DE LINEIS ANGULIS ET FIGURIS SEU DE FRACTIONIBUS ET REFLEXIONIBUS RADIORUM
/59/ Utilitas considerationis linearum, angulorum et figurarum est maxima, quoniam impossibile est sciri naturalem philosophiam /60/ sine illis. Valent autem in toto uniuerso et partibus eius absolute. Valent etiam in proprietatibus relatis, sicut in motu recto et circulari. Valent quidem in actione et passione, et hoc siue sit in materiam siue in sensum; et hoc siue in sensum uisus, secundum quod occurrit, siue in alios sensus in quorum actione oportet addere alia super ea, quae faciunt uisum.
Cum igitur in aliis dictum est de eis quae pertinent ad totum uniuersum et partes eius absolute, et de his quae ad motum rectum et circularem consequuntur, nunc dicendum est de actione uniuersali, prout ipsa recipit naturam inferiorum; quae est subiectum susceptiuum diuersorum actuum, prout ad actionem in materiam mundi contingit descendere; possuntque aliqua in medium adduci, quae erudire possunt procedentem ad maiora. -- Omnes enim causae effectuum naturalium habent dari per lineas, angulos et figuras. Aliter enim impossibile est sciri "propter quid" in illis. Quod manifestum sic: Agens naturale multiplicat uirtutem suam a se usque in patiens, siue agat in sensum, siue in materiam. Quae uirtus aliquando uocatur species, aliquando similitudo, et idem est, quocunque modo uocetur; et idem immittet in sensum et idem in materiam, siue contrarium, ut calidum idem immittit in tactum et in frigidum. Non enim agit per deliberationem et electionem; et ideo uno modo agit, quicquid occurrat, siue sit sensus, siue sit aliud, siue animatum, siue inanimatum. Sed propter diuersitatem patientis diuersificantur effectus. In sensu enim ista uirtus recepta facit operationem spiritualem quodammodo et nobiliorem; in contrario, siue in materia, facit operationem materialem, sicut sol per eandem uirtutem in diuersis passis diuersos producit effectus. Constringit enim lutum et dissoluit glaciem.
Virtus igitur ab agente naturali aut ueniet super lineam breuiorem, et tunc magis est actiua, quia patiens minus distat ab agente, aut super lineam longiorem, et tunc minus est actiua, quia patiens magis distat. Sed siue sic, siue non sic: aut ueniet immediate a superficie agentis, aut mediate. Si immediate: aut per lineam rectam ueniet, aut per obliquam. Sed si per lineam rectam: tunc est actio fortior et melior, ut uult Aristoteles /61/ V Physicorum, quia natura operatur breuiori modo, quo potest. Sed linea recta omnium est breuissima, ut ibidem dicit.
Item, linea recta habet aequalitatem sine angulo; sed melius est aequale, quam inaequale, ut dicit Boethius in arismetica sua. Sed natura operatur breuiori et meliori modo, quo potest; quare melius operatur super lineam rectam.
Item, omnis uirtus unita est fortioris operationis. Sed maior unio et unitas est in linea recta quam in non recta, sicut dicitur in V Metaphysicae. Quare fortior erit operatio super lineam rectam.
Sed linea recta aut cadit ad angulos aequales, quae est perpendicularis, aut inaequales. Si ad angulos aequales, est operatio fortior propter tres rationes praedictas, quia illa linea est breuior et aequalis et uirtus uniformiter uenit per eam ad partes patientis.
Linea autem cadens ad angulos aequales super corpus aliquod cadit ad rectos, quando cadit super planum; quando super concauum, ad acutos; quando autem super sphaeram, ad maiores recto. Quod manifestum est, quia, si ducatur linea incidentiae transiens per medium sphaerae cum linea contingentiae, facit angulos rectos, et ex linea contingentiae cum sphaera causantur utrobique anguli contingentiae; quare linea cadens super sphaeram faciet angulos duos cum eius superficie, quorum uterque est maior recto, quia ualet angulum rectum et angulum contingentiae. -- Quando ergo cadit uirtus ad angulos non solum aequales, sed omnino rectos, tunc uidetur esse actio fortissima, quoniam omnino est aequalitas et uniformitas completa.
Si uero sit linea non recta, siue curua, tunc, cum non sit circularis, quia agens naturale, non facit uirtutem suam secundum circulum, sed secundum diametrum circuli propter breuitatem, manifestum est, quod talis linea habebit angulos. Et hoc non fiet, dum medium est unum, siue dum est unum corpus occurrens; sed oportet, quod sint duo, unde in primo multiplicatur /62/ uirtus super lineas rectas, in secundo super alias. -- Hoc autem non potest esse, nisi duobus modis: aut scilicet quod corpus patientis sit densum, ita ut impediat transitum uirtutis, praecipue quantum ad sensum nostrum -- et tunc dicitur linea reflexa, ideo quod redit uirtus -- aut corpus occurrens sit rarum, quod permittit transitum uirtutis. Si primo modo, tunc uirtus ueniens ad corpus densum aut cadit ad angulos aequales siue perpendiculariter, aut ad inaequales. Si primo modo, tunc redit in se per eandem uiam, per quam uenit. Cuius ratio est, quia qualem angulum constituit linea cadens super corpus, talem et tantum constituit linea reflexa. Et ideo oportet, quod ad eosdem angulos reflectatur, super quos cecidit et per eandem uiam redeat. Si enim rediret per alios angulos siue per aliam uiam declinando a dextris siue a sinistris, impossibile esset, quod ad aequalem angulum cum angulo incidentiae rediret; faceret enim maiorem uel minorem. -- Si uero cadit ad angulos inaequales, tunc redibit per talem uiam, qua possit facere angulum aequalem cum superficie corporis resistentis angulo incidentiae, scilicet illi, quem constituit linea incidens cum illo corpore propter rationem praedictam. Uniuersaliter enim angulus incidentiae et reflexionis facit angulos aequales, quod supponatur nunc.
Cum ergo his duobus modis fiat reflexio, intelligendum est, quod uirtus reflexa in se propter geminationem uirtutis in eodem loco fortior est, quam uirtus reflexa in aliam uiam. Attamen, quantum est de ratione reflexionis, debilior est actio, ubi est reflexio in eadem uia, quia, cum omnis reflexio debilitet uirtutem, illa tamen, quae facit declinare omnino uirtutem ab incessu recto, quem deberet habere, si per medium corporis transiret, magis debilitatur; et haec est, quae est in eadem uia, a qua uenit. Haec enim uia est omnino contraria et opposita incessui recto, quem deberet habere.
Quod si fiat reflexio a corporibus politis habentibtis naturam speculi, tunc est optima reflexio et fortior actio; cum uero a corporibus asperis, tunc dissipatur species et actio est debilis. Cuius causam assignat Commentator super tractatum de sono dicens, quod partes corporis politi et leuis superficiei propter suam aequalitatem et uniformitatem concurrunt omnes in /63/ unam actionem in reflexione speciei; et ideo tota integra, sicut uenit, reflectitur a corpore polito. -- Sed partes corporis asperi sunt inaequales et quae altior est, primo reflectit speciem; et ideo non concordant partes in unam actionem, et propter hoc dissipatur species in partes, et ideo non est bonae operationis.
Quando etiam est reflexio a corporibus concauis, maior est actio, quam a planis et conuexis, eo quod radii reflexi a superficie concaua concurrunt in unum; non autem sic de aliis.
Si uero corpus concurrens non impediat transitum uirtutis, tunc radius cadens ad angulos aequales siue perpendiculariter tenet incessum rectum et est fortissimus. -- Sed ille, qui cadit ad angulos inaequales, deuiat ab incessu recto, quem habuit in corpore priore et quem deberet adhuc habere, si esset medium uniforme. Et ista deuiatio uocatur fractio radii. Et haec est dupliciter: Quoniam si illud corpus secundum est densius primo, tunc radius frangitur ad dexteram et uadit inter incessum rectum et perpendicularem ducendam a loco fractionis super illud corpus secundum. Si uero sit corpus subtilius, tunc frangitur uersus sinistrum recedendo a perpendiculari ultra incessum rectum. -- Et cum haec sint ita, intelligendum est tunc, quod uirtus ueniens super lineam fractam fortior est, quam super reflexam, quia linea f'racta parum recedit ab incessu recto, qui est fortissimus, et reflexa linea multum recedit in oppositam partem, unde reflexio plus debilitat uirtutem quam fractio. -- De uirtute autem fracta dupliciter potest dici, quod uirtus fracta a dextris fortior est quam ista a sinistris, eo quod ista, quae frangitur a dextris, magis accedit ad incessum perpendicularem, siue loquamur de illa perpendiculari, quae ducitur a loco fractionis, siue ab agente, a cuius puncto eodem exeunt linea perpendicularis et linea fracta.
Praeter uero istas tres lineas essentiales est quarta accidentalis, super quam uenit uirtus accidentalis et debilis. Quae quidem uenit non ab agente immediate, sed a uirtute multiplicata secundum aliquam trium linearum dictarum; secundum quod a radio cadenti per fenestras uenit lumen accidentale ad omnes angulos domus. Ista autem uirtus est omnium debilissima, quoniam non ab agente exit immediate, sed a uirtute agentis fracta secundum lineam rectam, reflexam uel fractam. -- Haec igitur de lineis et angulis dicantur. /64/
De figuris autem duae species ad praesens considerandae sunt. Quarum una est necessaria propter multiplicationem uirtutis, scilicet sphaerica. Omne enim agens multiplicat suam uirtutem sphaerice, quoniam undique et in omnes diametros: sursum deorsum, ante retro, dextrorsum sinistrorsum. Quod patet per hoc, quod, qua ratione ab agente posito loco centri contingit protrahere lineam in unam partem, et in omnem secundum omnes differentias positionis; quapropter oportet, quod sphaerice. Ita dicit Commentator super secundum de anima. -- Item ubicunque ponatur sensus, potest sentire tale agens in distantia debita; sed non nisi per speciem siue uirtutem uenientem ab agente. Illa ergo uirtus undique multiplicatur.
Alia autem figura exigitur ad actionem naturalem, scilicet pyramdalis: quoniam si uirtus ueniat ab una parte agentis et terminetur ad aliam partem patientis et sic de omnibus, ita quod semper ueniat uirtus ab una parte agentis ad unam solam partem patientis, nunquam erit fortis actio siue bona. Sed completa est actio, quando ab omnibus punctis agentis siue a tota superficie eius ueniet uirtus agentis ad quemlibet punctum patientis. Hoc autem est impossibile, nisi sub figura pyramidali, quoniam uirtutes uenientes a singulis partibus agentis concurrunt in cono pyramidis et congregantur et ideo omnes fortiter possunt agere in partem patientis concurrentem. Possunt ergo infinitae pyramides exire ab una superficie agentis, quarum omnium una est basis, scilicet superficies agentis, et coni sunt tot, quot sunt pyramides, et cadunt in diuersa puncta medii seu patientis undique; et ad unam partem possunt infinitae exire, quarum una est breuior et alia longior. Sed illae, quae sunt aequalis longitudinis et breuitatis, non habent diuersitatem, quia aequaliter agunt, quantum est ex parte sua, licet uarietas possit esse a parte materiae recipientis.
Quando autem una est breuior alia, et exeunt ab eodem agente, pulchra est difficultas, utrum conus pyramidis breuioris magis agat in patiens? Et oportet ponere, quod pyramis breuior magis agat, quia conus eius minus distat a fonte suo, et ideo plus uirtutis ibi inuenitur, quam in pyramide longiori /65/ et ideo patiens a pyramide breuiori est magis coniunctus agenti et ideo fortius alteratur secundum uirtutem.
Praeterea si radii, qui sunt de corpore pyramidis breuioris, qui ueniunt a dextra parte, protrahantur ultra conum in continuum et directum, facient minores angulos cum radiis sinistris, qui sunt de corpore pyramidis, quam radii similes, qui sunt a parte pyramidis longioris, ut patet per 21um , primi geometriae Euclidis et etiam ad sensum. -- Et eodem modo est de radiis uenientibus a sinistra parte pyramidis, exeuntibus ultra conum in continuum et directum, qui magis coniunguntur cum radiis dextris, qui sunt de corpore pyramidis, quam consimiles faciunt a parte pyramidis longioris. -- Quapropter, cum omnis congregatio et unitio magis est actiua, conus pyramidis breuioris magis aget et etiam alterabit patiens quam longioris. Si tamen obiciatur rationabiliter, quod, cum a tota superficie agentis uenit uirtus ad conum pyramidis longioris, ubi uirtus magis congregatur, propter hoc quod conus ille magis est acutus quam in breuiori, et omnis uirtus unita est maioris operationis, atque addatur ad haec, quod radii pyramidis longioris magis sunt propinqui radiis perpendicularibus ductis ab extremitatibus diametri agentis, quare sunt fortiores, quia incessus perpendicularis est fortissimus: potest dici, quod istae rationes optime concludunt, quantum sufficiunt, et ideo procederent, nisi rationes fortiores essent in contrarium, quae praedictae sunt.
Explicit tractatus Lincolniensis de fractionibus et reflexionibus radiorum.