Migne Patrologia Latina Tomus 101
De cursu et saltu lunae (Alcuinus), J. P. Migne
355 MONITUM PRAEVIUM.
(0979B) Cl. Quercetanus inter Alcuini epistolas, sub numeris 25 et 26 duas chartas retulit, quas, cum nihil haberent (0979C)formae epistolaris, inde eximere et in hunc locum transferre, atque illis libellis adjungere placuit, qui similis essent argumenti, nimirum astronomici. De hisce chartis Alcuinus intelligendus videtur, in epistola 85 ad Carolum ita scribens: « Signorum vero partitiones per horas; et quomodo convenirent novem horae lunares quinque diebus solaribus memini me in alia vobis dirigere epistola. »
Scripsit vero Alcuinus ad eumdem sapientissimum regem plura, quibus scientiam astronomicam pro modulo sui temporis illustrare conatus est, quae plurimam partem, prout jam superius (Col. 847) notavimus, temporum hominumque lapsu perierunt. Hanc tamen jacturam evaserunt bini libelli de Saltu lunae et de Bissexto, qui cum chartula Calculationis de invenienda luna paschali etiamnum supersunt atque custodiuntur in bibliotheca Vaticana, quos inde accepi a viro eruditissimo, quem jam alibi laudavi, D. Petro Francisco Fogginio, ejusdem bibliothecae (0979D)ditissimae solertissimo custode. Exstant hi libelli ibidem inter mss. Reg. Suec. sub num. 226, fol. 18, et in cod. ms. Palatino, num. 1449, fol. 11 a tergo. Neque vero ullatenus dubito, libellos eosdem vere ad Alcuinum pertinere, cum quod illi tribuantur in illis codicibus perantiquis, tum quod ipse Alcuinus illos tanquam sui laboris partus indigitare videatur in epistolis 82 et 100. In priori ita loquitur: « Ut ad inquisita chartulae vestrae respondeam . . . . pauca de ratione multiplici saltus subjicere curabo. Primum ponam quod in doctorum didici libris. Secundo, quod ratione suadente investigare valui. Tertio, quod ex mathematica quondam audita meminisse potui disciplina. » Et paulo inferius: « Has vero lunaris saltus supputationes aliquas, [quas] in alterius chartulae [paginis] distincte notavi, ut praedixi, ex lectione paternorum sensuum scripsi; alias ex rationis conjectura investigavi; alias ex mathematicorum variis supputationibus collegi. »
(0980B)De Bissexto pariter paucis olim se ratiunculis tractare coepisse Alcuinus testatur in epist. 100, ubi etiam profitetur se ab illo sapientissimo rege « explorandas » (0980C)accepisse « chartulas calculationis lunaris vel bissextilis praeparationis, in quibus inveni, » inquit, « rationes diligentissime exquisitas, acutissime inventas, nobilissime prolatas: et quod mea olim devotio de Bissexto paucis inchoavit ratiunculis, vestra sagacissima indagatio copiose complevit. » Paucas hasce ratiunculas in tractatu quem hic ex ms. Vaticano et ad finem illius edimus, contineri eo minus dubitamus, quod a stylo Alcuini nihil abludat, et cum methodo computandi, quo in aliis usus est, apprime conveniat.
Haud displicebunt, reor, erudito lectori, quae quidam sodalium nostrorum in ambas commentatiunculas Alcuini de Saltu lunae et Bissexto observavit, et pro utriusque illustratione et correctione adjecit: « Attentus lector, inquit, id generatim advertet omnes Alcuini de Saltu lunae calculationes ad hoc tale problema reduci posse, quomodo, nempe dato incremento lunari diurno, vel menstruo, vel annuo, calculo (0980D)erui possit dies integra, quae saltus dicitur, elapso scilicet cyclo decennovenali. Vel vicissim. Id autem Alcuinus in diversis hypothesibus resolvit, nunc incrementum menstruum ponendo quatuor momentorum et duodecimae partis momenti, ac quingentesimae sexagesimae quartae partis momenti, id est atomi; nunc quatuor momentorum et quadraginta octo atomorum, etc.; modo incrementa supponendo in temporis, modo in ecclipticae partibus data. Hoc vero vel calculi variandi gratia, vel quod magis arridet, docendi causa fecisse censendus est. Ut enim eum in schola palatii astronomiam docuisse certum est, ita et pro diversa discipulorum capacitate diversas inire vias coactus erat.
« Non minori perspicuitate de Bissexto agit, ac problema, prout ibidem ab Alcuino proponitur, captu facillimum est. Duriores vero calculorum spinas Davidi suo hac in materie reservavit, ut videre est in epist. 83, quo cum et alias saepius fuliginosas (0981A)mathematicorum coquinas intravit, ut ipse scribit epist. 82, et colligi potest ex epistolis in proaemio citatis. Quanquam in priore tractatu de Bissexto non tam calculos quam multorum de hac re opiniones pertractet, quarum multae, ut legantur, dignissimae sunt. Manuscripta haec corrupta quidem sunt, ac scribarum oscitantia erroribus oppleta, at hoc ipsum est de quo Alcuinus vivus jam conquestus est in epistola 84, ad Carolum.
« Caeterum etsi paucos habeamus sub nomine Alcuini calculos, plurimos tamen jam editos esse, tecto nomine, vix non suspicor. Certe ii tres tractatus, quos Bridefertus Bedae scholiastes capiti 40 de temporum Ratione annexuit, et scribendi stylo et calculandi methodo Alcuinum 356 sapiunt. Simili fere suspicione quis duci posset, si ea, quae in Glossa apud Ven. Bedam sunt tom. II, pag. 83, contulerit cum iis quae Alcuinus ad Carolum epist. 83, et ea quae apud Bed. tom. cit., pag. 89 (Patrologiae (0981B)tomo XC) cum iis quae Alcuinus de Ratione lunae, et multa alia. »
Demum in alio quodam codice ms. Vaticano sub num. 1449 Albino magistro tribuitur Calculatio, quomodo reperiri possit, quo die mensis vel quota feria XIV luna Paschae occurrat per decem et novem annos. Scripta est, prout versus in fine additi testantur, ad quemdam comitem, cujus dignitatis plures Alcuinus amicos habuit, atque saepius epistolis honoravit. Exstat quidem eadem Calculatio in Operibus Ven. Bedae, tom. I, pag. 195, edit. Basileensis anni 1563, insertum libello de Argumentis lunae; et iterum tom. II, pag. 345 (Patrologiae tomo XC), assuta epistolae ad Wicrhedam presbyterum de Aequinoctio juxta Anatholium. Verum hanc Appendicem illius epistolae spuriam esse, atque a melioribus codd. mss. abesse agnoscunt ac testantur critici acutissimi Mabillonius, Franc. Chiffletius, Pagius, D. Ceillier et alii. Libellum vero de Argumentis lunae ad Ven. Bedam pertinere merito dubitatur, cum in catalogo (0981C)quem de suis operibus vir sanctus circa finem vitae confecit, non recenseatur. Igitur ex fide cod. ms. hanc calculationem Alcuino nostro potius quam Ven. Bedae attribuimus, ut pote scriptam anno 777, ut in contextu legitur, quando nimirum Ven. Beda diu vivere desiit.
Et ita demum finem capiunt beati Flacci Alcuini opuscula genuina, quae reperire potuimus, omnia, quae partim a viro cl. Andrea Quercetano primum collecta; et partim post illum ab aliis viris doctis detecta et vulgata, partim vero a nobis ex celeberrimis Italiae, Galliae, Germaniae et Angliae bibliothecis comparata fuerunt.
RATIO DE LUNA XV. Luna, verbi gratia, XV Kal. April. hora noctis prima intrat in Arietem; XIIII Kal. manet in Ariete, et VI horis XIII Kalendarum, et bisse, hoc est, duabus (0981D)partibus; sexta hora noctis ejusdem XIII egreditur de Ariete, et sunt horae LIIII et bisse unius horae, quod mansit in Ariete. Quo numero horarum semper utere per singula signa. Deinde intrat tertia parte horae septimae noctis in Taurum, hoc est, XIII Kal. April. Computa inde LIIII horas Tauro cum bisse suo; remanent ejusdem noctis, qua intravit in Taurum, trien et V horae, et XII horae sequentis diei. Junge his XXIIII horas XII Kal. April. quod sunt XLI, et adde his ex XI Kalendarum horas XII noctis, et primam horam diei sequentis, et trien aliud secundae horae diei, ut habeat Taurus bisse suum plenum ex trien, quo intravit luna, et ex eo, quo exivit de Tauro. Et (0982A)intrat hora secunda diei, inchoante bisse illius horae in Geminos, et remanent ibi XII [ Forte, X, scilicet numero rotundo ] horae diei XI Kalendarum. Adde his XXIIII horas de X Kalendarum, et sunt horae XXXIIII. Junge his de nono Kalendarum XX horas, ut possis pervenire ad LIV horas. Et pervenias [ Forte, pervenies] usque ad octavam plenam ipsius diei, quando exit de Geminis. Et habent haec tria signa CLXIII [ Forte, CLXII] horas, et alias duas, quae ex bisse trium signorum adgregatae sunt. Et fiunt horae trium signorum CLIV [ Forte, CLXIIII].
Die nono Kalendarum hora vigesima prima intrat in Cancrum, et habebis ipsius diei IIII horas. Has junge ad octavas et VII Kalendas, et habebis horas LII. His adde ex nocte VI Kalendarum duas horas ex (0982B)principio noctis, et bisse tertiae horae: et per hos IX dies luna percurrit IIII signa, additis duabus horis et bisse tertiae horae ex die decimo. Et intrat in Leonem tertia parte tertiae horae noctis VI Kalendarum Aprilium, et habebis ipsius diei XXI horam [ Forte, horas]. Adde his XXIIII ex V Kalendarum, et fiunt horae XLV. Adde et his IX horas ex IIII Kalendarum die, et fiunt horae LIIII. Adde et his trien decimae horae et intrat in Virginem inchoante bisse horae X noctis; et remanent XIIII horae de IIII Kal. Junge has ad III Kal. quae simul ductae fiunt XXXVIII. Adde his XVI ex pridie Kalendarum, id est, IIII hora [ Forte, horam diei plenam vel IIII horas diei plenas] diei plena. Et habent haec sex signa dies XIII, et horas XVI decimae quartae diei: horas vero omnes CCCXXVIII.
(0982C)Ingreditur vero Luna Librae signum quinta hora die decima quarta, quod est pridie Kal. April. ex qua die remanent horae VIII. Has octo junge ad horas diei Kalendarum Aprilium, et erunt XXXII. His adde horas XXII ex IIII Nonas, et fiunt horae LIIII. His adde et bisse horae vigesimae tertiae ejusdem diei, quo egreditur de Libra intrans in Scorpionem, inchoante trien ejusdem XXIIII [ Forte, XXIII] horae. Et remanet ibi una hora ex die IIII Nonarum. Adde hanc horam ad III et pridie Nonas, et 357 erunt horae XLIX. Tene ex Nonarum die ejusdem noctis V horas et habebis LIIII horas in Scorpione et trien VI horae noctis. Deinde in Sagittarium ingreditur inchoante bisse ejusdem VI horae noctis; et remanent ex Nonis April. XVIII horae. Has junge ad VIII Id. et erunt horae XLII. (0982D)Junge his ex VII Idus XII horas, et habebis LIIII horas, quibus Luna versatur in Sagittarium [ Forte, in Sagittario].
Ingreditur vero prima hora diei incipiente Capricornum, et remanent ibi ipsius diei, VII Idus, horae XII. Has junge ad VI Idus; et habebis horas XXXVI. His adde horas ex V Idus XVIII, quod est ejusdem diei hora VI. Adde et bisse horae septimae, quo completo exiet de Capricorno ingrediens in Aquarium inchoante trien horae VII, et remanent V horae ejusdem diei. Has adde ad IIII et III Idus; et habebis horas LIII. Adde his unam horam ex pridie Idus, et trien secundae horae noctis, quo exiet de Aquario, ingrediturque (0983A)in Pisces inchoante bisse horae secundae noctis pridie Id. April., et remanent de pridie Id. April. horae XXII. Has adde ad Idus, et erunt horae XLVI. His adde octo horas ex XVIII Kal. Maii, et habebis horas LIIII. His vero computatis invenies a XV Kal. April., unde crepidinem construximus hujus calculationis XXVII dies usque in XVIII Kal. Maii; in cujus diei noctem VIII horae decurrunt. In quibus XXVII diebus et VIII horis Luna XII signa pervolat; habentur horae XXVII dierum, quod sunt horae DCLVI, superadditis VIII horis.
Si vero vis ad XIII signum lunaris cursus pervenire, computa a IX hora noctis XVIII Kal., in quam horam XII signa pervenerunt. Computa inde LIIII horas et bisse; quarum habes XVI et XVIII Kal. Adde horas (0983B)sequentis diei, id est, XVII Kal. et fiunt horae XL, et habebis dies CCXV Kal. XXIX [ Forte, et habebis XVII Kal. dies XXIX]. Adde his XII horas trigesimae noctis, quae pervenit in XVI Kal. et habebis horas XIII signi plenas. In qua hora XII noctis plena pervenit ad coitum solis, in quo duas horas, ut aestimatur, versatur. Et videbis quod altera incensio semper erit post XII hor. Nam prima hujus supputationis regula a vespertina hora in Ariete incipiebat, et modo in matutinam horam diei pervenit secunda vice, Ariete peracto et Tauro incipiente.
Novem horas, ait Plinius, in luna pro quinque diebus computatis, id est, tantum itineris peragit luna in IX horis, quantum sol in quinque diebus. Signum habet unumquodque XXX partes: in unoquoque (0983C)signo luna versatur LIIII horis cum bisse suo. Partire LIIII horas in IX, et invenies sex novies. Item sol moratur in unoquoque signo XXX dies et X semis horae: Partire XXX per V, et invenies sex quinquies in XXX; et sextam partem signi cujuslibet sol peragit in V diebus, dum luna sextam partem signi in IX horis peragit: novem vero diebus CXX partes peragit; item IX diebus CXX, et item IX diebus CXX, quod sunt XXVII dies, per XXIIII horas, et partes CCCLX.
Videndum est, quomodo conveniant VIII horae, quae supersunt in luna, V diebus qui supersunt in sole, ut pervenire possit ad totius anni dies; non enim sol his V diebus absque zodiaco circulo currit. (0983D)An aliquid addendum sit in coelo CCCLX partibus; vel V dies dividendi sint per singulas partes; habent enim V dies CXX horas. An danda sit unicuique parti tertia pars horae, id est, trien unum; nec enim VIII horae lunaris cursus vacuae sunt, dum computata est in XXVII diebus, si unicuique diei additur tertia pars XIIII [ Forte, XXIIII] partis, ut possit legitimus numerus partium impleri, hoc est, ad CCCLX partes pervenire; sicut in vestra acutissima et bene exquisita supputatione invenimus agendum esse.
DE CURSU LUNAE. Luna quippe velocitate sui cursus pervolat unumquodque (0984A)signum II diebus, VI horis, ac bisse unius horae. Unumquodque vero signum habet XXX partes. Si ergo vis scire, quantum spatium luna moretur in una qualibet de XXX partibus, sume horas duorum dierum, quae sunt XLVIII. Adde his VI horas cum bisse, fiunt LIIII horae, quibus luna moratur in unoquoque signo. Has LIIII horas distribue unicuique parti per aequas portiones, dans videlicet singulis partibus singulas horas; et remanebunt tibi XXIIII horae. Has multiplica per punctos 358 ea lege, qua hora habeat quinque punctos, et fiunt puncti CXX. Hos partire per XXX, quatuor invenies; da unicuique parti punctos IIII, et remanebit bisse. Hoc partire per XL ostenta, quia plena hora L [ Forte, LX] habet ostenta, et bisse duae partes sunt unius horae; (0984B)ideo, ut dixi, XL ostenta efficiunt bisse unius horae. Da singula ostenta singulis partibus, et remanent X ostenta. Haec multiplica per tria, et fiunt XXX et videbis, quod luna in spatio unius horae et IIII punctorum et unius ostenti, et tertiae partis unius ostenti tantum cursus peragit, quantum sol in XXIIII horis et XXX et uno [ Forte, XX et uno] ostentis.
DE SALTU LUNAE. PROBLEMA PRIMUM.
De saltu lunae pauca dicamus. De hoc saltu lunae primum interrogandum est, ubi in Scriptura de saltu lunae commemoratur? Aut quare saltus dicitur; et in quo loco, et in quo die datarum in anno debet fieri? Et per quot annos saltus lunae praeparatur? Et (0984C)quomodo crescit, et quantus in unoquoque anno, et in unoquoque mense, diligentius investigandum est, et exemplis probandum
De saltu lunae Dionysius commemorat dicens: « Ultimus annus decennovenalis cycli epactas [ Ms., aepactas ita semper ], id est, adjectiones lunares XVIII tunc retinet [ Ms., retinens], primo anno non XI dies, ut in caeteris annis solet, sed XII dies accommodat. Et quia XXX dierum fine volvuntur, nulla epacta in principio ipsius cycli ponitur [ Al., nullae epactae . . . . ponuntur]. » Illum ergo diem XII, quem Dionysius adjicit super epactam XI, diem saltus sine dubio demonstrat; et propterea dicuntur in illo anno nullae epactae, quia non sunt congruae, sed superfluae sunt. Per X enim et VIII annos, XI epactae semper (0984D)additae videntur; in illo autem anno, in quo se saltus interserit, non XI sed XII epactae reperiuntur, verbi gratia, de XVIII in fine cycli decennovenalis non in XXVIIII ascendunt epactae, sed in XXX.
Qui sunt ergo, qui primum istum diem saltus invenerunt et addiderunt? Aegyptii sine dubio. Inde Dionysius dicit: A primo anno, qui non habet epactas lunares, hoc est, congruas pro eo, quod cum sint numeri decimi [ Leg., cum sint noni decimi] inferioris anni X et VIII epactae, addito etiam ab Aegyptiis uno die, fiunt XXX id est, luna mensis unius integra. Illum ergo unum diem, quem dicit Dionysius (0985A)ab Aegyptiis additum, diem saltus sine dubio demonstrat. Hic ergo saltus lunae, incrementum vel augmentum dicitur lunare, eo quod crescit per XVIII annos unus dies in luna. De quo etiam augmento lunari, hoc est, de die saltus Victorius ostendit dicens: « Post XVIIII annos Aegyptiorum more continuato ordine hoc augmentum lunare accrescit. »
Interrogandum est igitur, in quo loco hic saltus juxta latinos ponitur? Sine dubio in XV Decembris [ Leg., XV Kal. Decembris].
Deinde scire nos convenit, quomodo hic saltus secundum Latinos in epactis, quae currunt in XI Kal. Aprilis, ostenditur, et eo anno [ Forte, et quo anno] cycli invenitur? In XVI anno videlicet saltus secundum Latinos invenitur: verbi gratia, in illo anno (0985B)secundum Graecos XV sunt epactae in XI Kal. Aprilis. Et si contingat, ut die Dominica fiat illa epacta lunaris XV in XI Kal. April. secundum rationem Graecorum, et secundum traditionem Nicaeni concilii sacratissimum Pascha tunc celebratur: secundum Latinos autem non celebrant Pascha in XV luna, sed XVI. Et sic currunt epactae apud illos in illo anno de quarta luna in XVI, sicut in Victorio invenitur, saltus causa, quia non voluerunt Latini Pascha celebrare in illa epacta Lunae, in qua Christus passus est, hoc est luna [ Suppl., XV].
359 Quomodo ergo secundum Graecos saltus demonstratur, [et] in quo die datarum invenitur? Hoc est, XV Kal. Maii. Secundum Dionysium sic demonstratur. Nam quando dixit Dionysius: « Anno (0985C)primo decennovenali lunari XVII, a XV Kal. Maii usque ad Nonas Aprilis, quia communis annus est, fiunt dies CCCLIIII. » In illo loco et in illo die diem saltus posuit, hoc est, a XV Kal. Maii. Nam semper Dionysius a XV luna anni lunaris, sive communis sive embolismus [sit], usque ad XIIII lunam paschalem sequentis anni sic numerat. Iste ergo Dionysius XV Kalendas Maii, secundum traditionem angeli, qui Pachomio monacho divina revelatione monstravit, in termino Paschali XIIII lunam in fine totius cycli XV Kal. Maii posuit; sed tamen secundum rationem naturae XV [ Leg., XIIII, nam secundum epactas luna est XIIII, sed per saltum Dionysianum luna fit XV] luna invenitur. Pro hoc Dionysius secundum rationem saltus a XV Kal. Maii, hoc est, a XV luna primum annum (0985D)cycli decennovenalis incipit, et secundum traditionem angeli in XV Kal. Maii posuit terminum, et finem totius cycli in XV Kal. Maii XIIII luna. Item secundum Graecos in epactis dies saltus in XI Kal. April. demonstratur, quia tunc illo anno in principio cycli nullae epactae dicuntur, quia non sunt congruae, pro (0986A)eo quod superfluae sunt; tunc enim XII epactae additae inveniuntur de XVIII in XXXII [ Leg. XXX. Nam anno cycli ultimo epactae sunt XVIII et anno sequenti primo, sunt XXX, sive potius nullae]; addito etiam ab Aegyptiis uno die ad suas XI epactas.
Quomodo ergo in luna hic dies saltus demonstratur: et quomodo crescit in unaquaque lunatione? Per IIII momenta crescit in unoquoque mense, cautius et diligentius animadvertendum est. Sic demonstratur: Cum enim dicitur luna XXIX [ Ms., XVIIII] dies et semis, id est, XII horas in se habere, paulo minus junior in natura habetur, quam putatur; et ideo citior praevenit lunae incensio, antequam XXVIIII dies et semis, id est, XII horae plene finiantur. Certis enim momentis velocior est lunae exstinctio et incensio secundum (0986B)naturam, quam dicitur aut putatur secundum artem. Nam IIII momentis et duodecima parte momenti, et quingentesima quinquagesima decima quarta parte momenti, hoc est atomo, hoc augmentum lunare in fine uniuscujusque mensis lunaris accrescit, antequam finiatur duodecima hora dimidii diei, qui super XXVIIII dies est. Sic per XVIIII annos, id est, per XII communes et VII embolismos, qui habent menses lunares CCXXXV, ille unus dies XXIIII horarum, qui dicitur saltus, paulatim adcrescere solet, usque dum prima luna fiat completa in illa hora, qua putatur luna exstingui, aut incendi. Aut XV luna invenitur in illa die secundum naturam, quando dicitur XIIII luna secundum artem et secundum rationem epactarum, sicut diximus in XV Kal. Maii, in (0986C)quo die et decima quarta luna dicitur et decima quinta.
Si ergo nosse vis, quantum de hoc augmento lunari crescit in unoquoque anno per XVIIII annos; et quantum in unoquoque mense lunari per CCXXXV menses, diligentius animadverte, quod in omni anno communi crescit una hora et VIII momentis; X enim menses unam horam faciunt, si enim X quater vel quatuor decies multiplicaveris, XL momenta sunt, hoc est, una hora: et duo menses VIII momenta efficiunt; bis enim quatuor VIII momenta sunt. Sic in anno communi, qui habet XII menses lunares, una hora ad praeparationem saltus et VIII momenta crescunt. Sic per X et novem annos, quasi fuissent omnes communes (VII embolismis separatim dimissis, (0986D)de quibus postea dicemus) crescunt per XVIIII annos, XVIIII horae, hoc est, hora uniuscujusque anni: Item VIII momenta uniuscujusque anni; sic per XVIIII annos CLII momenta efficiuntur, hoc est, III horae et XXXII momenta: simul autem fiunt XXII orae et XXXII momenta. Colligamus ergo momenta de VII embolismis, quos (0987A)separatim dimisimus, hoc est, IIII momenta uniuscujusque mensis embolismi. Sic ex VII mensibus, hoc est, ex septem embolismis XXVIII [ Ms., XXIIII] momenta colliguntur; VII enim quater, vel quatuor septies ducti XXVIII momenta sunt. Mitte simul et XXXII momenta, quae antea habuisti, fiunt simul LX momenta, hoc est, una hora et dimidia. Mitte simul 360 et praedictum numerum horarum, quas antea habuisti, hoc est, XXII, fiunt XXIII horae et dimidia, hoc est, XX momenta. Si ergo per XVIIII annos, collectis IIII momentis uniuscujusque mensis, CCXXXV quater multiplicaveris, vel quatuor ducenties tricies quinquies ducti fuerint, DCCCCXL efficiuntur momenta. Si enim CC quater duxeris, DCCC fiunt; item XXX quater ducti CXX sunt, simul autem DCCCCXX sunt; (0987B)item V quater, XX fiunt, simul autem DCCCCXL momenta. Hos ergo si partiri volueris per quadragenos, hoc est, per horas integras, quia XL momenta unam horam faciunt, sic partiri debes. De DCCCC tolle novies XX, remanent VIIII octogeni, hoc est, XVIII quadrageni, qui habent horas XVIII. Item VIIII vigeni, in [quibus] bis LXXX [ Ms., in bis LXXXIII, mendose ] CLX sunt, hoc est, quatuor quadrageni [ Ms., XLIII, rursus mendose ] qui habent IIII horas; mitte simul et XVIII horas XXII fiunt; remanent XX [ Ms., remanent CXX] [momenta]. Mitte illa simul et XL momenta, quae ante habuisti super DCCCC, fiunt LX momenta. Dimitte XL, hoc est, unam horam; mitte super XXII, fiunt XXIII [horae,] et XX momenta remanent, hoc est, dimidia hora. Sic ergo per XVIIII annos, (0987C)sicut antea diximus, crescunt XXIII horae et dimidia: remanet dimidia hora, hoc est, XX momenta, quae efficitur et completur ex XII parte momenti cujusque mensis, qui sunt CCXXXV. Et ita in XII mensibus, hoc est, in uno anno communi unum momontum colligitur, et in XVIIII annis, quasi tot fuissent communes, seorsum VII embolismos deserentes, sic colliguntur XVIIII momenta, remanet unum momentum, quod colligitur ex VII embolismis et atomo uniuscujusque mensis. Ex mensibus enim embolismis VI, dimidium momentum colligitur, hoc est CCLXXXII [ Suppl. atomi]. Item ex septimo mense embolismo colligitur duodecima pars momenti, id est, XLVII atomi. Si enim dividas momentum in XII partes, (0987D)XLVII duodecies ducti, qui faciunt atomos DLXIIII. Tene tibi ergo XLVII atomos, quos diximus, ex septimo embolismo, id est, ex XII parte momenti; et collige atomum uniuscujusque mensis per CCXXXV; tot atomos colligis, id est, CCXXXV. Mitte simul et XLVII, fiunt CCLXXXII, hoc est, dimidium momentum. Collige et aliud dimidium momentum, quod habuisti ex VI mensibus embolismis, id est, CCLXXXII, simul fiunt DLXIIII atomi, qui faciunt unum momentum. Mitte ergo istud unum momentum ad illa XVIIII momenta, quae antea habuisti ex XII parte momenti uniuscujusque mensis; sic faciunt XX momenta, hoc est, dimidiam horam. Mitte istam dimidiam horam ad alteram dimidiam, quam habuisti super XXIII horas, (0988A)fiunt XXIIII horae, hoc est, unus dies lunaris, qui dicitur saltus, sive incrementum, vel augmentum. Si ergo scire volueris, quantum de hoc lunari augmento crescit in unoquoque mense? Hoc est, IIII momenta et duodecima pars momenti, et quadragesima septima pars duodecimae partis momenti, hoc est atomus crescit in unoquoque mense.
Interrogandum est igitur, cum dicitur luna accendi per XXVIIII dies et dimidium diei, hoc est in XII hora, sed non tota duodecimae finita (praecedit enim incensio ante IIII momenta de fine horae duodecimae quae causa saltum efficit). Illa ergo incensio diei quomodo intelligi potest, utrum in die, an in nocte luna accenditur? vel qua [hora], vel quo puncto, immo etiam momento luna accendi dicitur? et utrum subincensio, (0988B)vel media incensio, vel superincensio sit? Secundum aestimationem Hebraeorum luna dicitur accendi post mediam diem, hoc est, post VI horas et dimidiam horam septimae. Proinde Hebraei a media die initium diei sumunt, quia secundum lunam numerant, et in media die lunae aetas commutatur. Inde Anatholius Alexandrinus dicit: « Omnis dies in lunae computatione [ Ms., in luna computationem] non eodem numero, quo mane initiatur, ad vesperum finitur, quia dies, qui mane initiatur usque ad VI horam et dimidiam, XIII [ Fort. suppl., et] adnumeratur, eadem ad vesperum XIIII invenitur. » In hoc exemplo ostendit Anatholius, quod lunae aetas commutatur omni die post sextam horam diei in dimidia horae septimae; et sic putatur etiam in illa hora lunam (0988C)accendi. Sed tamen haec ratio secundum veritatem naturae quomodo probari potest, investigandum est. 361 Si enim luna XXX semper fuisset, aut etiam XXVIIII, fieri potuisset, ut in una hora, et in eodem puncto et momento, eodem diei tempore, quo primum facta est Luna, semper accenderetur finita trigesima, vel etiam vigesima nona. Sed cum XXVIIII dies et semis diei, hoc est, XII horas luna in se habere monstratur, illa diei medietas incensionem lunae mutabilem facit: et ideo, si media die lunae accensio dicatur, computa XXVIIII dies a media die incensionis lunae, usque ad mediam diem vigesimae nonae diei. Adde XII horas a media die usque ad mediam noctem, tunc in media nocte illa luna accenditur. (0988D)Non ergo unis eisdemque articulis temporum vel coeli climatibus lunae accensio celebratur, et ita naturaliter in unaquaque hora et in unoquoque momento, et in omni parte coeli, super terram et sub terra, annua revolutione immo etiam menstruo circulo luna accenditur.
Interrogandum est igitur, quot nomina habet hic saltus? Hoc est, quinque. Dicitur incrementum lunare; dicitur etiam augmentum lunare; dicitur mutatio lunaris; dicitur etiam una luna crescens per omnes annos; dicitur etiam saltus. Et hic saltus, sicut diximus, in quatuor locis ponitur. Juxta Victorium et Latinos in XV Kal. Decembris ponitur. Secundum Graecos in XI Kal. Aprilis luna, quae tunc (0989A)debuit fieri vigesima nona, fit trigesima propter saltum. Juxta Aegyptios in VI Kal. Octobris. Secundum Dionysium in XV Kal. Maii. In illa enim die decima quarta luna dicitur et decima quinta propter saltum. Hucusque de saltu lunae.
ARGUMENTUM DE SALTU LUNAE. PROBLEMA SECUNDUM.
Si scire volueris, quomodo dies lunaris, qui dicitur saltus, praeparatur [ Ms., Saltus praeparatus, facili errore ] et crescit per XVIIII annos, et quantum de hoc augmento lunari [ Ms., lunari, omitt. ] in unaquaque lunatione, hoc est, in unoquoque mense lunari per CCXXXV [menses] (tot enim menses sunt lunares in cyclo decennovenali) multiplica CCXXXV quater; (0989B)sive IIII ducenties tricies quinquies (quia IIII momenta in unoquoque mense crescunt; propterea omnes menses CCXXXV multiplicantur quater) qui faciunt DCCCCXL momenta. Hunc autem totum numerum per XL si partitus fueris, fiunt XXIII quadrageni et XX momenta, hoc est XXIII horae et dimidia. Illa autem altera dimidia hora, quae deesse videtur, si scire volueris, quomodo colligitur et quomodo crescit, sine dubio ita intelligitur: non solum enim IIII momenta in unoquoque mense de hoc augmento lunari crescunt, verum etiam duodecima pars momenti; insuper et atomus, id est, quingentesima sexagesima quarta pars momenti crescit in omni mense lunari: et sic in XII mensibus unum momentum colligitur. Interim illos atomos dimittentes, de quibus postea (0989C)dicemus; et item per XVIIII annos, quasi fuissent omnes communes, VII embolismos interim deserentes, crescunt XVIIII momenta. Unum autem momentum, quod deesse cernitur, colligitur ex VII mensibus embolismis [et atomo] uniuscujusque mensis. Ex VI enim mensibus embolismis dimidium momentum colligitur, in quo sunt atomi CCLXXXII; et aliud dimidium momenti colligitur ex septimo mense embolismo [ Ms., embolismi], hoc est, XII pars momenti, in qua parte sunt atomi XLVII. Collige ergo et atomos uniuscujusque mensis, qui sunt CCXXXV. Mitte simul cum XLVII, fiunt CCLXXXII, hoc est, aliud dimidium momentum. Mitte simul CC et CC, quatuor centeni sunt. Item LXXX et LXXX, CLX sunt; et II et II, IIII sunt, et ita simul DLXIIII atomi sunt, hoc est, unum (0989D)momentum, quod additum super XVIIII, XX momenta efficit, hoc est, alteram dimidiam horam. Mitte illam super XXIII horas et dimidiam, fiunt (0990A)XXIIII horae, hoc est, unus dies naturalis, qui dicitur saltus.
362 ITEM DE SALTU LUNAE. PROBLEMA TERTIUM.
Si vis scire de saltu lunae, quantum in unoquoque die et in unoquoque mense lunari, vel in uno anno communi, seu et circulo decennovenali, qui continet XVIIII annos, accrescit; diligentius animadvertendum est, quod in una die accrescunt LXXVI [ Ms., LXXVII] atomi: verbi gratia, si nosse volueris, quomodo colliguntur LXXVI atomi, sume IIII momenta et XLVIII atomos, quia tantum crescit in unoquoque mense lunari, quasi in cyclo decennovenali CCXXXV [ Leg., quales menses in cyclo . . . . sunt CCXXXV]. Et sic illa IIII momenta, et XLVIII [atomi] colliguntur, (0990B)qui simul [II]. CCCIIII atomi [sunt]. Hos divide per XXX partes, ut scire possis, quantum crescit in una die; sine dubio invenies in unaquaque parte LXXVI atomos, et supersunt XXIIII, quae non colliguntur in illa particula, quae . . . . . in quinto. Si enim collegeris XXIIII quinque dies [ Forte, quinquies], invenies CXX atomos. Iterum divide [in] XXX partes, et reperies in unaquaque parte IIII atomos, ut pleniter dicere possis, quantum crevit quinto die. Verbi gratia poni debet saltus lunae in XI Kal. Aprilis, secundum Graecos. . . . . . unus dies XXIIII horarum, plus quam reperis [aliis] annis: et ita X Kalendas Aprilis, hoc est, in exordio embolismi saltus conatus [ Forte, saltus causa] crescunt LXXVI atomi et . . . . . [ Fort. suppl., et quatuor particulae]. In secundo die CLII. In (0990C)tertio CCXXVIII. In quarto CCCIIII, et ita in quinto CCCLXXXIIII atomi. Illi IIII atomi sunt de illa particula remanentium supradictorum, et in X dies [diebus] colliguntur DCCLXIII [ Fort., DCCLXVIII]; et XX diebus [I] DXXXVI, qui faciunt II momenta, et CCCCVIII atomos, qui faciunt unum momentum et CCXIII atomos [ Leg., qui faciunt dimidium momentum et CXXVI atomos]: in XXX autem diebus colliguntur atomi II. CCCIIII, qui faciunt IIII momenta et XLVIII atomos interim supportantes: et ita in quinque mensibus colliguntur XX momenta, hoc est, dimidia hora; et in X mensibus colligitur una hora; et ita in centum mensibus colliguntur X horae, et in CC mensibus XX horae, seu et in XXXV mensibus colliguntur III horae et dimidia; in simul autem fiunt horae XXIII et dimidia. Illa dimidia (0990D)hora, quae deesse videtur, si nosse vis, quomodo colligitur per XVIIII annos, computa XLVIII per CCXXXV menses (tot menses sunt in cyclo decennovenali). Si (0991A)enim duxeris XLVIII ducenties tricies quinquies, simul fiunt atomi XI CCLXXX, qui faciunt XX momenta, hoc est, dimidiam horam. Mitte istam dimidiam horam super XXIII et dimidiam, fiunt XXIIII horae, hoc est, unus dies naturalis, qui dicitur saltus. [Continentur ergo in cyclo decennovenali dies, hoc est, [VI] DCCCCXXXVI, et horae [CLXVI] CCCCLXIIII .]
363 DE SALTU LUNAE. PROBLEMA QUARTUM.
Si vis intelligere saltum lunae, multiplica CCXXXV quater, faciunt DCCCCXL momenta, hoc est, XXIII horas et dimidiam. Illam dimidiam horam, quae deesse videtur, si vis intelligere, [multiplica] XLVIII atomos per CCXXXV menses, fiunt simul [XI] CCLXXX, qui faciunt (0991B)XX momenta, hoc est, dimidiam horam. Mitte ad supradictum numerum horarum, fiunt XXIIII horae. Hucusque de saltu.
DE SALTU LUNAE PER PARTES. PROBLEMA QUINTUM.
Si vis scire, quomodo saltus per partes crescat, hoc primum intelligere debes, quod XV partes unam horam faciunt. Multiplica XV per XXIIII, fiunt CCCLX. Hos partire per XVIIII, fiunt CCCXLII, quot faciunt decies octies XVIIII, et remanent [XVIII]. Da unicuique anno circuli decennovenalis XV partes, id est, unam horam, et remanent tibi omni anno III partes de illis XVIII partibus. Has multiplica per XVIIII: decies novies tria fiunt LVII, et remanent XVIII partes. Has junge ad LVII, in simul fiunt LXXV. Partire per XV, quia XV (0991C)partes unam horam faciunt, et invenies in LXXV quinquies XV, hoc est, V horas. Has junge ad XVIIII, fiunt XXIIII horae, et est unus dies integer per XVIIII annos, qui dicitur saltus.
DE SALTU LUNAE PER MINUTA. PROBLEMA SEXTUM.
Si vis scire, per minuta quomodo saltus crescat, scire debes, quod X minuta horam faciunt. Multiplica X per XXIIII vices, fiunt CCXL. Partire per XVIIII. Duodecies X et VIIII [seu duodecies novemdecim] faciunt CCXXVIII, et remanent XII. [Deinde scire debes, quod unum minutum IIII facit momenta]. Da unicuique anno X minuta, id est, horam integram, et remanent tibi minuta XXXVIII. His adde XII minuta, quae (0991D)tibi remanserunt ex priore calculatione, fiunt L minuta. Partire per X, quia X minuta horam faciunt, et L minuta V horas. Haec adde ad XVIII, et habebis XXIIII horas, hoc est, unum diem naturalem, qui dicitur saltus.
DE SALTU LUNAE PER MOMENTA. PROBLEMA SEPTIMUM.
(0992A) Si vis scire diem saltus, quomodo per XVIIII annos in momentis accrescat, computa momenta unius horae, id est, XL. Multiplica XL per XXIIII, et fiunt DCCCCLX. [Partire] per XVIIII, et invenies in DCCCCLX, decies novies L, et remanent X. Tene per singulos annos L momenta, et habebis unam horam et X momenta [vel] da unicuique anno per XVIIII annos XL, id est, unam horam, remanent tibi X momenta singulis annis cycli decennovenalis. Hos multiplica per XVIIII. Decies novies X fiunt CXC. Adde X momenta, quae tibi superfuerunt in priore supputatione, fiunt CC. Hos partire per XLIIII, faciunt bis LXXX, quod sunt IIII horae. XX et XX, quae supersunt, faciunt (0992B)XL. Et est una hora; et has V horas adde ad XVIIII horas, fiunt XXIIII horae; et est dies integer, qui in XVIIII annis per momenta accrescit.
364 ITEM DE SALTU LUNAE. PROBLEMA OCTAVUM.
Si vis scire, ad proprietatem lunaris saltus pervenire, ut intelligas, secundum mathematicos, quo circulo [ F., quo calculo vel computo] per X et VIIII annos subtrahantur unus dies cursus lunae, magis tibi attendendum est ad coeli signa et partes singulorum signorum, quam ad horam alicujus diei, hoc modo:
Igitur dies est, quod sol itineris per . . . . . in uno die [ Forte suppl. peragit. Partes enim in uno die, etc. ] (0992C)in circulo zodiaco dicuntur in divisione siderum, sicut nos dicimus dies in divisione annorum; quia diurnus per XXIIII horarum [ F., horas] cursus lunaris unus est dies anni, et una est pars coeli percurrentis [ F., percurrenda aut percurrendi], et per XVIIII annos una pars talis in diminutionem cursus proveniet. Et si quaerere velis quomodo vel qualiter illa diminutio unius partis per singulas solaris cursus [ F., per singulos solares cursus] in coelo partes habet, atque per X et VIIII annos sol in cursu suo CCXXVIII menses habet. Divide illam unam partem solaris cursus per CCXXVIII menses, et ducentesima vigesima octava pars unius partis peragitur.
Et si velis ad septimanas [ Ms., septemanas semper ] pervenire, computa septimanas XVIIII annorum; (0992D)sunt enim LII unius anni. Multiplica L per XVIIII, fiunt DCCCCL, remanent tibi duae hebdomadae, quae singulis annis supersunt ex L. Multiplica has per X et VIIII annos fiunt hebdomadae XXXVIII. Has adde ad DCCCCL, fiunt DCCCCLXXXVIII, et adhuc remanent X et (0993A)VIIII dies, qui faciunt hebdomadas duas, et remanent quinque dies. Adde has duas septimanas ad priorem computum, fiunt septimanae DCCCCXCI, et remanent duo dies et horae XVIII. Una hebdomada accrescit in diminutionem saltus, nongentesima nonagesima prima pars unius partis solaris cursus, insuper et trien nongentesimae nonagesimae primae partis pars.
Si vero ad dies velis pervenire, et scire desideras quanta sit per singulos dies unius diminutionis ratio, computa dies XVIIII annorum, qui sunt [VI] DCCCCXXXVII, et hujus numeri dierum decennovenalis cycli pars singulis diebus ad diminutionem illius unius partis [accrescit].
Et si ad constellationem mathematicorum pervenire quis curet, computet horas X et VIIII annorum, (0993B)et secundum numerum horarum dividat illam unam partem solaris cursus in uno die, et ibi erit tunc constellatio mathematica falsa, siquidem ratione inventa, sed diligenti inquisitione perscrutata. Et tamen, ut dixi, illa diminutio illius unius partis in numero horarum invenitur, in quo horae sunt per X et VIIII annos. Nam XVIIII anni habent horas [CLXVIII] et quadragies quinquagies. Quarta pars CCCLIIII centies sexagies octies. Millesima pars unius partis solaris cursus in una detrahitur illa unius solaris partis, et cursus per diem in zodiaco circulo, sicut saepe diximus, ad diminutionem unius diei plus per XVIIII solet transilire in lunae cursu, quem diem calculatores saltum nominare voluerunt.
(0993C)Et ne alicui falsum videri debeat, quod in tantas divisiones partiri possit una pars zodiaci, cogitet magnitudinem solis, ut ferunt, quia major est terra; ex magnitudine enim solis conjecturam faciat latitudinum uniuscujusque partis per sidera singula, et in se reversus magis miretur opus Dei, quam suo innitatur sensu.
365 INCIPIT DE BISSEXTO.
De bissexto primum nobis interrogandum est, quare dicitur bissextus? aut quid efficit Bissextum? aut de quali materia efficitur? et unde primum coepit? et quantum de illo crescit in unoquoque anno, et quantum in unoquoque die, et in unoquoque mense? et in quo loco et in qua die datarum ponitur iste bissextus? (0993D)et quis primus invenit bissextum?
Bissextus ergo propterea dicitur propter bis sextas Kalendas nominatas; sic enim dicitur sexto Kalendas (0994A)hodie et sexto Kalendas cras. Vel propterea dicitur, id est bis sextas sexies, sextas autem duas horas significat. Duae ergo horae bis, quatuor sunt; item IIII sexies ducti XXIIII horae sunt, propterea dicitur bissextus, quia bis sextas sexies; nam sextas ideo dicitur, qui [ F., quia] sexta pars assis est, hoc est, duae unciae, si in ponderibus interpretantur, aut duas horas significat.
Quid ergo efficit bissextum? hoc est tarditas cursus solis; inde Augustinus dicit: « Breviore autem et vulgari ratione, bissextum retardatio generat solis, non ad eamdem lineam coeli per CCCLXV dies plene redeuntis, a qua recurrit; verbi gratia in aequinoctio vernali, quod juxta Aegyptios XI [ Beda, XII] Kal. Aprilis die pervenit [ Beda, provenit] solem surgentem (0994B)a medio orientis, si diligenter adnotaveris, hunc anno sequenti, die videlicet eodem, aliquantulum inferius oriri reperies, nisi quadrantem adjicias, XI [ Suppl. Kal.] Aprilis aequinoctium facturus. Eamdem tarditatem in caeteris quoque annis servat. »
Unde ergo bissextus efficitur? sine dubio ex quatuor quadrantibus, sicut legitur: Bissextus ex quadrantis ratione per quadriennium conficitur, dum sol ad id signum, ex quo egressus est, post CCCLXV dies et quarta parte diei sero adjecta revertitur.
Iste ergo bissextilis dies quot horas habet? et utrum in die tantum est, an in nocte? an etiam continet diem et noctem? et illae quadrans, ex quo nascitur iste bissextilis dies, utrum artificialis an naturalis? (0994C)Alii putant, quod iste dies bissextilis XII horas habuisset, at caeteri dies artificialis [ F. leg. ut . . . artificiales], inde legitur: « Bissextus est, per annos IIII unus dies adjectus; crescit enim per singulos annos quarta pars assis, ac ubi quarto anno assem compleverit, bissextilem annum facit. Dictus enim bissextus, quia bis sexies ductus assim facit, quod est unus dies. Quando ergo dixit, quartam partem assis in uno quoque anno crescere, tres horas ostendit; scimus enim quia assis XII uncias habet, quae significant XII horas, quarta autem pars est XII horarum tres horae, et sic efficitur bissextilis dies artificialiter ex tribus horis uniuscujusque anni per annos quatuor; tres enim quater ducta XII horas efficiunt; et hoc volunt probare per horas totius anni (0994D)divisas per VII partes, et quod superfuerit, dicunt, quod est quadrans, qui efficit bissextilem diem, et hoc dicunt, quod ex ratione Graecorum provenit. Dividamus ergo horas totius anni, ut sciamus, quid (0995A)remaneat super septem partes; scimus enim, quod in toto anno horae sunt [VIII] DCCLX, has ergo dividamus per VII partes, quasi per numerum septem dierum, qui multiplicantur per totum annum, hoc est LII septimanae, et unus dies; dimitte ergo VII; quia VII partes sunt, hoc est VII millies, remanent tibi in DCCLX [ Leg. [I] DCCLX], dimitte DCC, quia septem partes sunt; hoc est centies septem, remanent LX: dimitte DC [ L. remanent I LX: dimitte DCC], sicut antea diximus, remanent CCCLX: dimitte CCLXXX; quia bis septem vigeni sunt, remanent tibi LXXX: dimitte LXIII, quia VIIII septeni sunt, remanent XVII: dimitte XIIII, quia bis septem sunt, remanent III. Illas ergo III horas, quae remanent super divisiones horarum totius anni, dicunt esse quadrantem (0995B)artificialem, et sic ex quatuor quadrantibus per IIII annos unum diem bissextilem, qui habet XII horas; tres enim quater ducti, XII horas efficiunt. Sed tamen haec ratio suprascripta apud auctores reprobatur. In quadrante enim non dicunt tres horas esse, sed VI et illum diem bissextilem non dicunt esse XII horarum, 366 sed XXIIII, quomodo ergo [ F. subaud. fieri] potuisset, ut ille dies bissextilis XX [ F. XXIIII] horarum esset sine nocte? Inde Augustinus (De Temp., n. 8) dicit de hoc quadrante et de illa die bissextili: « IIII quadrantes faciunt unum diem, quem necesse est intercalari ex cursu [ Aug., ex curso] quadriennio, quem diem bissextilem vocant, ne temporum ordo turbetur. Ipse autem quadrans VI horas habet; totus enim dies [ Aug., addit: id est] (0995C)cum sua nocte XXIIII horae sunt, quarum pars quarta, qui est quadrans diei, sex horae inveniuntur. »
Hic ergo quadrans unde primum processit, et unde habet auctoritatem, interrogandum est. Hic ergo quadrans fuit a principio saeculi, ex quo factae sunt creaturae. De hoc quadrante Hieronymus exposuit in tractatu primi testimonii Genesis, ubi legitur: In principio fecit Deus coelum et terram (Gen. I, 1). Hieronymus ergo dixit. De hoc principio multi tractaverunt, sed hoc principium ego exopinor, de quo Andromachus historiographus Judaeorum aliis pervigile scribens illum quadrantem mediatum noctis XI, quia in media nocte factus est mundus, et in media nocte iterum destruetur.
Quomodo ergo hic quadrans cognoscitur, utrum (0995D)in die sit, an in nocte interrogandum est, aut variabilis sit, et per diem et per noctem? « Sol enim coeli ambitum [ Beda addit annuum] per XII signa circuli zodiaci non CCCLXV diebus cursum suum perficit, sed superadditis VI horis adimplere cursum suum cognoscitur; unde fit ut si, verbi gratia, nocte aequinoctiali [ Bed., nunc aequinoctialem] coeli locum mane oriens sol intraverit » in principio anni, in hunc locum aequinoctialem, anno sequenti non mane oriente sole illum annum terminat, sed sequenti meridie, et sic secundus annus finem vespere habebit; in tertio autem anno media nocte, in quarto anno (0996A)iterum in exordio diei sol in loco eodem atque in eodem signo apparebit. Sic ergo fuit in principio mundi ille quadrans a media nocte aequinoctiali usque ad mane, illi autem III dies sequentes, id est, XI Kal. Aprilis, X Kal. April., VIIII Kal. Aprilis, dicunt quod aequales fuerint, sed sine numero horarum inter dies et noctes, quasi LII [ F. III] dies fuissent aequinoctiales, antequam sol fuisset creatus, ante solis enim creationem primitivae lucis circuitu agebatur, quod nunc per solem agitur. « Nam praecedens triduum, ut omnibus visum est, absque ullis horarum dimensionibus, ut puta nec dum factis sideribus, aequali lance lux est [ Bed., aequali lance lumen tenebrasque pandebat], pallidum diem et tenebras pandebat. Haec autem ratio ex auctoritate Graecorum (0996B)confirmatur. Legitur enim in epistola Maurini episcopi Alexandrini de his tribus diebus in principio mundi, antequam essent luminaria. Hinc ipse dixit, eadem longitudo facta est ex potentia Dei tribus primis diebus, factis in principio mundi, sed sol addidit cursum dierum, quando illuxit in mundo: quarto die luna e contrario dempsit cursum noctium, sic ergo tradunt auctores, sicut etiam in Genesi legitur, quod quarta die sol et luna facta sunt, hoc est, in VIII Kal. Aprilis in medio orientis sol ortus est. Ille ergo annus ab ortu solis usque ad ortum solis cursum suum plenum non habuit usque ad VI horas additas, hoc est, unum quadrantem; et tunc habuit finem ille primus annus media die; anno sequenti vespere, additis VI horis, id est, secundus (0996C)quadrans; et sic tertius media nocte, aliis VI additis, id est, tertio quadrante; et in IIII anno, iterum VI horis additis, hoc est, quarto quadrante a solis ortu habuit cursum suum finitum; et sic discurrit per totum tempus ab initio usque ad finem; aliquando enim finem totius anni media die facit; aliquando vespere; aliquando media nocte; aliquando oriente sole. »
Si autem scire volueris, in quo loco est iste quadrans anno praesenti, scias quot anni sunt a principio mundi, verbi gratia, VI XXIII. Hos divide per quatuor partes, quia post IIII annos semper pervenit ille quadrans naturalis in illum locum, ubi fuit ab initio, hoc est in media die; dimitte ergo, [IIII] quia (0996D)quatuor partes aequales sunt, remanent [II] XXIII; dimitte [I] DC, quia XVI [ Ms., XV, mendose ] centeni sunt, remanent CCCCXXIII. Dimitte CCCXC [ L. CCCXX], quia quatuor octogeni sunt, remanent CIII; dimitte LXXX, quia vigies quaternis sunt, remanent XXIII; dimitte XX, quia [ Suppl. quinquies] quaterni sunt, remanent III; tunc in media nocte ille annus finitur.
367 Hic ergo quadrans, quem diximus, in quo loco in anno, et in qua die mensis positus invenitur? Scire nos oportet, secundum Graecos in aequinoctio vernali, hoc est, in XII Kal. Aprilis, sed in fine illius diei positus dicitur. Sed quomodo fuit ab (0997A)initio, quando dicunt, quod in illo quadrante noctis, quando primum mundus factus est, propterea ille quadrans, de quo nascitur bissextilis dies, in illo loco naturaliter in fine anni poni debet. Principium ergo anni secundum Graecos XI Kal. Aprilis est, finis autem XII Kal. Aprilis. Secundum Anatholium Alexandrinum episcopum Laudatiae [ F. Laodiciae] iste quadrans in VIII Kal. Aprilis positus invenitur, quia illa die, ut tradunt auctores, sol et luna duo luminaria facta sunt, propterea VIII Kal. Aprilis initium anni, et initium cycli decennovenalis secundum Anatholium dicitur: « Est ergo in primo anno initium primi mensis, quod est XVIIII annorum circuli principium, secundum Aegyptios quidem mensis Famenoth XXVI die, secundum Macedones (0997B)vero XXV die, id est, VIII Kal. Aprilis, in qua die invenitur sol non solum conscendisse primam partem, verum etiam et quadrantem in ea die habere, id est, in prima parte ex XII partibus. Haec prima particula ex XII partibus vernale est aequinoctium, et ipse [ F. ipsa] est initium mensium et caput circuli, et absolutio cursus stellarum, quae planetae, id est, vagae dicuntur, ac finis XII particulae et totius circuli terminus. Manifesta ergo ratione Anatholius demonstrat istum quadrantem in aequinoctium vernale, quod est VIII Kal. Aprilis secundum Latinos, sed tamen in fine VIIII Kal. Aprilis debet fieri, hoc est, in fine anni secundum Latinos, quia propterea Latini initium anni faciunt ab VIIII Kal. Aprilis, eo quod illa die luminaria facta sunt sol et luna, et sic (0997C)finis anni est VIIII Kal. Aprilis; et propterea concurrentes solis et bissextilis dies in VIIII Kal. April. positi inveniuntur. »
Interrogandum est ergo, iste quadrans, de quo bissextus nascitur, in quot locis anni positus dicitur? in V locis, secundum Graecos in aequinoctio, hoc est, in XII Kal. Aprilis; secundum Anatholium in VIIII Kal. Aprilis. sed in fine illius diei, hoc est, inter VIIII et VIII Kal. Aprilis, sicut diximus; secundum Isidorum bissextus dies dicitur in VI Nonas Martii, ut propterea Bissextus diceretur, quasi bis VI Nonas, id est VI Nonas hodie, et VI Nonas cras. Inde Isidorus dicit: « Bissextilis dies a VI Nonas Martii usque in diem pridie Kalendarum Januariarum cursui lunae opponitur [ Beda, in lunae cursu apponitur]. » Secundum (0997D)Aegyptios autem bissextus in IIII Kalendas semper [Septembris] ponitur, hoc est, in fine anni secundum Aegyptios. Aegyptii enim principium anni III Kalendas Septembris habent; secundum Romanos autem, et secundum auctoritatem Julii Caesaris bissextus in VI Kal. Martii ponitur, inde in Macrobio legitur: « Julius Caesar statuit ut IIII anno sacerdotes qui curabant mensibus et diebus, unum intercalarent (0998A)diem, eo scilicet mense ac loco, quo etiam apud veteres menses intercalabantur [ Beda, mensis intercalabatur], id est, ante ultimos [ Beda, ante quinque ultimos] dies Februarii mensis, idque bissextum censuit nominandum. »
In hoc exemplo apparet quod Julius Caesar primus bissextum diem nominavit, et propterea bissextus in VI Kal. Martii ponitur secundum Romanos, quia Romani veteres principium anni habuerunt a Martio mense, finis autem anni est in Februario mense, id est, in VI Kal. Martii. Illi autem V dies qui supersunt, intercalares dies apud antiquos erant, sicut modo apud Aegyptios sunt a VIIII Kal. Septembris usque in IIII Kalendas Septembris. De hoc etiam die bissextili Chorus [ F. Horus] Aegyptiorum tradidit dicens: (0998B)« Inserendus est hic dies, antequam quintus annus incipiat. » Quo exemplo manifeste colligitur quod in fine anni bissextilis dies poni debet, cum dixit: antequam quintus incipiat.
Deinde scire nos oportet quantum de hoc quadrante in unaquaque die per totum annum, et quantum in unoquoque mense crescit. In unoquoque die crescunt duae partes momenti, et sic in tribus diebus duo momenta crescunt, et in VI diebus IIII momenta, in XII diebus VIII momenta, in XIIII [ F. XXIV] diebus XVI momenta, et ita in XXX diebus et in X horis crescunt XX momenta, hoc est, dimidia hora, et sic in tribus mensibus trigenis, hoc est, in XC diebus et uno die et VI horis crescit hora et dimidia. In sex autem mensibus trigenis, hoc est, in binis nonagenis, (0998C)et II diebus et XII horis crescunt III horae. Similiter et in aliis mensibus trigenis, quasi fuissent tot trigeni et duobus diebus et XII horis, crescunt aliae tres horae, et sic crescunt sex horae quadrantis, hoc est, quarta pars diei naturalis crescit per XII menses, id est, per unumquemque annum de IIII annis, et sic quatuor annis completis, et quatuor quadrantibus collectis in fine quarti anni, antequam quintus incipiat, bissextilis dies pervenit. Hucusque de bissexto
ITEM ALIUD ARGUMENTUM DE BISSEXTO.
Si nosse vis quomodo ille quadrans naturalis [ Suppl. VI] horarum, qui per totum annum crescit, quantum de eo in unoquoque die et tum in unoquoque (0998D)mense crescere intelligitur, ita animadvertere, et investigare diligenter debes. Si enim dicunt [ F. Sic enim dicuntur] et investigantur, quod duae tertiae partes momenti in omni die colliguntur, et ita in tribus diebus II momenta, in VI diebus IIII, in XII VIII, in XXIIII XVI, in XXX autem diebus, et in X horis XX momenta colliguntur, id est, dimidia hora. Et sic in tribus mensibus trigenis et una die et VI horis (0999A)colliguntur hora una et dimidia, id est, LX momenta. In VI autem mensibus, et duobus diebus, et XI horae [ F. XII horis] colliguntur CXX momenta, hoc est III horae in augmento, et incremento lucis, per dies CLXXXII et XII 368 horas; et ita simili ratione, et investigatione aliae III horae, [ F. suppl. unde] quadrans naturalis efficitur, et [et videtur redundare ] colliguntur in augmento, et incremento noctis, et tenebrarum a solstitio aestivo usque ad solstitium hiemale per medium annum, hoc est, per VI menses (quasi fuissent omnes aequales trigeni), et duos dies, et XII horas; et ita in unoquoque die duae partes momenti, in XXX diebus et X horis XX momenta. In CX [ Leg. XC] diebus, et in uno die et VI horis colliguntur LX momenta, hoc est hora, et dimidia; et (0999B)sic in CLXXX, et duobus diebus, et XII horis aliae III horae in augmento noctis colliguntur, et ita per totum annum quadrans naturalis VI horarum accrescere videtur. Tres horae in augmento luminis a solstitio hiemali usque ad solstitium aestivum. Et aliae III horae in augmento noctis a solstitio aestivo usque ad solstitium hiemale. Et ita VI horae fiunt, quae supersunt, et remanent de cursu solis usque dum pervenit ad eamdem lineam, et ad eumdem locum coeli, ex quo egressus est, et ambitum zodiaci circuli per CCCLXV dies et VI horas. Hucusque de bissexto pauca diximus.
CALCULATIO ALBINI MAGISTRI. Quomodo possit reperiri quo die mensis vel quota feria XIIII luna Paschae occurrat per decem et novem annos.
(0999C) Martius habet regulares XXXVI, et in finem VIIII [ Beda, et minores IIII]. Aprilis habet regulares XXXV, et in finem VII [ Beda, et minores VII].
Primo anno circuli decennovenalis XXX est luna in XI Kal. Aprilis; eodemque anno luna XIIII quinto die Kalendarum Aprilis, id est, Nonas Aprilis. Junge V ad XXX, et sume pro regularibus mensis Aprilis eo anno, quo XIIII luna in mensem Aprilem incurrit. Eo vero anno, quo mense Martio XIIII luna incurrit, trade Martio regulares XXXVI. Ex epactis utique facillime agnoscis, utrum in Martium an Aprilem XIIII luna eveniat. Si enim plus XV aut minus V epactis habes, Aprilio [ Apud Bedam Aprili] XIIII luna computatur, (0999D)si vero plus V et minus XV epactis habes, Martio XIIII luna deputatur. Tene ergo regulares in Aprilio XXXV, et subtrahe epactas semper ejus anni, et quod remanserit, ipsa est dies XIIII lunae: ut puta; tertio anno circuli decennovenalis, XII erunt epactae; tolle XXII de XXXV, et remanent XIII: tertia decima die mensis Aprilis, id est, Idus Aprilis XIIII luna occurrit. Si vero feriam quaeras quartae decimae lunae, adde concurrentes anni illius numero, qui relictus est, ut puta istis XIII, qui in praesenti sunt: In Aprilio quoque VII regulares: haec omnia collige, et post (1000A)divide per septinarium, et quod remanserit, ipsa est feria lunae XIIII, et sic facillime ad diem Dominicum pervenies. Mense autem Martio tene regulares XXXVI, subtrahe epactas anni illius, verbi gratia, secundo anno circuli decennovenalis XI, fiunt XXV. Vicesima quinta die mensis ejusdem XIIII luna aderit, id est, VIII Kal. Aprilis. Si vero feriam ejusdem diei requiras, adde numero praescripto concurrentes anni illius et regulares IIII in Martio. Hisque in unum collectis, partitoque per septenarium, et quod remanserit, ipse est dies lunae XIIII, si nihil remanserit, VII feria est. Igitur si detractis epactis, XXX remanent, tamen quodcunque superest, ipse est dies mensis, in quo quartam decimam lunam reperies. Ut eo anno, quo IIII epactae fiunt, absume IIII de (1000B)XXXV, et remanent XXXI; tolle XXX et remanet I. Prima die mensis XIIII luna occurrit, id est, Kalendis Aprilis. Si vero deductis epactis, XXX tantum remanent, trigesima die mensis XIIII luna evenit, quod semel intra XVIIII accidit annos, quando VI epactae ascribuntur, et in III Kal. Aprilis XIIII luna provenit. Ut te exemplis ad inveniendam instruam feriam, qua XIIII luna occurrat, ut puta anno praesenti Dominicae incarnationis 776, sume epactas hujus anni XXVI, detractisque eisdem de XXXV regularibus, et remanent VIIII et ecce nona die mensis XIIII luna erit, id est, V Idus Aprilis; junge etiam concurrentes anni praesentis, id est I ad VIIII et fiunt X. His adde VII, et fiunt XVII, hos partire per VII; bis septem XIIII et remanent III, tertia feria erit (1000C)luna XIIII; quarta, XV; quinta, XVI; sexta, XVII; septima, XVIII; prima, XVIIII, qui est dies Paschae, videlicet quarta decima [ Beda, V Idus Aprilis] luna; IIII Idus quinta; III Idus sexta decima; II Idus septima decima; Idus XVIII [ Beda, XV] XVIII Kal. Maias nona decima.
Secundo anno post hunc, VII [ Subint. sunt epactae] quia plus V sunt et minus XV, ad Martium pertinet XIIII luna, quam sic requires: sume regulares Martii mensis XXXVI, detrahe ab eis VII. et remanent XXVIIII, vicesima nona die mensis Martii, id est, IIII Kal. Aprilis quarta decima luna tibi occurrit. Ad inveniendam feriam sume easdem XXVIIII, et adde eis concurrentes anni illius, id est II, fiunt XXXI: in (1000D)his quoque adjice regulares IIII, et erit omnis summa XXXV; partire per VII et VII: quinquies enim VII fiunt XXXV, et nihil remanet, quia septima feria erit luna quarta decima, IIII Kal. Aprilis: et quinta III Kal. Aprilis ipse est dies Dominicus Paschae. Etiam sic per singulos circuli decennovenalis annos semper his regularibus, et hac ratione annuis epactarum detractis diebus, decimam quartam sine errore reperies lunam et illis regularibus cum currente numero praescripto junctis, feriam quoque decimae quartae lunae sine scrupulo investigabis, et sic computatis (1001A)feriis quae supersint septimanae illius, lunae quoque aetatem crescentis singulis appone diebus, et tunc simul locum lunae et aetatem citissime invenies. (1002A)Haec, dilecte comes, proprio argumenta labore Descripsi tibimet, tu dic quo munere mecum Certares hodie, do talia dum tibi fessus.