus ac semitonium majus, quantis sigillatim commatibus constare videantur. Ipse quoque tonus quantis rursus commatibus conjungitur. Ac primum hinc conveniens sumatur initium.
CAPUT XI. Demonstratio, Architae superparticularem in aequa dividi non posse, ejusque reprehensio. Superparticularis proportio scindi in aequa medio proportionaliter interposito numero non potest. Id vero posterius firmiter demonstrabitur. Quam enim demonstrationem ponit Architas, nimium fluxa est. Haec vero est hujusmodi: Sit, inquit, superparticularis proportio A B. Sumo in eadem proportione minimos C E. Quoniam igitur sunt minimi in eadem proportione C E, et sunt superparticulares, E numerus C numerum parte una sua ejusque transcendit. Sit autem haec D. Dico quoniam D non erit numerus, sed unitas. Si enim est numerus D et pars ejus est qui est E, metietur D numerus E numerum. Quocirca et E numerum metietur. Quo fit ut C quoque metiatur, utrumque igitur C et E numeros metietur D numerus, quod est impossibile. Qui enim sunt minimi in eadem proportione quibuslibet aliis numeris, hi primi ad se invicem sunt, et solam differentiam retinent unitatem; unitas igitur est D: igitur E numerus C numerum unitate transcendit. Quocirca nullus incidet medius numerus, qui eam proportionem aequaliter scindat. Quo fit ut nec inter eos qui eamdem his proportionem tenent, medius possit numerus collocari, qui eamdem proportionem aequaliter scindat. Et secundum Architae quidem rationem idcirco in superparticulari nullus medius terminus cadit, qui aequaliter dividat proportionem, quoniam minimi in eadem proportione sola differunt unitate. Quasi vero non etiam in multiplici proportione minimi eamdem unitatis differentiam sortiantur. Cum plures videamus esse multiplices praeter eos qui in radicibus collocati sunt, inter quos medius terminus scindens aequaliter eamdem proportionem possit aptari. Sed haec qui arithmeticos nostros diligenter inspexerit, facilius intelliget. Addendum vero est id ita evenire, ut Architas putat, in sola superparticulari proportione. Non autem universaliter est dicendum. Nunc autem ad sequentia convertamur.
CAPUT XII. In qua numerorum proportione sit comma, et quoniam in ea quae major sit quam 75 ad 74, minor quam 74 ad 73. Primum igitur dico quoniam hi numeri qui comma continent majorem inter se retinent proportionem quam 75 ad 74, minorem quam 74 ad 73. Id vero ita demonstrabitur: ac primo quidem illud reminiscendum est, quod sex toni diapason commate transcendunt. Sit igitur A quidem 262144, B autem diapason ad eum contineat consonantiam in duplici scilicet constituta 524288, C vero sex tonis ab A numero discedat et sit 531441. Quae omnia ex secundi voluminis tonorum dispositione sunt colligenda. Inter B igitur atque C commatis proportio continetur. Aufero igitur B numerum de numero C, et relinquit D in 7153 unitatibus collocatus. Quid numerus minor D est quam sit septuagesima tertia pars B numeri, major vero est quam septuagesima quarta sit. Nam si eumdem D numerum, qui est in 7153, septuagies ter multiplicem, fiet mihi E numerus in 522169 unitatibus constitutus. Si eum septuagies quater multiplicem, fit numerus F 529322. Quorum quidem E, qui per septuaginta tres auctus est, minor est B numero; F autem qui per 74, major est B numero. Recte igitur dictum est D, ejus quod est B, minorem quidem esse quam septuagesimam tertiam partem, majorem vero quam septuagesimam quartam. Quocirca et C numerus B numerum minore quidem parte ejus quod est B eumdem B superat, quam septuagesima tertia, majore vero quam septuagesima quarta. Ejus igitur quod est C proportio ad id quod est B major quidem est quam 75 ad 74, minor vero quam 74 ad 73. Nam in priore unitas septuagesima quarta est minoris, in posteriore vero eadem unitas septuagesima tertia. Idem aliter explicandum, illo prius praesumpto, quod si cui proportioni propria numerorum differentia aequaliter augeatur, minor inter eos qui post additionem fiunt proportio continebitur quam inter priores qui ante additionem illam quadam proportione distabant. Ut sex et quatuor si utrisque binarius, quae est differentia sua apponatur, fient 8 et 6, sed inter 6 et 4 sesquialtera, inter 8 et 6 sesquitertia proportio continetur, minor vero est proportio sesquitertia sesquialtera proportione; hoc igitur ita praedicto, disponantur superiores numeri qui proportionem commatis continebant, id est 531441, et sit A. Sit etiam B 524288; horum differentia sit C 7153: C igitur numerus majorem numerum eo qui est A septuagies quinquies metiatur. Si igitur C numerum A septuagies quinquies multiplices, fiet mihi D qui est 536475. Igitur D numerus eum qui est A, numero eo qui est E antecedit, id est 5034. Rursus C numerus cum qui est B metiatur septuagies quater multipliceturque, fiet igitur numerus F 529322. Qui F eo qui est B major est eodem E numero qui est 5034. Ergo D numerus eum qui est A transcendit E numero, B autem numerus ab eo qui est F vincitur eodem E numero. Si igitur A numero eumdem E apponamus, fiet D. Si vero B numero eumdem E apponamus, fiet F. Sed D numerus septuagies quinquies auctus est, per C scilicet multiplicatum. F autem septuagies quater multiplicato C crevit; obtinent igitur inter se proportionem D atque F quam habent 75 ad 74. Sed D atque F sunt A atque B uno eis addito E, majorem igitur necessarie est proportionem contineri inter A atque B quam inter D atque F. Namque A atque B numerus, uno E addito, effecti sunt D atque F. Minor igitur proportio est inter D atque F quam inter A atque B. Sed inter D atque F eadem proportio est quae inter 75 et 74. Inter A igitur atque B major proportio est quam inter 75 et 74. Ac A atque B comma continent. Major igitur proportio est commatis quam 75 atque 74. Quoniam igitur ostendimus commatis proportionem majorem esse quam eam quam 75 continent ad 74 comparati; nunc ostendendum est quemadmodum minorem inter se proportionem contineant numeri spatium commatis continentes, quam 74 ad 73 comparati. Id vero monstrabitur hoc modo: reminiscendum prius est quod secundo volumine dixerimus, cum de mensura differentiae loquebamur. Si enim ex qualibet proportione differentiam eorum numerorum, qui eam continent, auferamus, hi qui relinquuntur majorem obtinebunt proportionem his numeris qui erant ante differentiae diminutionem. Sint enim 8 et 6. Ab his propriam aufero differentiam, id est 2, fiunt 6 et 4. Sed in superioribus sesquitertia, in hac sesquialtera proportio continetur. Major vero est sesquialtera proportio sesquitertia proportione. Sint igitur iidem A atque B. Qui sunt superius descripti, quorum est differentia C. Multiplico differentiam C numeri septuagies quater, sit mihi numerus F, scilicet 529322. Qui A numero comparatus vincitur numero G, scilicet 2119. Rursus idem C multiplicetur septuagies ter, efficiet numerum K, id est 522169. Qui comparatus B numero vincitur eodem G, scilicet 2119. Sublato igitur G de numeris A atque B, effecti sunt F atque K. Minorem igitur proportionem retinebit A atque B quam F atque K. Sed F atque K eam retinent proportionem quam 74 ad 73, hi enim multiplicato C effecti sunt. Minor est igitur proportio A atque B numerorum comma continentium quam 74 ad 73. Sed paulo ante monstratum est eamdem commatis proportionem majorem esse quam 75 ad 74. Monstrati sunt igitur numeri qui comma continent, majorem quidem inter se habere proportionem quam 75 ad 74, minorem vero quam 74 ad 73, quod oportebat ostendere.
CAPUT XIII. Quod semitonium minus majus quidem sit quam 20 ad 19, minus quam 19 1/2 ad 18 1/2. Quod si ad semitonium minus talis speculatio convertatur, ejus quoque proportionem facillime reperiemus. Quae constat inter 256 et 243. Sit igitur 256 A, 243 B, horum differentia 13 C. Dico quoniam A ad B minorem retinet proportionem quam 19 1/2 ad 18 1/2; metiatur enim C 19 semis, id quod est A, fiunt 253 1/2 quod sit D, qui scilicet comparatus ad A, eodem A duobus semisque transcenditur. Sitque haec differentia F, scilicet duo et 1/2, rursus eadem C differentia B numerum metiatur octies decies semis, fient 249 1/2 quod sit E. Igitur E comparatus ad B eodem F transcenditur, id est duobus et semis. D igitur ab eo quod est A, et rursus E ab eo quod est B, eadem F differentia sunt minores. Subtracto igitur F ab eo quod est A atque B, facti sunt D atque E. Majorem igitur proportionem tenent inter se D atque E, quam A atque B. Sed D atque E eamdem retinent proportionem inter se quam 19 1/2 ad 18 1/2. A igitur ad B minorem retinet proportionem quam 19 1/2 ad 18 1/2, quod oportebat ostendere. Videtur tamen eadem proportio 256 ad 243 major esse ab ea quam continent 20 et 19. Sint enim A B C idem qui superius descripti sunt. Metiatur igitur C differentia A terminum vigies, fient 260, qui sunt D, qui comparati ad id quod est A eumdem quaternario transcendunt, hic sit F. Rursus idem C metiatur B decies novies, fient 247, hic sit E, qui comparati ad B eodem F transcendunt. D igitur numerus, A numerum, et E numerus numerum B, eodem F transcendunt. Adjecto igitur F his qui sunt A atque B, facti sunt D atque E. Major igitur est proportio eorum qui sunt A atque B, quam eorum qui sunt D atque E. Sed D atque E vigies atque decies novies multiplicatus, C numerum efficit. Major igitur est proportio eorum qui sunt A atque B, qui scilicet semitonium continent, quam ea quae est 20 ad 19. Demonstratum igitur est semitonium minus majorem quidem habere proportionem quam 20 ad 19, minorem vero quam 19 1/2 ad 18 1/2. Nunc idem minus semitonium commati comparemus quod est ultimum, auditui subjacens ultimaque proportio.
CAPUT XIV. Semitonium minus majus quidem esse tribus commatibus, minus vero quatuor. Igitur demonstrandum proponimus semitonium minus, majus quidem esse commatibus tribus, minus vero quatuor, quod hinc facillime possis agnoscere. Sint tres numeri ita dispositi, ut inter se proportionem contineant diapason, et eam quae dicitur sex tonorum. Sint enim A 262144. Intendantur igitur ad B quidem quinque toni continui, et sit B 472392; ad C autem diapason consonantia referatur, et sit C 524288. Ad D autem sex toni intendantur, sitque D 531441. His ita dispositis et constitutis, manifestum est inter C atque D comma constitui, eorumque differentiam esse 7153; id autem sit K, remittantur igitur duo toni ab eo quod est B, ad id quod est E, et sit E 373248. Rursus ab eo quod est E intendo diatessaron ad id quo est F 497664. Quoniam igitur inter E atque B duo sunt toni, inter E atque F diatessaron, inter B igitur atque F minus semitonium reperitur. Sublatis enim a diatessaron consonantia duobus tonis, fit reliquum semitonium minus, quod in primis numeris constare praedixi 256 et 243. Quos eosdem numeros si millies noningenties quadragies quaterque multiplices B atque F, numeros explicabis. Quos necessarie est eamdem proportionem superius dictis numeris continere, qui uno atque eodem numero, id est 1944 pariter multiplicati crevere. Item ab eo quod est F, intendo diatessaron, scilicet ad G, et sit G 663552. Rursus ab eodem G remitto ad P duos tonos, et fit P 524288. Quod P necessarie est, ut eumdem sonum quem C numerus exhibeat. Ad aequalitatem namque ejus tali ratione progressus est. Etenim ea quae est A C diapason consonantia, quae constat quinque tonis ac duobus semitoniis minoribus, ab 6 tonis commate superatur. Ab eodem igitur A termino numerus P, quinque tonis ac semitoniis duobus recessit hoc modo. Ab eo quod est A usque ad id quod est B quinque nimirum colliguntur toni; ab eo autem quod est B usque ad id quod est F minus esse semitonium pernotatur, F vero atque P, idem rursus semitonium minus includunt. A igitur usque ad P quinque tonos ac duo semitonia minora produxit. Jure igitur P atque C eisdem numeris conscribuntur. Sed quoniam inter F atque C semitonium minus est, videamus haec quae sit eorum differentia, ut eam commati comparemus. Est autem eorum differentia 26624, et sit haec M. Igitur K commatis differentia est, M autem semitonii minoris. Si igitur K numerum tertio auxerimus, fiet numerus 21459. Et sit hic L. Si vero quater eumdem numerum K multiplicare voluerimus, fient 28612, et sit hoc N. Igitur M major quidem est ab L; idem autem M minor est ab N. Sed N quater aucto commate succrevit; L autem tertio, M vero semitonii minoris obtinet differentiam. Jure igitur dictum est minus semitonium minus quidem esse quam quatuor commata, majus vero quam tria.
CAPUT XV. Apotome majorem esse quam 4 commata, minorem quam 5. Tonum majorem quam 8, minorem quam 9. Eadem hac ratione et semitonium majus quod apotomen dici supra retulimus, quot commatum sit possumus invenire hoc modo: Sit A 262144. Quinque vero ab eo distans tonis sit B 472392. Sex vero distans tonis ab eo quod est A, sit D, scilicet 531441, inter B igitur atque D tonus est; B vero ab eo quod est C distat per semitonium minus, et sit C 497664. Relinquitur ergo inter C atque D apotome proportio. Nam cum sit tonus B D, ex eo si auferas B C, semitonium minus, C D relinquitur majus, quod apotomen esse supra retulimus, inter D igitur atque C est differentia 33777; haec autem sit E, sed erat commotis differentia 7153, haec sit F. Si igitur F, id quod est comma quinquies multiplicem, fient mihi 35765, et sit hoc G. Si vero idem F quater multiplicem, fit K numerus qui est 28612. G igitur ab eo quod est E majus est, K minus. Sed G quinquies auctum est comma, K vero quater, F autem apotomes differentia est. Jure igitur dictum est apotomen minorem quidem esse quam quinque commata, majorem vero quam quatuor; ex hoc igitur comprobatur tonum majorem quidem esse quam sunt octo commata, minorem vero quam novem. Nam si minus semitonium, majus quidem est quam tria commata, minus vero quam quatuor, apotome autem major quidem est quam quatuor commati, minor vero quam quinque, junctum semitonium minus semitonio majori, quod est apotome, erit omne majus quidem 8 commatibus, minus vero quam 9; sed apotome atque semitonium minus unum efficiunt tonum. Tonus igitur major quidem est 8 commatibus, minor vero 9.
CAPUT XVI. Superius dictorum per numeros demonstratio. Sed quanquam per hanc rationem demonstratum est quemadmodum tonus commatibus comparetur, non est tamen quasi segnibus delassandum, quo minus per se hanc contra commata comparationem retinere tonus ipse monstretur. Sit igitur A quidem 262144, B autem quinque ab eo distans tonis 472392. C vero diapason ad id quod est A continens symphoniam, scilicet in numeris 524288; D autem ab eo quod est A, sex totos differens tonos 531451. D igitur ab eo quod est C distat commate sex toni scilicet ab diapason consonantia. Id autem sit E 7153. D autem ab eo quod est B tono integerrimo distat, 6 toni scilicet quinque tonis, id autem sit F 590049. Si igitur E novies auxero, fiet mihi H 64377. Sin vero octies, fient 57224, id sit G. Sed H quidem F numero comparatus superat, G vero superatur, et est F toni differentia. H autem novies multiplicatum comma, G vero octies. Demonstratus est igitur tonus minor quidem 900 esse commatibus, eisdem vero octo commatibus major. Ita his praemissis licet majus semitonium minere semitonio commate distare monstratum sit, tamen idem quoque per se et per subjectos numeros tali ratione probabitur. Sit A numerus 497664, ab eo vero semitonium minus distans sit B numerus, qui jam supra qu que descriptus est 524288. Apotome vero distat ab eo quod est A. Is numerus, qui colligitur unitatibus 531441, et sit hoc C. Quoniam igitur A B minus semitonium, A C majus, differentia ejus quod est B ab eo quod est C perquirenda est. Ea est 70153, id sit D. Sed hic numerus dudum comma monstrabat; inter majus igitur semitonium ac minus comma differentiam facit. Rursus demonstrandum propono tonum duobus semitoniis minoribus solo commate esse majorem. Sit A numerus 472392. Ab hoc intendatur tonus 531441, et sit hoc D ab eo vero quod est A intendatur semitonium minus, quod est B, ac sit B 497664. Item ab eo quod est B semitonium aliud intendatur minus, quod est C, et sit C 524288. Quoniam igitur A D tonus est, A C vero duo continent minora semitonia: videamus quae sit differentia inter C atque D numeros constituta. Est autem E, scilicet unitatum 7153. Demonstratum est igitur tonum duobus semitoniis minoribus commate esse majorem. Sed quoniam omnia jam quae probanda promisimus propria ratione monstrata sunt, nunc quod superest musicae institutioni, regularis monochordi facienda est partilio. Quam rem quoniam longior tractatus extendit, in posterioris commentarii disputationem censuimus transferendam
LIBER QUARTUS. CAPUT PRIMUM. Vocum differentias in quantitate consistere. Etsi omnia quae demonstranda erunt superioris libri tractatione digessimus, non poenitet tamen rursus eadem breviter memoriae recolligenda praestare, cum quadam diversitate tractatus, ut his rursus ad memoriam redeuntibus ad regulae divisionem, quo tota tendit intentio, veniamus. Si foret rerum omnium quies, nullus auditum sonus feriret. Id autem fieret, quoniam cessantibus cunctis motibus nullae inter se res pulsum cierent: ut igitur sit vox, pulsu est opus. Sed ut sit pulsus, motus necesse est antecedat. Ut ergo sit vox, motum esse necesse est. Sed omnis motus habet in se tum velocitatem, tum etiam tarditatem. Si igitur sit tardus in pellendo motus, gravior redditur sonus. Nam ut tarditas proxima stationi est, ita gravitas contigua taciturnitati. Velox vero motus acutam voculam praestat. Praeterea, quae gravis est, intensione decrescit ad medium. Quae vero acuta, remissione decrescit ad medium. Unde fit ut omnis sonus quasi ex quibusdam partibus compositus esse videatur. Omnis autem partium conjunctio quadam proportione committitur. Sonorum igitur conjunctio proportionibus constituta est. Proportiones autem principaliter in numeris considerantur, proportio vero simplex numerorum vel in multiplicibus, vel in superparticularibus, vel in superpartientibus invenitur. Secundum vero multiplices proportiones, vel superparticulares, consonae vel dissonae voces exaudiuntur. Consonae quidem sunt quae simul pulsae suavem permixtumque inter se conjungunt sonum; dissonae vero quae simul pulsae non reddunt suavem neque permixtum sonum. His igitur ita praedictis, de proportionibus pauca dicamus.
CAPUT II. Diversae de intervallis speculationes. Si intervallum multiplex binario multiplicetur, id quod fit ex hac multiplicatione intervallum, multiplex est. Sit multiplex intervallum B C, et B multiplex ejus quod est C, et fiat ut est C ad B, ita B ad D. Quoniam igitur B multiplex est, ejus quod est C metitur C terminus, id quod est B, vel bis, vel tertio, vel deinceps, et est ut C ad B, ita B ad D. Metitur igitur B terminus id quod est D. Quocirca quia C terminus id quod est B metitur, metietur etiam D. Multiplex est igitur D ejus quod est C, et est C D intervallum, effectum ex composito bis copulatoque sibimet et per binarium multiplicato B C intervallo. In numeris quoque idem probatur. Sit enim B ad C duplum, ut binarius ad unitatem, et fiat ut C ad B, ita B ad D. Erit igitur D quaternarius. Multiplex est autem B ad C, id est binarius ad unitatem. Multiplex est D ad B, id est quaternarius ad binarium. Multiplex est igitur D quaternarius ad C unitatem. Est autem quadruplus quaternarius unitatis, et binario multiplicata medietas quod est intervallum B C. Si intervallum binario multiplicatum, multiplex effecerit, intervallum ipsum quoque multiplex erit. Sit intervallum B C, et fiat ut C ad B, ita B ad D, et D sit ad C multiplex. Dico quia B ejus quod est C multiplex est. Quoniam enim D ejus quod est C multiplex est, metietur C id quod est D, metietur et B. Ostensum est vero quoniam si sint termini proportionaliter constituti, cum primus fuerit ultimo comparatus, si primus ultimum fuerit mensus, metietur et medium. C igitur metietur id quod est B. Multiplex est igitur B ejus quod est C. Id rursus ex numeris, sit C unitas, D vero ex duplicata proportione, B C sit quaternarius, et est multiplex ejus quod est C. Est enim quadruplus. Quoniam igitur quadruplus ex duplicata B C proportione generatur, B C proportio dimidium ejus erit, igitur B C proportio dupla est. Sed duplum multiplex est: erit igitur B C proportio multiplex. Superparticularis intervalli medius numerus, neque unus, neque plures proportionaliter intervenient. Sit enim B C proportio superparticularis, et in eadem proportione minimi sint D F et G. Quoniam D F et G minimi sunt in eadem proportione, sunt ejusdem proportionis primi. Quo circa eos unitas metietur. Auferatur igitur G ab D F et relinquatur D, hic est igitur utrorumque mensura communis: haec igitur erit unitas. Quocirca nullus inter F D atque G incidet numerus, qui sit ab F D quidem minor, major vero ab G. Sola enim interest unitas, quanti vero in superparticularibus proportionibus proportionaliter inter ejusdem proportionis minimos intercident, tot etiam inter caeteros ejusdem proportionis incident. Sed nullus inter F D atque G minimos ejusdem proportionis intervenire potest. Nullus igitur inter B atque C proportionaliter cadet, et in numeris sit quaelibet superparticularis proportio, ut sesquialtera; hi vero sunt 10 et 15, in eadem vero proportione minimi 2 et 3, aufero de 3 binarium; fit reliqua unitas, eadem utrosque metitur. Nullus erit igitur inter binarium ternariumque numerus, qui sit binario major, minor vero ternario. Alioquin unitas dividetur, quod est inconveniens. Quare ne inter 10 quidem atque 15 quisquam invenietur numerus qui talem ad 10 obtineat proportionem qualem ad eum tenent 15. Si intervallum non multiplex binario multiplicetur, id quod fit ex hac multiplicatione nec multiplex est nec superparticulare. Sit enim intervallum non multiplex B C, et fiat ut C ad B, sic B ad D. Dico quoniam D ejus quod est C, neque multiplex est, neque superparticularis. Sit enim, si fieri potest, primum D ejus quod est C multiplex, et quoniam cognitum est. Si intervallum binario multiplicatum sit, et multiplex intervallum creatum, id quod multiplicatum est bis intervallum esse multiplex. Erit igitur B C multiplex, sed non est positum. Non igitur erit D ejus quod est C multiplex, nec vero superparticulare. Nam superparticularis proportionis medius proportionaliter terminus nullus intervenit. Inter D vero et C est proportionaliter terminus constitutus, id est B. Nam ut est C ad B, ita B ad D; impossibile igitur erit D ejus quod est C, vel multiplicem esse, vel superparticularem, quod oportebat ostendere. Et in numeris sit non multiplex intervallum 6 ad 6, fiatque ut sunt 4 ad 6, ita sex ad alium quemlibet numerum. Hic erit igitur novenarius, qui quaternarii neque multiplex neque superparticularis est. Si intervallum binario multiplicetur, atque id quod ex ea multiplicatione creabitur multiplex non fit, ipsum quoque non erit multiplex. Sit enim intervallum B C, fiatque ut C ad B, ita B ad D, et non fit D ejus quod est C multiplex. Dico quoniam nec B ejus quod est C erit multiplex. Si enim est et D ejus quod est C, est multiplex. At non est, non erit igitur B ejus quod est C multiplex. Duplex intervallum ex duobus maximis superparticularibus, conjungitur sesquialtero et sesquitertio. Sit enim A quidem ejus quod est B sesquialter, B vero ejus quod est C sesquitertius. Dico quoniam A ejus quod est C duplex est. Quoniam igitur sesquialter est A ejus quod est B, igitur A habet in se totum B ejusque dimidium. Duo igitur A aequi sunt tribus B. Rursus quoniam B ejus quod est C sesquitertius est, B igitur habet C, et ejus tertiam partem. Tres igitur B aequi sunt ad quatuor C. Tres autem B aequi erant duobus A. Duo igitur A aequi sunt ad quatuor C; unus igitur A aequus est duobus CC. Duplex erit igitur A ejus qui est C, et in numeris. Sit enim sesquialter 12 ad 8, sesquitertius vero 8 ad 6: ergo 12 ad 6 duplices sunt. Ex duplici intervallo atque sesquialtero triplex nascitur intervallum. Sit enim A ejus quod est B duplex, B autem ejus quod est C sesquialter. Dico quoniam A ejus quod est C triplex est. Nam quoniam A ejus quod est B duplex est, A igitur aequus est duobus B. Rursus quoniam B ejus quod est C sesquialter est, B igitur habet in se totum C et ejus dimidiam partem. Duo igitur B aequi sunt tribus C. Sed duo B aequi erant uni A, et unus igitur A aequus est tribus C; igitur A uno C triplex est. Et in numeris sit duplex quidem senarius ternario, sesquialter vero ternarius, binario. Senarius igitur triplex est binario. Si sesquialtero intervallo sesquitertium demptum fuerit intervallum, erit quod relinquitur sesquioctavum. Sit enim A quidem ejus quod est B sesquialter, at vero C ejus quod est B sesquitertius: dico quoniam A ejus quod est C sesquioctavus est. Quoniam enim A ejus quod est B sesquialter est, A igitur habet in se B et ejus dimidiam partem. Octo igitur A aequi sunt ad duodecim B. Rursus quoniam C ejus quod est B sesquitertius est, C igitur habet in se B et tertiam ejus partem. Novem igitur C aequi sunt ad duodecim B. Duodecim B aequi erant ad octo A; et octo igitur A aequi sunt ad novem C. Igitur A aequus est ei quod est C, et octavae ejus parti. A igitur ejus quod est C sesquioctavus est. Et in numeris sesquialterum quidem intervallum sit novenarius ad senarium, sesquitertium vero octonarius ad senarium. Novem igitur ad octo sesquioctava proportio est. Sex proportiones sesquioctavae majores sunt uno duplici intervallo. Sit enim quidem numerus A, hujus autem sit sesquioctavus B, hujus sesquioctavus C, et hujus sesquioctavus D, et hujus sesquioctavus F, ejusque sesquioctavus G, atque hujus sesquioctavus K. Id autem fiat secundum descriptum in Arithmetica modum, et sint numeri A B C D F G K, et sit A 262144, hujus autem sesquioctavus qui est B 294912, hujus autem sesquioctavus qui est C 331776, hujus autem sesquioctavus qui est D 373248, hujus autem sesquioctavus qui est F 419904, hujus autem sesquioctavus qui est G 472392, hujus autem sesquioctavus qui est K 531441. Et sunt 531441 quod est K, plus quam duplices ad ducenta 60 duo millia 144 quod est A. Sex igitur sesquioctavae proportiones ampliores sunt uno duplici intervallo.
CAPUT III. Musicarum per Graecas ac Latinas litteras notarum nuncupatio. Restat quoniam sumus nervum secundum praedictas consonantias per regulam divisuri, quoniamque necessarios sonos tribus generibus cantilenae exhibebit ista partitio, musicas interim notas apponere, ut cum divisam lineam iisdem notulis signaverimus, quod unicuique sit nomen, facillime possit agnosci. Veteres enim musici propter compendium scriptionis, ne integra semper nomina necesse esset apponere, excogitavere notulas quasdam quibus nervorum vocabula notarentur, easque per genera modosque divisere, simul etiam hac brevitate captantes, ut si quando melos aliquod musicus voluisset ascribere, super versum rhythmica metri compositione distentum, has sonorum notulas ascriberet, ita miro modo reperientes, ut non tantum carminum verba, quae litteris explicarentur, sed melos quoque ipsum, quod his notulis signaretur, in memoriam posteritatemque duraret. Sed ex his omnibus modis unum interim Lydium ejusque notulas per tria genera disponamus, in reliquis medis idem facere in tempus aliud differentes. Sane si quando dispositionem notarum Graecarum litterarum nuncupatione descripsero, lector nulla novitate turbetur. Graecis enim litteris fiunt in quamlibet partem imminutis, nunc etiam inflexis, tota haec notarum descriptio constituta est. Nos vero cavemus aliquid ab antiquitatis auctoritate transvertere. Erunt igitur priores ac superiores notulae dictionis, id est verborum, secundae vero atque inferiores percussionis. Proslambanomenos qui acquisitus dici potest Ζ non integrum et tau jacens . Hypate hypaton, quae est principalis principalium, Γ conversum et Γ rectum . Parhypate hypaton, id est subprincipalis principalium, Β non integrum, et Γ supinum . Hypaton enharmonios, quae est principalium enharmonios, V supinum, et Γ conversum, retro habens virgulam . Hypate chromaticae, quae est principalium extenta, V supinum habens lineam et Γ conversum duas habens lineas Hypaton diatonos, quae est principalium extenta, Φ Graecum et digammon ΦϜ. Hypate meson, quae est principalis mediarum, C et C . Parhypate meson, quae est subprincipalis mediarum, Ρ et C supinum . Meson enharmonios, quae est mediarum enharmonios, Π Graecum et C conversum, . Meson chromaticae, quae est mediarum chromatica, Π Graecum habens virgulam, et conversum per medium habens virgulam Meson diatonos, quae est mediarum extenta, Μ Graecum et Π Graecum diductum . Mese, quae est media, Ι et Λ jacens . Trite synemmenon, quae est tertia conjunctarum, Φ et Λ supinum . Synemmenon enharmonios, quae est conjunctarum enharmonios, Η Graecum et Λ jacens conversum per medium habens virgulam . Synemmenon chromaticae, quae est conjunctarum chromatica Η Graecum habens virgulam, et Λ conversum habens virgulam . Synemmenon diatonos, quae est conjunctarum extenta Γ et Ν . Nete synemmenon, quae est ultima conjunctarum, Ω quadratum supinum et Ζ . Paramese, quae est sub media, Ζ et Π Graecum jacens . Trite diezeugmenon, quae tertia divisarum est, Ε quadratum et Π Graecum supinum . Diezeugmenon enharmonios, quae est divisarum enharmonios, Δ et Π Graecum jacens conversum Diezeugmenon chromaticae, quae est divisarum chromatica, Δ habens virgulam et Π Graecum jacens conversum, habens lineam angularem . Diezeugmenon diatonos, quae est divisarum diatonos, Ω quadratum supinum et Ζ . Nete diezeugmenon, quae est ultima divisarum, Φ jacens et Ν inversum diductum . Trite hyperboleon, quae est tertia excellentium, Γ deorsum respiciens dextrum et semi Α sinistrum sursum respiciens . Hyperboleon enharmonios, quae est excellentium enharmonios Τ supinum et semi Α dextrum supinum . Hyperboleon chromaticae, quae est excellentium chromatica, Τ supinum habens lineam et semi Α dextrum supinum habens retro lineam . Hyperboleon diatonos, quae est excellentium extenta, Μ Graecum habens acutam et Π diductum habens acutam . Nete hyperboleon, Ι habens acutam, et Λ jacens habens acutam .
CAPUT IV. Monochordi regularis partitio in genere diatonico. Sed jam tempus est ad regularis monochordi divisionem venire De qua re illud est praedicendum, quod sive in mensura nervi, sive in numeris, atque in eorum proportione statuatur describenda divisio, majus spatium chordae et major numeri multitudo sonos graviores efficiet. At si fuerit nervi longitudo contractior, et in numeris aeque non multa pluralitas, acutiores voces edi necesse est. Atque ex hac comparatione, quantum unaquaeque fuerit vel longior vel plurium numerorum, aliaque vel contractior vel paucioribus signata numeris, tanto vel gravior vel acutior invenitur. Nec lectorem res illa conturbet, quod intendentes saepe spatia proportionum numero majore signavimus, remittentes vero minore, cum intensio acumen faciat, remissio gravitatem. Illic enim tantum proportionum spatia signabamus. Nihil de gravitatis aut acuminis proprietate laborantes, atque ideo et in acumen majoribus numeris intendimus, et minoribus in gravitatem saepe remisimus. Hic vero ubi chordarum spatia sonosque metiemur, naturam rerum sequi necesse est, majorique longitudini chordarum ex qua gravitas existit, ampliores, minori vero ex qua vocis acumen nascitur, dare breviores. Sit chorda intensa A B, huic aequa sit regula quae propositis partitionibus dividatur, ut, ea regula chorda apposita, eaedem divisiones in nervi longitudine signentur quas ante assignaveramus in regula. Nos vero nunc dividimus ita, quasi ipsam chordam et non regulam partiamur. Dividatur igitur A B in quatuor partes, per tria puncta quae sunt C D E. Erit igitur tota quidem A B dupla ab his quae sunt D B, A D; sigillatim vero A D, D B duplae sunt ab his quae sunt A C, C D, D E, E B. Erit igitur A B quidem gravissima, id est proslambanomenos, D B autem mese. Est enim dimidia totius, et sicut A B ab ea quae est B D dupla est spatio, ita B D ab ea quae est A B, dupla est acumine. Nam, ut superius dictum est, spatii et acuminis semper ordo conversus est. Nam tanto est chorda major in acumine, quanto fuerit minor in spatio, quocirca erit et E B. Nete hyperboleon quoniam E B ejus quae est D B, dimidia quidem in quantitate, dupla vero in acumine. Rursus quoniam eadem E B ejus quae est A B quarta pars est in spatio, quadrupla erit ab eadem in acumine. Erit igitur (ut dictum est) nete hyperboleon dupla in acumine ab ea quae est mese. Mese autem dupla in acumine ab ea quae est proslambanomenos. Nete vero hyperboleon quadrupla in acumine ab ea quae est proslambanomenes, consonabit igitur proslambanomenos ad mesen diapason, mese ad neten hyperboleon diapason, proslambanomenos ad neten hyperboleon bis diapason. Rursus quoniam aequae sunt partes A C, C D, D E, E B. Est autem A B quatuor earumdem partium, C B autem trium, A B sesquitertia est ab ea quae est C B. Rursus quia trium est aequalium partium C B, sed D B duarum, erit igitur C B sesquialtera ejus quae est D B. Rursus quoniam C B est trium partium aequalium, qualis est una E B, tripla igitur est C B ab ea quae est E B; erit igitur C B lychanos hypaton diatones, consonabitque proslambanomenos quidem ad lychanon hypaton diatonon diatessaron consonantiam. Eadem vero lychanos hypaton diatonos consonabit ad mesen consonantiam diapente. Eademque lychanos diatonos consonabit ad neten hyberboleon, diapason et diapente. Rursus si de tota A B nonam partem auferam, eam quae est A F, erunt partes octo F B. Erit igitur F B hypate hypaton, ad quam sesquioctavam contineat proportionem A B, id est proslambanomenos, in musica vero tonum. Quanto spatium majus erit, tanta major gravitas; ubi vero minus, ibi major acuties. Dum ergo A B in quadruplo spatio excedit E B, erit recte proslambanomenos in quadruplo gravior, et C B acutior in quadruplo, et eadem chorda A B ad F B est sesquioctava spatio, quare tono ab F B vincitur; erit ergo hypate hypaton. Eadem rursus ad C B sesquitertia est spatio, erit ergo C B lychanos hypaton diatonos. Vincetque C B in acumine ipsum A B consonantia diatessaron. Insuper idem A B spatio duplum est ad D B; erit idcirco acumine duplum ipsum D B ad A B. Et sic C B neten hyperbol. constituet, quod doctus lector facile conspicitur dum acutius contemplatur.
Superior vero descriptio inferiora signa quae continet, ejus sunt descriptionis, ubi chordis notulas apposuimus, quoniam earum nomina longum fuit ascribere. Item si A B tribus incisionibus partiamur, erit pars tertia A G. Duae igitur ejusdem erunt G B. Consonabit igitur A B proslambanomenos ad G B, quae est hypate meson, diapente consonantiam in proportione sesquialtera constitutam; C B autem ad G B erit sesquioctava, et continebit tonum, idque ordine cadit. Nam lychanos hypaton diatonos, id est C B, ad eam quae est hypate meson, id est G B, continet tonum. Rursus A B quidem proslambanomenos ad C B lychanon hypaton diatonos consonantiam habet diatessaron, A B autem proslambanomenos ad G B hypate meson habet consonantiam diapente. Item C B ad D B, id est lychanos hypaton diatonos ad mesen habet consonantiam diapente, G B autem ad D B, id est hypate meson ad mesen, habet consonantiam diatessaron. Lychanos autem hypaton, id est C B, ad totius chordae modus, ab eo quod est A usque ad id quod est LL, hanc id est A, proslambanomenon 9216 divido, dimidiam ad O, ut sit tota A dupla ab hypaten meson comparata, id est G B, distabit tono. Si autem ejus quae est C B quartam partem sumpsero, erit C K. Igitur C B ad K B obtinet sesquitertiam proportionem, K B autem ab ea quae est D B sesquioctava proportione distabit. Erit igitur K B quidem lychanos diatonos meson, et erit C B, id est lychanos hypaton diatonos, ad K B, id est lychanos diatonon meson diatessaron consonantiam continens. Rursus si ejus quae est D B nonam partem sumpsero, erit mihi D L. Igitur L B erit paramese. Si autem ejus quae est D B quartam partem sumpsero, erit D M. Igitur M B erit nete synemmenon. Si autem ejus quae est D B tertiam partem sumpsero, erit D N. Igitur N B erit nete diezeugmenon. Si autem K B in duas partes aequas fuerit divisa, erit K X, eritque X B paraneto hyperboleon.
CAPUT V. Monochordi netarum hyperboleon per tria genera partitio. Nunc igitur diatonici generis descriptio facta est in eo scilicet modo qui est simplicior ac princeps, quem Lydium nuncupamus. De quibus modis nunc disserendum non est, ut vero per tria genera currat mixta descriptio, et omnibus propria numerorum pluralitas apponatur ad conservandas scilicet proportiones, vel tonorum atque dieseon, excogitatus est numerus qui haec omnia posset explere, ut maximus quidem ad proslambanomenon describatur, qui sit 9216; minimus vero 2304. Reliquorum vero sonorum proportiones in horum medietate texentur. Sane ab inferiore procedimus omniumque nomina chordarum non solum nominibus, verum etiam oppositis litteris demonstramus. Sed ita ut quoniam trium generum est facienda partitio, nervorumque modus litterarum excedit numerum, ubi defecerint litterae, easdem geminamus rursus hoc modo, ut quando ad Z fuerit usque perventum, ita describam s reliquos nervos: bis A id est AA, et bis B, id est BB, et bis C, id est CC. Sit igitur primus quidem numerus maximusque qui proslambanomenon obtineat locum 9216. Sitque ea quae est O. Item O sit dupla ab ea quae est LL. Erit igitur A quidem proslambanomenos, O autem mese, et LL nete hyperboleon; habebit igitur A quidem 9216, O vero horum dimidium, id est 4608, ut mese ad proslambanomenon diapason consonantia conveniat. Ea vero quae est LL dimidium est meses, ut sit proslambanomenos ab ea quae est nete hyperboleon quadrupla, et bis diapason ad eam consonet symphoniam, sitque LL 2304. Si igitur ex 2304 octavam abstulero partem, id est 288, eisdemque adjecero, fient mihi 2592, eritque NN 2592 quae sit paranete hyperboleon ad neten hyperboleon obtinens distantiam tonum. Rursus ejus quae est NN, id est 2592, aufero octavam quae est 324, eamque eis quorum est octava subjungo, erunt 2916, fietque mihi FF trite hyperboleon diatonos in diatonico scilicet genere 2916 totum quidem distans ab ea quae est paranete hyperboleon, diatonum vero ab ea quae est nete hyperboleon, eadem vero FF erit in chromatico genere trite hyperboleon chromatica. In enharmonio vero paranete hyperboleon enharmonios, quod facilius agnoscetur cur eveniat, cum trium generum tria prima tetrachorda a nete hyperboleon inchoantia descripserimus. Quoniam vero si A sesquitertia proportione duas sesquioctavas abstulero, relinquitur mihi semitonium minus, sumo tertiam ejus quae est LL, id est neten hyperboleon, et sunt 768. Hos eisdem adjicio, fient mihi 3072. Quorum est DD nete diezeugmenon continens ad triten hyperboleon semitonium minus. Nam quoniam nete diezeugmenon ad neten hyperboleon diatessaron continet consonantiam, trite autem hyperboleon diatonos ab ea ditonum distat, relinquitur spatium quod est inter neten diezeugmenon et triten hyperboleon semitonii minoris. Quoniam igitur tetrachordum hyperboleon diatonici generis explevimus, nunc chromatici et enharmonii tetrachorda supplenda sunt hoc modo: quoniam enim paranete hyperboleon ad neten hyperboleon in diatonico quidem genere tono distat, in chromatico vero tribus semitoniis, in enharmonio vero duobus tonis, si distantiam paranetes hyperboleon et netes hyperboleon diatonici generis sumpserimus, ejusque dimidium paranete hyperboleon, quae est diatonici generis, apponamus, habebimus numerum tribus semitoniis ab hyperboleon nete distantem, et erit haec in chromatico genere paranete hyperboleon. Aufero igitur de 2592, id est de paranete hyperboleon diatonici generis 2304, id est nete hyperboleon, relinquuntur mihi 288, hos divido, erunt mihi 144, eosdem adjiciam 2592, id est paranete hyperboleon diatonici generis, et erunt mihi 2736: haec erit paranete hyperboleon chromatica. Rursus quoniam trite hyperboleon, vel diatonica, vel chromatica, duos tonos distat a nete hyperboleon, et in enharmonio genere paranete hyperboleon duobus tonis distat ab ea quae est nete hyperboleon eadem erit in enharmonico genere paranete hyperboleon, quae est in diatonico vel chromatico trite hyperboleon. Sed quoniam trite hyperboleon diatonici generis et chromatici ad nete diezeugmenon minus semitonium servant, constat autem tetrachordum enharmonii generis ex duobus integris tonis, et diesi, ac diesi, quae sunt dimidia spatia semitonii minoris, distantiam eam quae est inter neten diezeugmenon et paraneten hyperboleon enharmonium sumo; sed quoniam nete diezeugmenon est 3072, paranete autem hyperboleon enharmonios 2916, horum distantia erit 156, horum sumo dimidiam partem, qui sunt 78. Hos adjicio 2916, fient 2994, haec erit E E trite hyperboleon enharmonios; descriptum est igitur secundum tria genera tetrachordum quod est hyperboleon, cujus formam ubter adjecimus.
CAPUT VI. Ratio superius digestae descriptionis. Tria igitur tetrachorda tali nobis ratione descripta sunt. Tetrachordum enim omne diatessaron retinet consonantiam. Igitur nete hyperboleon, et nete diezeugmenon in tribus generibus, id est, vel in diatono, vel in chromate, vel in enharmonio diatessaron continent symphoniam. Diatessaron autem consonantia constat duobus tonis et semitonio minore. Id hoc modo per tria genera in supradictis tetrachordis divisum est. In diatonico enim genere quod est primum paranete hyperboleon, id est 2592, ad neten hyperboleon, id est 2304, obtinet distantiam tonum, quod tali notula inscripsimus T. Rursus trite hyperboleon diatonici generis, quae est 2916, ad paraneten hyperboleon diatonici generis, quae est 2592, rursus obtinet differentiam quam simili nota insignivimus T. Nete autem diezeugmenon ad trite hyperboleon, id est 3072 ad 2916, semitonium refert, quod tali notula signavimus T; hoc est totum spatium netes diezeugmenon, et netes hyperboleon duorum tonorum ac semitonii. Sed idem duo toni ac semitonium in chromatico genere hac ratione divisi sunt. Secundum enim genus, quod est chromaticum, hoc modo descriptum est: paranete enim chromatice hyperboleon, quae est 2736, ad neten hyperboleon, quae est 2304 comparata, continet spatium paranetes hyperboleon diatonici generis ad neten hyperboleon quod est unus tonus, id est, duo semitonia majus ac minus, et divisum rursus spatium paranetes hyperboleon diatonici, ad netes hyperboleon. Ita enim factum est, qui est dimidius tonus, sed non integre, quia (ut supra uberrime monstratum est) non potest tonus in duo aequa partiri. Consignabimus igitur hoc spatium trium semitoniorum, id est toni ac semitonii, hoc modo, T T T. Rursus paranete hyperboleon chromatica ad triten hyperboleon retinet partem toni, id est semitonium, quod reliquum fuit ex duobus tonis qui continentur inter triten hyperboleon diatonicam, et neten hyperboleon. Subtractis vero quatuor semitoniis, reliquum ex toto tetrachordo spatium semitonii est, quod continetur inter neten diezeugmenon, et trite hyperboleon. Constat igitur et hoc tetrachordum ex duobus tonis ac semitonio, divisum in uno quidem spatio tribus semitoniis. In duobus autem spatiis, duobus semitoniis. Tria vero spatia nervis quatuor continentur. In enharmonio vero genere summa est id pernoscendi facilitas, ab ea enim quae est nete hyperboleon, id est 2304, paranete hyperboleon enharmonios, id est 2916, duos tonos integros distat, quos hoc modo notabimus T T. Relinquitur igitur ex totius tetrachordi duobus tonis ac semitonio unum quidem semitonium quod continetur inter neten diezeugmenon et paraneten hyperboleon enharmonion. Quod scilicet divisimus in duas dieses trite hyperboleon enharmonion. Media interjecta, spatiumque dieseos hoc modo signavimus ita igitur nobis hyperboleon tetrachordum descriptum est. Quo peracto ad diezeugmenon tetrachordum veniamus. Nec immorandum est eisdem commemorationibus in caeteris. Cum ab hac descriptione etiam in aliis sumi possit exemplum.
CAPUT VII. Monochordi netarum diezeugmenon per tria genera partitio. Netes igitur diezeugmenon, quae est 3072, si dimidium sumam, erunt 1536. Qui eisdem additi fiunt 4608 quae est mese, quam O littera designavimus; quod si eisdem netes diezeugmenon, id est DD, scilicet 3072, auferam tertiam partem, erunt 1024. Qui eisdem conjuncti facient 4096 quae vocabitur paramese, X littera subnotata. Nete igitur diezeugmenon, id est 3072, ad mesen, id est 4608, quoniam in sesquialtera comparatione consistit, diapente consonabit symphoniam. Eadem vero nete diezeugmenon, id est 3072, ad paramesen, id est 4096, quae ad eam in sesquitertia proportione composita est, diatessaron retinet consonantiam. Si igitur ab ea quae est nete diezeugmenon 3072 octavam auferam partem id est 384, eisque adjiciam, fient 3456, eritque paranete diezeugmenon diatonos, CC litteris pernotata, ad neten diezeugmenon obtinens tonum. Ab hac vero si octavam auferam partem, id est de 3456, quae est 432, eosque eidem adjungam, erunt 3888. Eritque ea Y trite diezeugmenon diatonos. Sed quoniam nete diezeugmenon ad paramesen sesquitertiam obtinebat proportionem, trite autem diezeugmenon diatonos a nete diezeugmenon duos tonos abest, continebitur inter triten diezeugmenon et paramesen semitonium minus. Diatonicum igitur genus, in hoc quoque tetrachordo ac pentachordo ita expletum est, ut tetrachordi quidem ejus, quod est netes diezeugmenon ad paramesen, diatessaron consonantia sit. Pentachordi vero ejus quod est netes diezeugmenon ad mesen, diapente sit consonantia. Enharmonium vero atque chromaticum genus hac ratione texemus: Sumo distantiam netes et paranetes diezeugmenon diatoni, id est 3072 et 3456, est eorum differentia 384; hanc divido, erunt 192; hanc si sumam et ei quae est paranete diezeugmenon diatonos adjungam, id est 3456, fient 3648, haec erit paranete diezeugmenon chromatica, BB geminatis litteris adnotata distans nete diezeugmenon tono et semitonio, id est tribus semitoniis, continens ad triten diezeugmenon dudum quidem diatonicam. Nunc vero chromaticam, id est 3888, semitonium reliquum ab eo tono, quod divisum est inter paraneten diatonon diezeugmenon, et triten diatonon diezeugmenon, et sit reliquum aliud ex tetrachordo semitonium inter triten diezeugmenon chromaticam et paramesen, quod scilicet ex diatessaron consonantia relinquitur, ea quae est inter neten diezeugmenon et paramesen subtractis duobus tonis, quos nete diezeugmenon chromatica, et trite diezeugmenon chromatica continebant. Quae autem in diatonico genere trite diezeugmenon diatonica est. In chromatico autem diezeugmenon chromatica, ea in enharmonio genere paranete diezeugmenon enharmonios dicitur, integros enim duos tonos distat ab ea quae est nete diezeugmenon et notatur AA. Et inter neten diezeugmenon et paraneten enharmonion diezeugmenon nulla interest chorda, atque ideo paranetes vocabulo nuncupatur. Semitonium vero quod est inter paraneten enharmonion diezeugmenon et paramesen, id est inter AA et X hac ratione partimur, ut fiant duae dieses. Sumo differentiam paranetes enharmonii diezeugmenon et parameses, id est 3888 et 4096, ea est 208, hanc divido, fient 104. hos appono 3888, fient 3992. Ea erit trite diezeugmenon enharmonios Z littera pernotata. Hujus igitur tetrachordi per tria genera descriptionem subter adjeci, superiusque dispositum hyperboleon tetrachordum aggregavi, uti esset utrorumque una descriptio, et paulatim juncta dispositionis totius forma consurgeret.
CAPUT VIII. Monochordi netarum synemmenon per tria genera partitio. Duo quidem tetrachorda quae sibimet quidem conjuncta sunt, a mese vero disjuncta, trium generum superior descriptio, quemadmodum locarentur ostendit. Nunc ad aliud tetrachordum veniendum est, quod synemmenon vocatur, quod junctum est ei quae est mese. Quoniam enim inter neten diezeugmenon et mesen diapente consonantiam esse praediximus, est autem diapente consonantia trium tonorum ac semitonii. Tres vero sunt toni in hoc pentachordo, quorum unus quidem netes diezeugmenon ad paraneten diezeugmenon diatonon. Alter vero paranetes diezeugmenon diatonon ad triten diezeugmenon diatonon. Tertius autem parameses ad mesen, reliquumque semitonium trites diezeugmenon diatoni ad paramesen, quoniamque netes diezeugmenon et parameses tetrachordum ab ea quae est mese, eo tono disjunctum est, quod est inter paramesen ac mesen. Si ex eo pentachordo, quod est a nete diezeugmenon ad mesen, unum abstulerimus tonum, eum scilicet qui continetur inter neten diezeugmenon et paraneten diezeugmenon diatonon, poterimus aliud tetrachordum ad mesen jungere, ut fiat synemmenon, quod est conjunctum hoc modo. Nam quoniam paranetes diezeugmenon diatoni, quae est CC, numerus est 3456, horum tertia eisdem addita faciet mesen. Hic ergo numerus in diezeugmenon tetrachordo CC litteris adnotatus, tono distabat a nete diezeugmenon in genere diatonico, et paranete diezeugmenon diatonos vocabatur, in synemmenon autem tetrachordo, id est, conjunctarum sit nete synemmenon in tribus generibus constituta Y littera pernotata, et ab ea octava pars auferatur quae est 432 eisque apponatur, fient 3888 quae est paranete synemmenon et T littera pernotata. Hujus pars sumatur octava ea quae est 486: haec summa si eisdem, quorum octava est, aggregetur, fient 4374, quae est trite synemmenon diatonos, id est, E. Sed quoniam nete synemmenon ad mesen, id est 3456 ad 4608, sesquitertiam obtinet proportionem, quae est diatessaron, trite autem synemmenon ad netem synemmenon, id est 4374 ad 3456, duorum tonorum obtinet proportionem, relinquitur trites synemmenon diatoni ad mesen proportio semitonii, et conjunctum est hoc tetrachordum cum mese, atque ideo synemmenon quasi continuum et conjunctum vocatur. Et diatonici quidem generis hoc modo est facta proportio. Chromatici vero talis divisio est: sumo netes synemmenon et paranetes synemmenon diatonici, id est 3456 et 3888 differentiam, ea est 432; hanc si divido ut semitonium fiat, fiunt 216; hanc adjicio ad 3888 ut tria semitonia fiant, erunt 414, quae est paranete synemmenon chromatica, cui littera S superapposita est. Ab hac igitur, id est, paranete synemmenon chromatica, ad triten synemmenon prius quidem diatonicam, nunc vero chronicam semitonium est. A qua trite synemmenon chromatica usque mesen aliud semitonium reperitur. Sed quoniam a nete synemmenon usque ad triten synemmenon diatonicam vel chromaticam duo toni sunt, quae est in diatonico vel chromatico generibus trite synemmenon diatonos vel chromatica, eadem in genere enharmonio paranete synemmenon enharmonios est, habens summam 4374, quae sit R, A, qua usque ad meson semitonium est, hoc partior in duas dieses hoc modo: Sumo differentiam paranetes synemmenon enharmonii et meses, id est 4374 et 4608, facit 234; hanc divido, fient 117; hanc adjicio paranete synemmenon enharmonios, id est 4374, fient 4491, quae P littera pernotatur, et sit ea trite synemmenon enharmonios Eritque semitonium quod continetur inter paraneten synemmenon enharmonion et mesen, id est inter 4374 et 4608, divisum per triten synemmenon enharmonion eam, scilicet quae est 4491. Quocirca hujus quoque tetrachordi expedita ratio est. Nunc autem facienda est descriptio, juncta tamen cum caeteris tetrachordis, id est hyperboleon ac diezeugmenon, ut paulatim fiat descriptionis rata progressio.
CAPUT IX. Monochordi meson per tria genera partitio. Ex his igitur quae praedicta sunt, in caeteris non arbitror diutius laborandum esse. Ad horum enim exemplar etiam reliqua tetrachorda meson atque hypaton texenda sunt. Ac primum quidem diatonici generis meson tetrachordon hoc ordine describemus. Meses enim quae est O 4608 sumo tertiam partem, ea est 1536; hanc eidem copulo, fient 6144, ea sit II hypate meson diatessaron ad mesen continens consonantiam, haec duobus tonis ac semitonio ita dividitur: Sumo enim meses, id est 4608, octavam partem, quae est 576; hanc eidem adjungo, fient 5184, ea est lychanos meson diatonos, id est M. Cujus interim pars sumitur octava, ea est 648; hanc eidem adjungo, fient 5832. Ea sit I parhypate meson diatonos tonum obtinens ad lychanon meson diatonon, duobus autem tonis distans a mese. Relinquitur igitur semitonium inter hypaten meson diatonon et parhypaton meson diatonon constitutum, id est inter 6164 et 5832. Idem vero tetrachordum meses atque hypates meson in chromatico genere tali ratione partimur. Sumo meses differentiam ad lychanon meson diatonon, id est 4608 ad 5184, ea est 576; hanc dimidiam partior, fient 288; eadem adjicio numero majori, id est 5184, fient 5472, quae fit N lychanos meson chromatice. Relinquuntur igitur duo semitonia, unum inter lychanon mesen chromaticen et parhypaten meson chromaticen, id est inter 5472 et 5832, et aliud inter parhypate meson chromaticen et hypaten meson, id est inter 5832 et 6144. Enharmonium vero genus hoc modo dividimus, quoniam ea quae erat parhypate meson diatonos, vel ea quae erat parhypate meson chromatice, duos tonos distabat a mese obtinens numerum 5832, ea in enharmonio genere erit lychanos meson enharmonios, L littera pernotata, duos nihilominus ad mesen obtinens tonos. Reliquum igitur semitonium quod est inter lychanos meson enharmonion et hypaten meson, id est inter 5832 et 6144, in duas dieses hoc modo dividimus. Aufero differentiam 5832 ad 6144, ea est 312 hanc dimidiam partior, fient 156; hanc ad 5832 jungo, fient 5888; et haec sit K parhypate meson enharmonios. Duae vero sunt diesis inter lychanon meson enharmonion et parhypate meson enharmonion, id est inter 5832 et 5988, et inter parhypaten meson enharmonion et hypaten meson, id est inter 5988 et 6144. Divisum est igitur meson tetrachordon. Quod ita in descriptione ponatur, ut superius descriptis tetrachordis aggregetur.
CAPUT X. Monochordi hypaton per tria gene a partitio, et totius dispositio descriptionis. Nunc vero hypaton tetrachordum per tria genera dividendum est. Sumo hypates meson, id est 6144: dimidiam partem, quae sit 3072, hanc eidem si adjecero, fient 9216, quae est proslambanomenos ad hypaten meson diapente consonantiam servans. Ejusdem autem hypaten meson 6154. Si auferam tertiam partem quae est 2048 eidemque adjecero, fient 8192. Et haec est B hypate hypaton. Igitur hypaten meson ad proslambanomenon diapente est consonantia, ad hypaten vero hypaton diatessaron. Ab hac igitur hypate meson, id est 6144, pars auferatur octava, erunt 768; hanc eisdem si quis adjungat, fient 6912. Quae est E lychanos hypaton diatonos ad hypaten meson toni obtinens proportionem. Rursus de 6912 pars auferatur octava, erunt 864; hoc si eisdem copuletur, fient 7776, quae est C parhypate hypaton, diatonos ad lychanon hypaton diatonon toni, ad hypaten meson duorum tonorum distantiam servans. Relinquitur igitur semitonium inter parhypaten hypaton diatonon et hypaten hypaton, id est inter 7776 et 8192, et diatonici quidem generis hypaton tale tetrachordum est, chromaticum vero tali ratione dividimus. Sumo enim differentiam hypaten meson, et ejus quae est lychanos hypaton diatonos, id est 6144 et 6912, ea est 768; hanc dimidiam partior ut duo efficiam semitonia, fient 384; hanc adjicio 6912 ut tria semitonia fiant, erunt 7296: haec erit F lychanos hypaton chromatice ab ea quae est hypate meson tribus semitoniis distans. Relinquuntur ergo duo semitonia, unum quidem inter lychanos hypaton chromaticen et parhypaten hypaton chromaticen, id est inter 7296 et 7776. Aliud vero inter parhypaten hypaton chromatice et hypaten hypaton, id est inter 7776 et 8192. Restat enharmonium genus, cujus ad superius exemplar talis divisio est. Quoniam enim parhypate hypaton diatonos vel parhypate hypaton chromatice, qua 7776 unitatibus insignita est, duobus tonis distat ab ea quae est hypate meson, eadem erit in genere enharmonio lychanos hypaton enharmonios, quae ab hypate meson duobus integris differant tonis. Restat igitur ex diatessaron consonantia semitonium quod est inter lychanos hypaton enharmonion et hypaten hypaton, id est inter 7776 et inter 8192, hoc in duas dieses ita dividimus. Sumo differentiam ejus quae est lychanos hypaton enharmonios, et hypaten hypaton, id est 7776 et 8192, ea est 416; hujus dimidiam sumo, sunt 208; hanc adjicio 7776, fient 7984 quae sit D parhypate hypaton enharmonios. Sunt igitur duae dieses: una quidem quae est inter lychanon hypaton enharmonion et parhypaten hypaton enharmonion, id est inter 7776, et 7984; altera vero quae est inter parhypaten hypaton enharmonion, et hypaten hypaton, id est inter 7984 et 8192. Tonus vero ultimus inter proslambanomenon et hypaten hypaton, id est inter 9216 et 8192, continetur. Divisum est igitur hypaton tetrachordum secundum tria genera diatonicum chromaticum enharmonion. Quod si superioribus tetrachordis hyperboleon diezeugmenon synemmenon meson adjungatur, fit integra perfectaque descriptio divisi per omnia monochordi regularis.
CAPUT XI. Ratio superius dispositae descriptionis. In superiore igitur forma obtinet quidem consonantiam diapason proslambanomenos ad mesen, mese autem ad neten hyperboleon. Bis diapason autem proslambanomenos ad neten hyperboleon. Diatessaron autem consonantiam servat hypate hypaton ad hypaten meson. Hypate meson ad mesen mese, ad neten synemmenon, paramese ad neten diezeugmenon, nete diezeugmenon ad neten hyperboleon. Atque hoc ita fit, ut his consonantiis integra tetrachorda numeremus. Atque ut clarius omnis in hac forma respiciatur ordo nervorum, secundum tria genera 5 tantum notantur esse tetrachorda. Primum atque gravissimum hypaton, cujus est princeps hypate hypaton, ultima autem hypate meson, secundum vero meson cujus est princeps hypate meson, extrema vero mese. Tertium synemmenon, cujus est princeps mese, finalis nete synemmenon. Quartum diezeugmenon, cujus est prima paramese, nete vero diezeugmenon extrema. Quintum vero est hyperboleon cujus est quidem princeps nete diezeugmenon, ad neten vero hyperboleon terminatur extrema.
CAPUT XII. De stantibus et mobilibus vocibus. Harum vero omnium vocum partim sunt in totum immobiles, partim in totum mobiles, partim vero nec in totum immobiles, nec in totum mobiles. In totum immobiles sunt proslambanomenos, hypate hypaton, hypate meson, mese, nete synemmenon, paramese, nete diezeugmenon, nete hyperboleon. Idcirco quoniam in omnibus tribus generibus eaedem sunt, nec nomina nec loca permutantes, sive pentachorda, sive tetrachorda contineant. Pentachorda quidem ut proslambanomenos ad hypaten meson, et mese ad neten diezeugmenon. Tetrachorda vero, ut hypate hypaton ad hypaten meson, et hypate meson ad mesen. Mobiles vero sunt quae secundum singula genera permutantur hoc modo ut paranete et lychanos diatonici et chromatici, trite et parhypate enharmonici. Alia est enim paranete hyperboleon diatonos, alia paranete hyperboleon chromatica, alia trite enharmonios. Diversae sunt etiam paranete diezeugmenon diatonos, atque chromatica. Nec est eadem quae in generibus caeteris trite diezeugmenon enharmonios, neque eaedem sunt paranete synemmenon diatonos et chromatica et trite synemmenon enharmonios, his qui sunt in reliquis generibus trite. Distant etiam lychanos meson diatonos et lychanos meson chromatice, et parhypate meson enharmonios nulli aliorum generum parhypate similis invenitur. Nec eosdem locos ac numeros servant lychanos hypaton diatonos et lychanos hypaton chromatice. Nam parhypate hypaton enharmonios aliorum generum parhypatis reperitur esse dissimilis. Non in totum vero immobiles aut mobiles sunt, quae in duobus quidem generibus manent, id est chromatico et diatonico, sed in enharmonio permutantur. Id autem sic consideratur trite hyperboleon, diatonos, et trite hyperboleon chromatice eadem in superiori forma descripta est, hisdem numeris 2829. At vero cum enharmonium genus aspicimus triten aliam reperimus, id est 2916. Quae igitur vox duobus fuit generibus communis, eadem in tertio permutata est. Idem est et in diezeugmenon tetrachordo. Nam trite diezeugmenon diatonos et trite diezeugmenon chromatica eadem sunt, sibique consentiunt, trite autem diezeugmenon enharmonios a superiore distat, in synemmenis etiam idem est. Trite enim synemmenon diatonos et trite synemmenon chromatice eaedem sunt. Sed trite synemmenon enharmonios est diversa. Item parhypate meson diatonos, et parhypate meson chromatica eaedem notantur. Sed in enharmonio genere sicut superius trite, ita hic parhypate juxta hypates meson quidem inveniuntur, vi autem ac soni acumine diversae sunt caeteris. Rursus parhypate hypaton diatonos et parhypate hypaton chromatica eadem est. Sed non eadem est cum in enharmonio genere quaeritur. Sed ut harum non plena mutabilitas clarius colliquescat ad hyperboleon tetrachordum redeamus, in hoc igitur quae in diatonico atque in chromatico genere trite hyperboleon est, eadem mutatur in enharmonio, et fit paranete. Item quae trite diezeugmenon in diatonico vel chromatico genere vocabatur, paranete in enharmonio dicitur quae trite synemmenon in chromatico vel diatonico fuit, in enharmonio in paraneten transit. Quae vero parhypate meson in chromatico vel diatonico videbatur, eadem lychanos meson in enharmonio reperitur. Quae autem parhypate hypaton, vel in diatonico vel in chromatico dicebatur, lychanos hypaton in enharmonio nuncupatur. Sunt igitur quidem immobiles, proslambanomenos, hypate hypaton, hypate meson, mese, nete synemmenon, paramese, nete diezeugmenon, nete hyperboleon; mobiles vero quas lychanos, vel paranetas, vel diatonicas, vel chromaticas, vel enharmonicas nominamus. Non in totum mobiles aut immobiles, quas parhypatas tritas in diatonico vel chromate, lychanos autem vel paranetas in enharmonico genere dicimus.
CAPUT XIII. De consonantiarum speciebus. Nunc de speciebus primarum consonantiarum tractandum est; primae autem consonantiae sunt diapason, diapente, diatessaron. Species autem est quaedam positio propriam habens formam secundum unumquodque genus in uniuscujusque proportionis consonantiam facientis terminis constituta, ut in diatonico genere. Nam si diezeugmenon tetrachordum inter hyperboleon tetrachordum mesenque ponamus, subtracto scilicet synemmenon tetrachordo, erunt 15 nervi. At si ab his proslambanomenos detrahatur, erunt quatuordecim. Hi ergo disponantur hoc modo. Sit A hypate hypaton, B parhypate hypaton, C hypate lychanos, D hypate meson, E parhypate meson, F lychanos meson, G mese, H paramese, I trite diezeugmenon, K paranete diezeugmenon, L nete diezeugmenon, M trite hyperboleon, N paranete hyperboleon, O nete hyperboleon. Ab hypate igitur ad paramesen diapason consonantia est. A mese vero ad hypaten meson diatessaron, ab eadem vero mese ad lychanon hypaton diapente. Erit igitur diapason quidem octo chordarum. Diatessaron vero quatuor, diapente autem quinque. Ac per hoc habebit diatessaron quidem species tres, diapente autem species quatuor, diapason vero species septem. Semperque una minus species erit quam fuerint voces, ut enim a mese caeteras ordinamus diatessaron consonantiae species tres sunt, hoc modo: una quidem species erit ab G ad D; secunda vero ab F ad C; tertia vero ab E ad B, et huc usque diatessaron species progrediuntur. Idcirco quia huc usque species binos continet nervos, ejusdem diatessaron, ut G D quidem eos qui sunt E F continent, F C eos qui sunt E D, et E B eos continent qui sunt C D; si vero his adjecero diatessaron D A, diversa non erit ab ea quae est G D, unum enim solum G D consonantiae nervum continebit, id est D solum. Excessit igitur G D consonantiam, atque ideo diatessaron tres species habere perhibetur. Et in caeteris quidem consonantiis idem est. Diapente autem erunt species quatuor hoc modo: Una quidem est H ad D; alia vero ab eo quod est G ad C; alia ab eo quod est F ad B; alia autem ab eo quod est E ad A. Diapason vero consonantiae 7 erunt species, hoc modo: prima ab eo quod est O ad G; secunda ab eo quod est N ad F; tertia ab eo quod est M ad E; quarta ab eo quod est L ad D; quinta ab eo quod est K ad C; sexta ab eo quod est I ad B; septima ab eo quod est II ad A. Liquet igitur ex his quae dicta sunt, diatessaron consonantiam semel tantum in immobilibus ac statutis vocibus contineri. Nam si ab hypate hypaton incipiam, erit A D, id est ab hypate hypaton in meson hypaten ea quae est in ordine prima. Nam caeterae non statutis vocibus terminantur, ut B E C F. Nam parhypate hypaton et parhypate meson, lychanos hypaton et lychanos meson mobiles esse monstratae sunt. Quod si rursus ab hypate meson diatessaron consonantiam inchoemus, erit species diatessaron statutis vocibus terminata G D, ea quae est prima, id est ab hypate meson in mesen. Reliquae minime, ut E H et F I. Nam parhypate meson et lychanos meson et trite diezeugmenon non probantur immobiles. Rursus si eamdem diatessaron paramese suscipiat ordiendam, erit quoque quae statutis coerceatur sonis, diatessaron species II L, id est a paramese in nete diezeugmenon, quae est prima. Nam caeterae quae sunt I M et K N mobilibus terminantur sonis. Nam triten diezeugmenon, et paraneten diezeugmenon, et triten hyperboleon, et paraneten hyperboleon mobiles voces esse praediximus. Item diapente consonantia duas tantummodo species tenet, quae statutis vocibus includuntur. Ut si ab hypate meson ordiamur, una quidem est D H, id est ab hypate meson in paramesen, ea quae est prima. Altera vero G L, id est a mese in neten diezeugmenon, haec vero est quarta. Reliquae vero, id est E I et F K, minime statutis vocibus clausae sunt. Nam parhypate, et lychanos, et trite, et paranete instabiles approbantur. Similis autem ratio erit si a nete diezeugmenon in graviorem partem, id est ad mesen, consonantiae hujus species considerentur, eisdem enim immobilibus vocibus, quae superius dictae sunt, continebuntur. Sive autem ab hypate meson, seu a mese, seu a paramese, sive etiam a nete hyperboleon consonantias ad graviorem partem ducamus. Duarum quae statutis vocibus coerceantur, non poterit esse destructio. Diapason vero consonantiae sive ab hypate hypaton in paramesen, sive a nete hyperboleon in mesen ordo sumatur, tres tantummodo species obtinebit, quae immobilibus vocibus coerceantur. Nam ab hypaten hypaton ordientibus una est A B, ea quae est prima ab hypate hypaton in paramese. Altera D L ea quae est quarta ab hypate meson in nete diezeugmenon. Dehinc G O haec septima est, id est a mese in neten hyperboleon. Reliquarum vero specierum voces extimae nullo modo immobilibus vocibus constitutae sunt. Nam parhypate, et lychanos, et trite, et paranete (ut supra quoque dictum est) immobiles non sunt. Similiter autem et per easdem voces si ab hyperboleon nete ordiamur, specierum ordo contexitur, quorum omnium intelligentiam subjecta descriptio docet.
CAPUT XIV. De modorum exordiis, in quo dispositio notarum per singulos modos ac voces. Ex diapason igitur consonantiae speciebus existunt qui appellantur modi, quos eosdem tropos vel tonos nominant. Sunt autem tropi constitutiones in totis vocum ordinibus, vel gravitate, vel acumine differentes, constitutio vero est plenum veluti modulationis corpus ex consonantiarum conjunctione consistens, quale est vel diapason, vel diapason et diapente et diatessaron, vel bis diapason. Est enim diapason constitutio, a proslambanomenos in meson caeteris quae sunt mediae vocibus annumeratis, vel a mese rursus in neten hyperboleon cum vocibus interjectis, vel ab hypate meson in neten diezeugmenon, cum his quas extremae voces medias claudunt. Diapason et diatessaron vero constitutio ea est quae a proslambanomenos in neten synemmenon, cum his quae mediae sunt interjectae constat. Bis diapason autem a proslambanomenon in neten hyperboleon, cum his quae in medio sunt interpositae consideratur. Has igitur constitutiones si quis totas faciat acutiores vel in gravius totas remittat, secundum supradictas diapason consonantiae species efficiet modos septem, quorum nomina sunt haec: hypodorius, hypophrygius, hypolydius, dorius, phrygius, lydius, mixolydius; horum vero sic ordo procedit. Sit in diatonico genere vocum ordo dispositus a proslambanomene in neten hyperboleon, atque hic sit hypodorius modus. Si quis proslambanomenon in acumen intendat tono, hypatenque hypaton eodem tono attenuet, caeterasque phthongorum omnes faciat acutiores, acutior totus ordo proveniet, quam fuit prius quam toni susciperet intensionem. Erit igitur tota constitutio acutior effecta hypophrygius modus, quod si in hypophrygio toni rursus intensionem voces acceperint, hypolydii modulatio nascetur. At si hypolydium quis semitonio intendat, dorium faciet, et in aliis quidem similis est in acumen intensionemque processus. Quorum, non ut intelligentiam solummodo ratio comprehendatur, verum oculis quoque forma possit agnosci, ab antiquis tradita musicis descriptio supponenda est; sed quoniam per singulos modos a veteribus musicis unaquaeque vox diversis notulis insignita est, descriptio prius notularum videtur esse ponenda, ut his primum per se cognitis in modorum descriptione facilis possit esse dispectio.
CAPUT XV. Descriptio continens modorum ordinem ac differentias. Superior igitur descriptio chordarum nomina tenet ascripta, notulas vero juxta positas, et quae cujusque sit modi, sive lydii, sive phrygii, sive dorii vocabulorum signat adjectio. Sed quoniam hos modos diximus in speciebus diapason consonantiae reperiri, age eosdem in diatonico tantum genere describamus, ut qui eorum ordo sit, sub aspectu cadens intelligentiam non moretur.
CAPUT XVI. Superius dispositae modorum descriptionis. Septem quidem praediximus esse modos, sed nihil videatur incongruum quod octavus super annexus est. Hujus enim adjectionis rationem paulo posterius eloquemur. Nunc illud est considerandum quod hae paginulae, quas inter se rectus linearum ordo distinguit, aliae quidem habent notulas musicas, aliae vero minime, velut in eo modo qui scribitur hypermixolydius. Prima quidem paginula ω tertia Φ litteris adnotatur. Secunda notula vacat. In hac igitur intercapedine notularum tonus interesse monstratur. Quod vero Φ tertiae atque γ quartae paginae notam non paginula dividit, sed versus recto ordine diductus, semitonium eas differre pronuntiat, quod probatur hoc modo: nam si ω proslambanomenos est, Φ hypate hypaton, γ parhypate hypaton, necesse est inter proslambanomenon quod est ω et inter hypaten hypaton, quod est Φ toni esse distantiam, inter hypaten autem hypaton quod est Φ et parhypaten hypaton, quod est γ, semitonii differentiam contineri jamque hoc regulariter in cunctis est considerandum, ut si vocum. notulas integra pagina disgregaverit, toni inter eas sciamus esse distantiam. Sin versus notulas, ac non pagina distinguit, semitonii non ignoremus esse distantiam. His igitur ita praemissis, si duo ordines in bis diapason consonantia constituti sibi invicem comparentur, ut qui ordo sit gravior possit agnosci, si proslambanomenos proslambanomene fuerit gravior vel quaelibet alia vox ejusdem loci voce gravior pernotetur, in eodem scilicet genere constituta, totum quoque ordinem necesse est esse graviorem. Tamen id melius sumetur ad mediam quae est mese. Duorum enim ordinum bis diapason consonantium cujus mese fuerit gravior, ejusdem totus ordo quoque gravior erit. Nam caeterae singulae singulis comparatae nihilominus graviores invenientur, itaque si media ab alia media tono aut acutior videatur, aut gravior, omnes quoque nervi si id eodem genere sint, singuli sibimet comparati tono acutiores aut graviores esse videbuntur. Quatuor autem mediis si prima ad quartam diatessaron distantiam servet, prima vero a secunda tono differat, secunda quoque a tertia eodem differat tono, tertia ad quartam semitonii faciet differentiam hoc modo: sint 4 mediae A B C D, et A ei quae est D comparata servet ad eam sesquitertiam proportionem, quae est diatessaron. Item A a B distet tono, B a C distet tono, relinquitur ut C ad D semitonii distantiam servet. Et si quinque sint mediae eodem modo. Si enim prima a quinta sesquialtera disteterit proportione, primaque a secunda, ac secunda a tertia, quartaque a quinta, singulis disteterint tonis, tertia ad quartam semitonii faciet differentiam. Item quaecunque mediae aliorum modorum proslambanomenos accedunt hae graviores modos operantur. Quae netis, illae acutiores efficiunt. Quoniam igitur in superiore pagina descriptis modis partem sinistram legentis proslambanomeni primi tenent. Dextera vero legentis extremis clauditur netis, erit omnibus quidem acutior modis, qui inscribitur hypermixolydius, omnibus vero gravioris qui hypodorius. Nos vero a gravissimo hypodorio inchoantes, caeteros quam inter se habent differentiam designabimus. Namque in hypodorio modo mese quae est ω ab ea mese quae est in modo hypophrygio tono distabit. Quod in hoc facile perspicietur, si quis ad mesen hypophrygii, quae est φ ejusdem hypophrygii ω comparet, quae est hypodorii quidem mese, in hypophrygio autem lychanos meson. Nam φ atque ω tono differunt, quod pagina interjecta demonstrat. Item mese hypolydii ab ea quae est mese hypophrygii toni differentiam facit. Namque C, quae est mese hypolydii, tono distat a φ, quae est hypolydii quidem lychanos mesen, in hypophrygio autem mese. Item mese hypolydii, quae est C, ab ea quae est mese dorii semitonio distat. Quod hinc poterit agnosci, quoniam ordinem sursum prodeuntem ejus meses, quae est hypolydii, atque eum ordinem in sursum prodeuntem ejus meses quae est dorii, unus versiculus, non pagina distinguit. Quo fit ut mese hypodorii ab ea mese quae est dorii, integra diatessaron consonantia distet, idque probatur hoc modo: nam quae est mese ω in hypodorio, eadem est ω in dorio; hypate meson est ab ea quae est mese, in quovis modo vel genere diatessaron consonantia differens. Item mese dorii quae est π ab ea mese quae est phrygii, id est M, distat tono. Nam quae est mese in dorio, π eadem in phrygio lychanos meson. Rursus mese phrygii quae est M, ab ea mese quae est lydii, id est I distat tono. Nam quae in phrygio est M mese, in lydio est lychanos mesen. Rursus mese lydii modi ab ea mese quae est myxolydii; id est Η semitonio distat. Etenim si ordo qui rectus lydii continet mesen ei ordini qui rectus mixolydii mesen habet comparatus, non paginula, sed versu disjungitur. Ea quoque mese quae est myxolydii Η ad eam mesen quae est hypermyxolydii, id est Γ toni differentiam facit; idcirco quoniam Η quae in mixolydio mese est, eadem in hypermixolydio lychanos meson est. Unde fit ut mese dorii ab ea mese quae est mixolydii diatessaron consonantia distet. Id probatur hoc modo: nam meson quae est dorii, id est π, eadem est mixolydii, id est π hypate meson, quae ad cujuslibet modi mesen diatessaron consonantiam servat. Item mese dorii, id est π, ad eam mesen quae est hypermixolydii quae est r diapente consonantiam servat. Ea enim mese quae est dorii, id est π, in ordine hypermixolydii lychanos hypaton est; lychanos autem hypaton ad mesen in diatonico genere in quolibet modo si comparetur, diapente consonantia distat. Cur autem octavus modus, qui est hypermixolydius, adjectus est, hic patet. Sit bis diapason consonantia haec.
CAPUT XVII. Ratio superius dispositae modorum descriptio. Diapason igitur consonantiam servat A ad id quod est H, octo enim vocibus continetur: primam igitur dicimus esse speciem diapason ea quae est A H, secundam vero B I, tertiam C K, quartam D L, quintam E M, sextam F N, septimam G O. Relinquitur igitur extra H P, quae ut totus ordo impleatur adjecta est, atque hic est octavus modus, quem Ptolemaeus super annexuit.
CAPUT XVIII. Quemadmodum indubitanter musicae consonantiae aure dijudicari possit. Ut vero indubitanter consonantiarum ratio colligatur, tali brevissimo ac simplici effici poterit instrumento. Sit igitur regula diligenter extensa A D, cui duo hemispheria, quas magadas Graeci vocant, insuper apponantur, ita ut ab ea quae est E curvatura ad id quod est B deducta linea rectos circa se angulos reddat: item ab ea quae est F curvatura ad id quod est C punctum deducta linea rectos circum se angulos efficiat. Sint vero hae aequaliter undique perpolitae ad eosdem usus, sint eisdem aliae aequales paratae, super has intendatur nervus aequalis undique, is qui est A E F D. Si igitur diatessaron consonantiam qualis sit reperire voluero, hoc modo faciam: ab E puncto, quo nervus semisphaerium tangit, usque ad F punctum, quo rursus ab alia parte altero nervus semisphaerio jungitur, divido spatium quod est E F septem partibus, et ad partem quartam septimarum appono punctum quod est K; est igitur E K ad eam quae est K F sesquitertia. Si igitur ad K aequum superioribus semisphaeriis apposuero, atque alterutra vicissim E K et K F plectro adhibito pellantur, diatessaron distantiam consonabit. Sin vero simul partes idem C K et K F utrasque percussero, diatessaron consonantiam nosco. Quod si diapente efficere volumus, quinque partibus totam chordam, id est spatium ab E ad F divido ac tres uni proportioni, duas vero reliquae dabo, atque ita posito semisphaerio, secundum superius dictum modum consonantias dissonantiasque perpendo; item si diapason consonantiam temptare voluero, totum tribus partibus seco, atque in unam duasque distribuens easdem simul vel alterutram pulsans quid consonet, vel quod dissonet utraque cognosco. Tripla vero, quae ex permixtis consonantiis nascitur, ita redditur, ut si totam in quatuor partium divisionibus partiamus, atque in tres et unam tota nervi prolixitas dividatur, itaque semisphaerium tribus appositum triplae proportionis dissonantiam et consonantiam reddat.
LIBER QUINTUS. Post monochordi regularis divisionem adjicienda arbitror esse ea in quibus veteres musicae doctores sententiae diversitate discordant, habendumque de omnibus subtile judicium, atque id quod proposito deest operi, mediocris doctrinae dispositione supplendum est. Potest enim alia quoque esse divisio, in qua non unus tantummodo nervus assumitur, qui positis proportionibus dividat. Verum octo, atque ejusmodi cythara fiat, aut in pluribus, et quanti necessarii sunt nervi, tota proportionum ratio quasi oculis subjecta cernatur.
CAPUT PRIMUM. De vi harmonicae et quae sint ejus instrumenta judicii et quonam usque sensibus oporteat credi. Sed de his paulo post loquemur; nunc dicendum est quae sit vis harmonicae, de qua tractare instituentes, quatuor libros implevimus. Naturam vero ejus unoque exprimendam in hujus quinti voluminis seriem distulimus. Harmonica est facultas differentias acutorum et gravium sonorum sensu ac ratione perpendens. Sensus enim ac ratio, quasi quaedam facultatis harmonicae instrumenta sunt. Sensus namque confusum quiddam ac proxime tale, quale est illud quod sentit, advertit. Ratio autem dijudicat integritatem atque unas persequitur differentias. Itaque sensus invenit quidem confusa ac proxima veritati, accipit vero ratione integritatem. Ratio vero ipsa quidem invenit integritatem, accipit vero sensu confusam ac proximam verisimilitudinem. Namque sensus nihil concipit integritatis, sed usque ad proximum venit. Ratio vero dijudicat, velut si quis manu circulum scribat, fortasse eum circulum vere oculus arbitretur. Ratio vero nullo modo esse id quod simulatur intelligit. Hoc vero idcirco est, quoniam sensus circa materiam vertitur, speciesque in ea comprehenditur, quae ita sunt fluide atque imperfecte. Neque determinate, et usque ad unguem expolite, sicut est ipsa materia. Quare ipsum quoque confusio sequitur, mentem vero atque rationem, quoniam materia non moratur, species quas praevidet, praeter subjecti communionem intuetur, atque ideo eam integritas comitatur ac veritas, potiusque in sensum quod peccatur, aut minus est, aut emendat, aut complet. Fortasse autem id quod sensus non integre, sed confuse, atque veritate minus quasi quidam incallidus aestimator agnoscit, in singulis minus habeat errati. Collecta vero multiplicantur in summam, atque idcirco magnam faciunt differentiam. Nam si duas voculas tono sensus distare arbitretur, neque distent, rursusque ab una earum tono putet distare tertiam, neque sit integra ac vera toni sit distantia. Item tertiae quartaeque toni sensus differentiam putet, atque in eadem quoque errent, neque sit differentia toni, ab hac etiam quarta, quintam distare semitonium putet, neque vere, neque integre aestimet, in singulis fortasse minus videatur erratum. Quod vero in primo tono sensus reliquit atque id quod in secundo et tertio atque in quarto semitonio peccatum est, in unum congregatum atque collectum efficiet, ut prima vox ad quintam vocem diapente non contineat consonantiam, quod oportebat fieri si tres tonos ac semitonium sensus integre judicasset. Quod igitur in singulis tonis minus pervidebatur, id collectum in consonantiam evidenter apparuit. Atque ut pervideatur sensum quidem confusa colligere, nullo modo autem ad integritatem rationis ascendere, sic consideremus: Datae enim lineae majorem minorem ne aliam reperire, nihil est difficile sensui. Proposita vero mensura in tanto majorem, tantove minorem reperiat, id non faciet sensus prima conceptio, sed solers rationis inventio. Vel si rursus datam lineam propositum sit vel duplicare, vel dimidiam secare, id fortasse licet paulo difficilius quam confuse majorem minoremve reperire, poterit tamen sensus inventione constitui. Si vero imperetur, ut propositae lineae tripla ponatur, vel ab ea pars tertia recidatur, vel quadrupla constituatur, vel pars quarta resecetur nonne impossibile sit sensui, nisi integritas rationis accedat, hoc ideo, quia per processus quidem rationi locus accrescit, deficit sensui. Si enim octavam partem propositae lineae auferre aliquis imperetur, vel ejusdem octuplam dare cogatur, totius quidem dimidiam sumere compellitur, dimidiaeque dimidiam, ut sit quarta, quartae quae dimidium, ut sit octava. Rursusque totius duplam, duplaeque duplam, ut sit quadrupla, quadruplaeque duplam, ut sit octupla. Itaque in tanta rerum numerositate nihil efficit sensus. Cujus omne judicium subitum, atque in superficie positum integritatem persecutionemque non explicat. Idcirco non est aurium sensui dandum omne judicium, sed exhibenda est etiam ratio quae errantem sensum regat ac temperet, qua labens sensus deficiensque veluti baculo innitatur. Nam ut singulae artes habent instrumenta quaedam quibus partim confuse aliquid informent ut asciculum, partim vero quod est integrum deprehendat, ut circinum. Ita etiam harmonica vis habet duas judicii partes: unam quidem hujusmodi, per quam sensus comprehendit subjectorum differentias vocum, aliam vero per quam ipsarum differentiarum modum mensuramque considerat.
CAPUT II. Quid sid harmonica regula, vel quam intentionem harmonici Pythagorici vel Aristoxenus, vel Ptolemaeus esse dixere. Hujusmodi igitur instrumentum in quo rationis adhibito modo, sonorum differentiae perquiruntur, vocatur harmonica regula, in qua re multorum doctorum sententiae discordia fuit. Quidam enim qui Pythagoricis disciplinis maxime crediderunt, hanc intentionem harmonicae esse dicebant, ut cuncta rationi consentanea sequerentur. Sensum enim dare quaedam quodam modo semina cognitionis, rationem vero perficere. Aristoxenus vero econtrario rationem quidem comitem ac secundarium esse dicebat, cuncta vero sensus judicio terminari, et ad ejus modulationem consensumque esse tenendum. A Ptolemaeo autem quodam modo harmonicae definitur intentio, ea scilicet ut nihil auribus rationique possit esse contrarium. Id enim secundum Ptolemaeum harmonicus videtur intendere, ut id quod sensus judicat ratio quoque perpendat, et ita ratio proportiones inveniat ut ne sensus reclamet, duorumque horum concordia omnis harmonicae intentio misceatur. Atque in eo maxime Aristoxenum ac Pythagoricos reprehendit, quod Aristoxenus nihil rationi, sed tantum sensibus credit, Pythagoricos autem quod minimum sensibus, plurimum tamen proportionibus rationis invigilent.
CAPUT III. In quo Aristoxenus vel Pythagorici vel Ptolemaeus gravitatem atque acumen constare posuerunt. Quoniam vero sonum esse omnes consentiunt aeris percussionem, gravitatis atque acuminis differentiam diversa ratione ponebant, Aristoxenum secuti et Pythagorici. Aristoxenus quippe sonorum differentias secundum gravitatem, atque acumen arbitratur in qualitate consistere; Pythagorici vero in quantitate ponebant. Ptolemaeus autem Pythagoricis propior videtur. Idcirco quoniam ipse quoque gravitatem atque acumen non in qualitate putat, sed in quantitate constitui. Etenim spissiora ac subtiliora corpora acumen, rariora et vastiora edere gravitatem, ut nihil nunc de intensionis relaxationisque modo dicatur. Quanquam etiam cum relaxatur aliqua quasi sit rarius atque crassius, cum vero intenditur spissius redditur, subtiliusque tenuatur.
CAPUT IV. De sonorum differentiis Ptolemaei sententia. His igitur ita expeditis, differentias sonorum Ptolemaeus dividit hoc modo: Vocum aliae sunt unisonae, aliae minimae. Unisonae sunt, quarum unus sonus est, vel in gravi, vel in acuto. Non unisonae vero; quando alia est gravior, alia acutior. Harum partim ita sunt, ut earum inter se differentia communi fine jungatur. Non enim discreta est, sed a gravi in acutum ita deducitur, ut continua videatur. Aliae vero sunt non unisonae, quarum differentia silentio interveniente distinguitur, ut vero voces communi fine jungantur, fit hoc modo: Sicut enim cum in nubibus arcus aspicitur, ita colores sibimet sunt proximi: ut non sit certus finis, cum alter ab altero disgregetur. Sed ita verbi gratia a rubro discedit ad pallidum, ut per continuam mutationem in sequentem vertatur colorem, nullo medio certoque interveniente, qui utrosque distinguat; ita etiam fieri solet in vocibus, ut si quis percutiat nervum eumque dum percutit torqueat, evenit ut in principio pulsus gravior sit, dum torquetur vero vox illa tenuetur, continuique fiant gravis vocis sonitus et acutae.
CAPUT V. Quae voces enharmoniae sunt aptae. Cum igitur non unisonarum vocum aliae sint continuae, aliae disgregatae, continuae quidem tales sunt, ut inter se earum differentia communi fine jungatur nec habeat locum designatum vox acuta gravisque quem teneant. Discretae vero habent proprios locos, vel uti colores impermixti, quorum differentia visitur suo quodam loco constituta. Continuae quidem non unisonae voces ab harmonica facultate separantur. Sunt enim sibi ipsis dissimiles, nec unum aliquid personantes. Discretae vero voces harmonicae subjiciuntur arti. Potest enim distantium sibique dissimilium vocum differentia deprehendi, in quibus quae junctae efficere melos possint, ἐμμελεὶς dicuntur, ἐκμελεὶς autem quibus junctis effici non potest.
CAPUT VI. Quem numerum proportionum Pythagorici statuunt. Consonae autem vocantur quae copulatae mixtos suavesque efficiunt sonos. Dissonae vero quae minime. Et hoc quidem est Ptolemaei de sonorum differentia judicium. Nunc autem quid a caeteris musicis in consonantiarum positione disteterit dicendum videtur: Pythagorici enim consonantias diapente ac diatessaron simplices arbitrantur, atque ex his unam diapason consonantiam jungunt, esse etiam diapente ac diapason, et bis diapason, illam triplicis, hanc quadrupli. Diapason vero ac diatessaron consonantiam esse non aestimant, idcirco quoniam non insuper particulari vel multiplici cadit comparatione, sed in multiplici superpartiente. Est enim haec proportio vocum ut octo ad 3; si quis enim horum in medio quatuor ponat, efficit terminos hos 8 4 3. Quorum octo ad 4 diapason efficiunt consonantiam; 4 ad 3, diatessaron; octo vero ad 3, in multiplici superpartiente constituitur. Quae autem sit multiplex superpartiens comparatio ex arithmeticis libris cognoscendum est, et ex his quae secundo hujus institutionis libro digessimus. Pythagorici autem consonantias in multiplicibus ac superparticularibus ponunt, sicut in eodem libro secundo quartoque praedictum est. A superpartientibus vero ac multiplicibus superpartientibus consonantiam separant. Quibus autem modis diapason quidem duplici, diatessaron vero sesquitertio, ac diapente sesquialtero jungunt Pythagorici, ex secundo hujus institutionis Musicae libro quarto petendum est
CAPUT VII. Quod reprehendat Ptolemaeus Pythagoricos in numero propositionum. Reprehendit autem Pythagoricos Ptolemaeus, totamque eam quam praedictis libris exposuimus demonstrationem pluribus modis, in quo totum illud etiam quod diatessaron ac diapente sesquialtero et sesquitertio conjungunt, in reliquis vero superparticularibus, cum ejusdem sint generis, nullas omnino applicent consonantias.
CAPUT VIII. Demonstratio secundum Ptolemaeum diapason et diatessaron consonantiae. Probat autem ex diapason et diatessaron quamdam symphoniam fieri hoc modo. Quoniam enim diapason consonantia talem vocis efficit conjunctionem, ut unus atque idem nervus esse videatur, idque Pythagorici quoque consentiunt, quocirca si qua ei consonantia fuerit addita, integra inviolataque servatur. Ita enim diapason consonantiae additur tanquam uni nervo. Sit igitur diapason consonantia quae contineatur inter hypaton meson et neten diezeugmenon. Utraque haec ita sibi consentit, at conjungitur sono, ut una vox quasi unius nervi, non quasi duorum mixta pellat auditum. Quamcunque igitur huic diapason consonantiae consonantiam junxerimus, servatur integra, quia ita junguntur tanquam uni voculae ac nervo. Si igitur hypate meson et neten diezeugmenon duae in acutum diatessaron fuerint junctae, si conjungitur nete quidem diezeugmenon ea quae est nete hyperboleon, hypate autem meson ea quae est mese, utraque ad utramque consonabit, et mese ad neten diezeugmenon, et eadem mese ad hypaten meson. Item nete hyperboleon ad neten diezeugmenon et ad hypaten meson. Item si ad graviorem partem utriusque diatessaron consonant ae relaxentur, erit ad meses quidem hypaton diatessaron retinens consonantiam hypate hypaton, ad neten autem diezeugmenon paramese. Consonabitque et hypate hypaton ad hypaten meson, et ad neten diezeugmenon ad paramesen et nete diezeugmenon, et ad hypaten meson. Sed eo modo ut gravior quae est ad sibi quidem proximam diatessaron retineat consonantiam, ad ulteriorem vero diatessaron ac diapason, ut hypate hypaton, ad hypaten meson diatessaron, ad neten diezeugmenon diatessaron ac diapason. Item nete hyperboleon, quae est acutior, ad sibi proximam neten diezeugmenon diatessaron consonantiam, ad hypaten meson diatessaron ac diapason.
CAPUT IX. Quae sit proprietas diapason consonantiae. Hoc vero idcirco evenire contendit, quoniam diapason pene una vocula est, talisque consonantia est, ut unum quodammodo effingat sonum, et sicut denario numero, qui fuerit additus intra eum positus integer inviolatus servatur; cum in caeteris ad ita minime eveniat, ita etiam in hac consonantia. Nam si duo tribus adjicias, quinque continuo reddis, et numeri species immutata est. Si vero eosdem denario addas, duodecim feceris, et binarius junctus denario conservatus est. Item ternarius caeterique eodem modo: ita igitur symphonia diapason quamcunque aliam susceperit consonantiam servat, nec immutat, nec ex consona dissonam reddit. Nam sicut diapente symphonia juncta diapason consonantiae in tripla scilicet proportione diapason ac diapente consonantiam servat, ita etiam diatessaron cum sit consonantia juncta cum diapason, aliam consonantiam reddit, et fit secundum Ptolemaeum alterius consonantiae additio ejusque est diapason ac diatessaron in multiplici superpartiente constituta. Estque ea proportio dupla superbipartiens, ut octo ad tres; habent enim ternarium octo bis, duasque ejus partes, id est duas unitates.
CAPUT X. Quibus modis Ptolemaeus consonantias statuat. Et de Pythagoricorum quidem opinione Ptolemaeus ita dijudicat: quibus vero modis ipse consonantiarum proportiones numerosque vestiget, hinc ordiendum est. Voces, inquit, inter se vel unisonae sunt, vel non unisonae. Non unisonarum autem vocum aliae quidem sunt aequisonae, aliae emmelis, aliae dissonae, aliae ecmelis. Et unisonae quidem sunt quae unum atque eumdem sigillatim pulsae reddunt sonum. Aequisonae vero quae simul pulsae unum ex duobus atque simplicem quodammodo efficiunt sonum, ut est diapason, eaque duplicata quae est bis diapason. Consonae autem sunt quae compositum permixtumque suavem tamen efficiunt sonum, ut diapente ac diatessaron. Emmelis autem sunt quaecunque quidem consonae non sunt, possunt aptari tamen recte ad melos, ut sunt hae quae consonantias jungunt. Dissonae vero sunt quae non permiscent sonos, atque insuaviter feriunt sensum. Ecmelis vero quae non recipiuntur in consonantiarum conjunctione, de quibus paulo posterius in divisione tetrachordorum dicemus. Quoniam igitur univocis quidem comparationibus proxime sunt aequivocae, necessarie est ut aequis numeris ea numerorum inaequalitas adjungatur, quae est proxima aequis. Est autem justa aequalitatem numerorum ea quae est dupla. Nam et prima multiplicitatis species est, et major numerus cum minorem numerum supervenit, aequo cum ipsi minori transcendit, ut duo unum uno transgrediuntur, qui eidem unitati aequalis est; jure igitur duplex proportio aequisonis aptatur, id est diapason. Bis diapason vero bis duplici, id est quadruplo. Quae autem proportiones dividunt duplicem proportionem primae ac maximae, his aptandae sunt consonantiis quae dividunt diapason aequiconsonantiam. Unde fit ut diapente quidem sesquialterae, diatessaron vero sesquitertiae comparationi copulentur. Junctae vero consonantiae cum aequisonis alias efficiunt consonantias, ut diapente ac diapason in triplo, diatessaron ac diapason in ea proportione quae est octo ad tres. Emmelis autem sunt quae diapente ac diatessaron dividunt, ut tonus caeteraeque proportiones, de quibus paulo posterius in divisione tetrachordorum loquemur, simplices earum scilicet partes.
CAPUT XI. Quae sunt aequisonae, vel quae consonae, vel quae emmelis. Igitur aequisonae quidem sunt diapason ac bis diapason, quoniam earum temperamento mixturaque unus atque simplex quodammodo efficitur sonus. Consonantiae autem sunt, primae quidem insuper particularibus sesquialtera et sesquitertia, id est diapente ac diatessaron, et diapason ac diapente, et diapason ac diatessaron, hae sunt compositae atque conjunctae ex aequisonis et consonantibus. Emmelis autem reliqui inter has poni possunt, ut inter diatessaron ac diapente differentia tonus, jungunturque quodammodo aequisonae quidem ex consonantibus, ut diapason ex diatessaron et diapente. Consonantiae autem ex his qui emmelis soni vocantur, ut eadem diapente et diatessaron tonis caeterisque posterius dicendis proportionibus; sed quomodo quidem horum omnium proportio colligi possit, ex eo loco sumendum est quem quarto volumine in fine descripsimus, ubi numerus super semisphaeria tendebatur. Ibi enim deprehenditur aequisonantia, diapason ac bis diapason, et consonantiae simplices diapente ac diatessaron, et consonantiae compositae, diapason ac diapente, et diapason ac diatessaron et qui sunt emmelis soni, ut in toni differentia consistentes.
CAPUT XII. Quemadmodum Aristoxenus intervallum consideret. Quid vero de his Aristoxenus sentiat breviter aperiendum est. Ille enim quoniam minime tractatum rationi constituit, sed aurium judicio permittit, idcirco voces ipsas nullis numeris notat, ut earum colligat proportiones, sed earum in medio differentiam sumit, ut speculationem non in ipsis vocibus, sed in eo quod inter se differunt, collocet, nimis improvide, qui differentiam se scire arbitretur earum vocum, quarum magnitudinem nullam mensuramve constituat. Hic igitur et diatessaron consonantiam duorum tonorum ac semitonii esse proponit, et diapente trium tonorum ac semi onii, et diapason sex tonorum, quod fieri non posse superioribus voluminibus demonstratum est.
CAPUT XIII. Descriptio octochordi, qua ostenditur diapason consonantiam minorem esse sex tonis. Docet autem Ptolemaeus per cuju dam octochordi divisionem diapason intra sex tonos cadere hoc modo: intendantur enim octochordae, id est A B C D E F G H, fiatque sesquioctava A K ejus quae est B L, et B L ejus quae est C M, et C M ejus quae est D N, et D N ejus quae est E X, et E X ejus quae est F O, et F O ejus quae est G P. Erunt igitur sex toni. Rursus inter F O et G P H ducatur medius nervus ad R. Erit igitur A K dupla ab eo quod est H R. Pulsae igitur simul A K H R diapason aequisonantiam consonabunt. Si vero aliquis G P percutiat, semper erit paulo acutior quam est H R. Ac per hoc transcendunt sex toni diapason consonantiam. Si enim A K et G P diapason pulsati resonarent, tonorum sex esset diapason consonantia. Si vero his idem A K et G P non consonantibus A K et H R diapason consonarent, et H R acutior esset quam G P, diapason consonantia sex tonos excederet. Nunc vero quia consonantibus A K et H R eadem H K ab ea quae est G P gravior invenitur, non potest dubitari quin sex toni diapason consonantiam excedant. Atque ita sensu quoque potest colligi diapason consonantiam inter sex tonos cadere. Sic igitur Aristoxeni error sine dubitatione convincitur.
CAPUT XIV. Diatessaron consonantiam tetrachordo contineri. Nunc de tetrachordorum divisione dicendum est. Etenim diatessaron consonantia quatuor efficitur nervis; idcirco etiam diatessaron nuncupatur, ut igitur duobus nervis altrinsecus positis ad diatessaron symphoniam consonantibus tetrachordum fiat, duos necesse est statui in medio nervos, qui ad se invicem atque ad extremos tres proportiones efficiant.
CAPUT XV. Quomodo Aristoxenus vel tonum dividat, vel genera ejusque divisionis dispositio. Hoc igitur diatessaron Aristoxenus per genera tali ratione partitur. Dividit enim tonum in duas partes, atque id semitonium vocat. Dividit in tres partes, cujus tertiam diesin vocat chromatis mollis, dividit in 4, cujus quartam cum propria medietate, id est cum octava totius toni, appellat diesin chromatis hemiolii. Rursus solam quartam ejus vocat diesin enharmonios.
FIGURA GLAREANI. Semitonium, Toni medietas Semitonium
Omnium intervallorum quae in tono sunt secundum Aristoxenum divisio.
AD LECTOREM.
Minutas divisiones pingere non potuimus, care lector; nam Aristoxenus tonum in duodecim partes scindit. Diesis ergo enharmonios habebit tres; diesis autem chromatis mollis habebit quatuor, demum hemitonium sex; diesis vero chromatis hemioli quatuor et semis obtinebit. Quod si dupletur spatium, ut paulo post Boetius, erunt quae diximus intervalla omnia duplanda ob numeros commodiores, quod doctus facile videt. Vale.
Cum igi ur haec ita sint, cumque generum divisio secundum eum sit duplex, unum quidem genus est mollius; aliud vero incitatius. Et mollius quidem est enharmonium, incitatius vero diatonicum. Inter haec vero consistit chromaticum incitatione mollitieque participans; fiunt igitur secundum hunc ordinem differentiae permixtorum generum sex. Una quidem enharmonii, 3, autem chromatici, id est chromatici mollis, et chromatici hemiolii, et chromatici thoniaei. Duae vero reliquae diatonici, mollis atque incitati. Quorum omnium talis secundum Aristoxenum divisio est. Quoniam enim quarta pars toni diesis enharmonios nuncupari praedicta est, quoniamque Aristoxenus non voces ipsas inter se comparat, sed differentiam vocum intervallumque metitur, et secundum eum tonus est duodecim unitatum, hujus igitur erit pars quarta diesis enharmonios tres. Quoniam vero ex duobus tonis ac semitonio diatessaron consonantia jungitur, erit tota diatessaron ex his duodecim ac sex unitatibus constituta. Sed quoniam saepe fit ut si usque ad octavas velimus deducere partes, non in integros numeros, sed in aliquas particulas incurramus, idcirco quidem facienda est tota diatessaron consonantia 60. At vero 24 tonus, semitonium duodecim, pars quarta, quae diesis enharmonios dicitur, sex, octava autem tres; juncta vero octava cum quarta, sex scilicet cum tribus, ut faciat diesin chromatis hemiolii, erunt novem. His igitur ita constitutis, tria genera enharmonicum, chromaticum, diatonicum, has Aristoxeno videntur habere proprietates, ut alia eorum dicantur spissa, alia minime. Spissa sunt, quorum duae graviores proportiones: unam eam quae ad acutum apposita est magnitudine non vincunt. Non spissa vero quorum duae proportiones unam reliquam poterunt superare; est autem enharmonium et chromaticum spissum, diatonicum vero non spissum. Itaque enharmonium secundum Aristoxenum dividitur sic 6, 6, 48, ut inter gravem nervum ac prope gravem sit quarta pars toni, quae dicitur diesis enharmonios, cum sit tonus 24 unitatibus constitutus. Item secundum intervallum a gravi nervo ad tertium, sit eadem quarta pars toni. Reliqui vero qui restant ex sexaginta qui totius proportionis sunt inter tertium a gravi nervo atque acutissimum quartum ponuntur 48, et duae proportiones ad gravem positae, id est 6 ac 6, unam reliquam ad acutum locatam, id est 48, non vincunt. Chromatis vero mollis hanc facit divisionem 8, 8, 44, ut octo atque octo sint tertiae partes tonorum; est enim tonus (ut dictum est) 24 unitatum, et dicitur toni pars tertia diesis chromatis mollis. Item chromatis hemiolii diatessaron ita partitur, 9, 9, 42. Est autem diesis chromatis hemiolii pars octava toni cum quarta, id est ex 24 sex cum tribus. Item chromatis thoniaei talis secundum Aristoxenum partitio est, 12, 12, 36. Scilicet ut in duobus intervallis singula semitonia constituat, et quod reliquum est in ultimo. At ue in his omnibus duae proportiones, quae graviori nervo sunt proximae, reliquam quae ad acutum posita est, magnitudine minime superant, sunt enim (ut dictum est) spissorum generum. Spissa quippe genera sunt enharmonium atque chromaticum. Diatonica vero divisio ipsa quoque est duplex. Et mollis quidem diatonici divisio est hoc modo, 12, 18, 30, ut 12 semitonium sit, decem et octo semitonium, et quarta pars toni, 32 vero quod reliquum est. Quorum decem et octo et 12 efficiunt 30, nec superantur ab ea arte quae reliqua est. Item diatonici incitati talis partitio est, ut semitonium ac duos habeat integros tonos 12, 24, 24, ex quibus 24 et 12, id est 36, non superantur a reliqua parte quae ad acutum est, sed potius vincunt. Est igitur secundum Aristoxenum tetrachordorum praedicta partitio, quae subjecta descriptione monstratur.
GLAREANUS AD LECTOREM.
Nos totum negotium in tetrachordi hyperboleon ita (ut spero) declaravimus, ut facile lector consideret quid me Deus voluit elaborare. Multa tamen ex superioribus praesupponenda sunt, ut quomodo se divisio generum habeat, alioqui inutilis erit labor. Caetera, mi lector, tuae attentioni consideranda relinquo. Vale, et me ama. Id tamen volo te admoneri in applicatione graviores chordas vertisse ad majorem numerum, cum tamen hic numerus non sit chordarum, sed potius intervallorum. Ubi ergo nete diezeugmenon erat, ibi apte potuit poni nete hyperboleon. Attamen crede parum erroris esse. Nomina enim non omnino speculationem impediant.
CAPUT XVI. Quomodo Architas tetrachorda dividat eorumque descriptio. Architas vero cuncta in ratione constituens non modo sensum aurium in primis consonantiis observare neglexerit, verum etiam maxime in tetrachordorum divisione rationem secutus est. Sed ita, ut neque ea quam quaerebat efficaciter expediret, neque sensui proposita ab eo ratio consentiret. Ille enim tria esse genera arbitratur, enharmonium, chromaticum, diatonicum. In quibus eosdem gravissimos statuit atque acutissimos sonos, in omnibus quidem generibus gravissimos sonos faciens 2016, acutissimos vero 1512; inter hos in tribus generibus nervum gravissimo proximum collocat, eum scilicet qui sit 1944, ut ad eum 2016, sesquivicesimam septimam obtineant proportionem. Post haec vero infra acutum nervum, tertium vero a gravissimo eum collocat in enharmonio genere, qui sit 1890, ad quem 1944 sesquitricesima quinta proportione jungantur. Idemque 1890 ad acutissimum 1512 in sesquiquarta proportione sit constitutus. Item in diatonico genere tertium quidem a gravissimo nervo, secundum vero ab acutissimo eum ponit, qui sit 1701, ad quos 1944 sesquiseptima proportione conjuncti sunt. Ipsi autem 1701 ad acutissimum, 1512 sesquioctava. In chromatico vero genere tertium a gravissimo, et secundum ab acutissimo eum ponit, qui ad 1701, qui est tertius a gravissimo in diatonico genere eam obtineat proportionem quam obtinent 256 ad 243; hic autem est 1792, qui est secundus ab acutissimo appositus, habetque proportionem secundus ab acutissimo in diatonico genere, id est 1701 ad secundum ab acutissimo in chromatico genere, id est 1762 eam quam habent 243 ad 257, eorumque tetrachordorum, secundum Architae sententiam, divinorum formam monstrat subjecta descriptio.
CAPUT XVII. Quomadmodum Ptolemaeus et Aristoxeni et Architae tetrachordorum divisiones deprehendat. Sed utrasque tetrachordorum divisiones Ptolemaeus ita reprehendit. Architam quidem primo, quoniam secundus ab acutissimo nervus chromatico genere, id est 1792, ita est collocatus, ut nec ad acutissimum 1512, nec ad proximum graviori 1944, ullam superparticularem efficiat proportionem, cum Architas tantam superparticularibus comparationibus habuit dignitatem, ut eas etiam in consonantiarum ratione susceperit. Dehinc quod primam a gravissimo nervo proportionem in chromatico quidem majorem sensus deprehendat quam fecit Architas, hic namque in chromatico genere 1944 ad 2016 distare fecit sesquivicesimam septimam proportionem, cum secundum consuetam chromatici generis modulationem sesquivicesima prima esse debuerit. Item enharmonium genus ea proportio, quam primam a gravissimo secundum Architae retinet divisionem, talis est, ut longe minor esse debeat quam in caeteris generibus invenitur; hic autem aequam eam caeteris generibus statuit, dum primas a gravi proportione in tribus generibus sesquivicesimas septimas ponit. Aristoxenum vero culpat, quoniam in chromate molli et in chromate hemiolio tales posuerit primas secundasque a gravi nervo proportiones, quae a se a minimo et quantum sensus non possit internoscere distarent. Est quippe proportio prima in chromatis mollis, prima divisione secundum Aristoxenum octo, at in chromate hemiolio novem. Sed octo ad novem unitatis differentia distant. Est autem tonus totus 24 unitatibus secundum positionem vel propositionem quorum unitas 24 est. Primae igitur a gravi inter se proportiones chromatis mollis, et chromatis hemiolii 24 parte toni distant, quod propter brevitatem differentiae nullo modo sentit auditus. Idem etiam Aristoxenum reprehendit cur diatonici generis duas tantum fecerit divisiones, ut in molle incitatumque divideret, cum possint aliae quoque diatonici generis species inveniri.
CAPUT XVIII. Quemadmodum tetrachordorum divisionem fieri dicat oportere. Ptolemaeus tetrachorda diversa ratione partitur. Illud in principio statuens, ut inter duos altrinsecus sonos tales voculae aptentur, quae se superparticularibus proportionibus excedant, inaequalibus tamen, quoniam superparticularis proportio non potest in aequa dividi. Dehinc ut omnis comparatio, quae fit ad eum nervum qui est gravissimus, in tribus minor sit caeteris, quae acutis vocibus conjunguntur. Sed in his ea quae spissa nominamus talia esse debent, ut duae proportiones, quae gravitati sunt proximae, minores sint ea proportione quae relinquuntur ad acutum, in non spissis vero ut in diatonicis generibus nusquam una.