De Nuptiis Philologiae et Mercurii/VII

LIBER VII

Saeculo V

Liber VII recensere

De arithmetica

[725]

Postquam conticuit prudens Permensio terrae, Innuba sollertes curam quae instigat in artes sic abacum perstare iubet, sic tegmine glauco pandere puluereum formarum ductibus aequor. Altera tunc etiam gerularum accire iubetur germanam doctae mundum quae admensa sororis, nec mora digreditur. Tune rursus dia Voluptas ipsius aetheria Cylleni immurmurat aure: «Cum doctas superis admirandasque puellas approbat Armipotens, tu optati lentus amoris gaudia longa trahis captumque eludis honorem? Seria marcentem stupidant commenta maritum? Talia compiacila spectat fastidia uirgo, nec te cura tori, nec te puer ambit herilis, nec mea mella rapis? Quaenam haec hymeneia lex est? In Veneris sacro Pallas cibi uindicat usum; quam melius thalamo dulcis Petulantia feruet! Casta maritalem reprimit Tritonia mentem et nuptae non aequa uenit; poscenda Dione est, conueniensque tibi potius celebrare Priapum.»

[726]

His Atlantiades auditis licet risum inhibere uix posset, ne infacetus tamen et impar lepidulis haberetur, hilaro susurramine sic respondit:

«Licet urgeas, Voluptas, thalamos inire suadens, tamen exeret peritas breuis ambitus puellas; demumque nec iugalis cessator intricatus tardabo fulcra lecti, et si quid illa nostrae Veneris feret uoluptas, nec uobis abnegabo. Furtis modo allubescat et clam roseta paruae liliaque det papillae, ne nunc sensus iugalis feralis tactura morsum et uulsa fellis atro laceros trahat capillos.»

[727]

Quo dicto renidens et plus solito laetior Voluptas ad Venerem regressa cuncta eius auribus intimauit. Quae deliciosa mollitie et interrumpente genas rubore paene prodidit susurrata, tuncque marcidulis decenter paeta luminibus Maiugenam conspicata quodam aspectu promittentis illexit, quam Saturnia de propinquo uelut deprehendentis castigabat obtutibus.

[728]

Quae dum geruntur, Paedia, quae egressa dudum, cum alia femina miri decoris ingreditur, cui quaedam maiestas nobilissimae uetustatis et ipsius Tonantis natalibus ortuque praecelsior uultus ipsius lumine renidebat. Quae etiam miraculis quibusdam capitis reuerenda uidebatur; nam primo a fronte uno sed uix intelligibili radio candicabat, ex quo item alter erumpens quadam ex primo linea defluebat; dehinc tertius et quartus, tuncque etiam nonus decuriatusque primus honorum reuerendumque uerticem duplis triplisque uarietatibus circulabant. Sed innumerabili radios multitudine prorumpentes in unum denuo tenuatos miris quibusdam defectibus contrahebat.

[729]

Huius autem multiplicem plurimiformemque uestem quoddam uelamen, quo totius naturae opera tegebantur, abdiderat. Digiti uero uirginis recursantes et quadam incomprehensae mobilitatis scaturrigine uermiculati. Quae mox ingressa septingentos decem et septem numeros complicatis in eos digitis Iouem salutabunda subrexit. Tum Philosophia, ut Tritonidam propter astabat, quid numero tali Arithmetica intulisset exquirit. Cui Pallas: «Proprio», inquit, «Iouem nomine salutauit.» Ac tunc illi radius qui primus emerserat colliniatae lucis nitore porrecto ipsius Iouis uerticem luminauit. Quibus miraculis radiorum innumera repente multitudine prorumpente nonnulli tellustres siluicolaeque diui Herculem conspicati opinantes eam hydreo germine pullulare. Ac tunc oborto terrigenis mussantibus murmure, puer ille piceus iussus admonere silentium. Verum feminam Pythagoras, ut inter sapientes astabat, usque abacum consecutus, idemque iam artem promere cupienti quandam lactei luminis facem officioso consistens munere praeferebat. Tum illa, antequam iuberetur quid apportet expromere, sic exorsa:

[730]

«Non ignota caelo nec rebus mundanis ignorata quas genui, adueni super uestrum quidem nihil dedignata concilium, quamuis singulos uos uniuersosque recenseam ex meis ramalibus germinari; tuque potissimum, quem principalis ante cunctos procreauit emissio, tuae singularis primigeniaeque naturae fontem, Iuppiter, recognosce. Nec despicabilem uestrum omnium matrem Mercuriale quod habeo me faxit officium, cum prosapiam arcanae sortis originisque primordialem uobis studeam comprobare. Quae cum in terris exerceor, astrorum populus recognoscat honorandam suae multitudinis genetricem.

[731]

Prae cunctis igitur affata sacra monas esto, quam ante cuncta uibrantem sociati postmodum numeri principia docuerunt. Quae si species est accidens cuilibet extantium primo priusque est quod numerat quam illud numerandum, rite eam ante ipsum quem principem dixere ueneramur. Nec dissimulabo ex eo quod monas retractantibus unum solum ipsam esse ab eaque cetera procreari omniumque numerorum solam seminarium esse solamque mensuram et incrementorum causam statumque detrimentorum. Quae tamen ubique pars est, ubique totum, dum per cuncta perpetua; neque enim quae est ante extantia et quae post absumpta non absconditur potest non esse perpetua. Hanc igitur patrem omnium Iouem rite esse nominatam, quod quidem idealis illius intellectualisque speciei uis causativa testatur. Ad cuius exemplum unum deum, unum mundum unumque solem singularemque lunam, elementa etiam IIII quae extant singula memorari. Licet Aristoteles, unus e sectatoribus meis, ex eo quod unum solum ipsa sit et se quaeri semper uelit Cupidinem asserat nominatam, quod se cupiat, siquidem ultra nihil habeat, et expers totius elationis aut copulae in se proprios detorquet ardores, hanc quoque alii Concordiam, hanc Pietatem Amicitiamque dixere, quod ita nectatur ut non secetur in partes, tamen rectius Iuppiter nuncupatur, quod sit idem caput ac pater deorum.

[732]

Denique cum unum facta in quodcumque defluxerit, licet eius linea insecabilis ac sine latitudinis significatione fundatur, dyadem tamen facit. Quae dyas, quod sit prima procreatio, a nonnullis Genesis dicta. Quod autem inter eam ac monadem prima coniunctio est consortiumque consimile, Iuno perhibetur, uel coniunx uel germana praecedentis. Est autem medietatis capax; nam bona malaque participat. Eadem Discordia ex qua aduersa oriuntur, utpote quae prima poterit ab adhaerente separali. In bonis uero eadem Iustitia, quod duobus aequis gaudeat pariter ponderatis; eademque Societas, quod uinculum quo media conectantur habeatur utrimque commune. Ab hac numerus auspicatur, et est opinabilis corporatio motusque primi probamentum. Elementorum etiam mater (nam de dyade quartus elementorum numerus procreatur) primaque forma paritatis est.

[733]

Trias uero princeps imparium numerus perfectusque censendus. Nam prior initium, medium finemque sortitur et centrum medietatis ad initium finemque interstitiorum aequalitate componit. Denique Fata Gratiarumque germanitas et quaedam uirgo, quam dicunt «caeloque Ereboque potentem», huic numero colligatur. Ex eo etiam perfectus quod perfectos gignit senarium nouenariumque. Cuius auspicio preces tertio ac libamina repetuntur. Tres symphonias continet harmonia, id est diapason, hemiolion, diatessaron. In tria se spatia temporis cursus altemat, ideoque tribus diuinatio memoratur. Idem mundana perfectio est; nam monadem fabricatori deo, dyadem materiae procreanti, triadem idealibus formis consequenter aptamus. Animam uero rationis et iracundiae cupiditatisque distribuere trigario.

[734]

Quid tetradem dicam? In qua soliditatis certa perfectio; nam ex longitudine ‹et latitudine› ac profunditate componitur, decasque plena his quattuor numeris gradatim implicitis integratur, id est uno, duobus, tribus, quattuor. Item hecatontas a decade quaternario cumulatur, id est decem, uiginti, triginta, quadraginta, qui sunt centum. Et item a centum quattuor numeri reddunt mille, id est centum, ducenti, trecenti, quadringenti. Sic decem milia ceteraque excrementa complentur. Quid, quod quattuor anni tempora frontesque caeli elementorumque principia esse non dubium est, hominum etiam quattuor aetates, quattuor uitia quattuorque uirtutes? Hic numerus quadratus ipsi Cyllenio deputatur, quod quadratus deus solus habeatur.

[735]

Sequitur pentas, qui numerus mundo est attributus; nam si ex quattuor elementis ipse sub alia forma quintus, pentade est rationabiliter insignitus. Qui quidem permixtione naturali copulatur; nam constat ex utroque ‹utriusque› sexus numero: trias quippe uirilis est, dyas femineus aestimatur. Apocatastaticus etiam dicitur, et siue cum aliis imparibus siue cum suo genere sociatus se semper ostendit. Nam quinque per quinque habes uiginti quinque et quinquies terni quindecim, et quinquies septeni triginta quinque, et quinquies noueni quadraginta quinque. Item zonae terrae quinque, in homine sensus quinque, totidemque habitatorum mundi genera, ut homines quadrupedesque, reptantes, natantes, uolantes. Hunc numerum quis neget esse diametrum? Nam decadis perfectio circulusque huius hemisphaerio edissecatur.

[736]

Senarium uero perfectum analogicumque esse quis dubitet, cum suis partibus impleatur? Nam et sextam sui intra se continet, quod est unus, et tertiam, quod duo, et medietatem, quod tres. Item naturalia officia, sine quibus esse nihil potest, sunt sex: magnitudo, color, figura, interuallum, status, motus. Item motus totidem differentiae sunt; nam mouemur prorsum retrorsumue, dextra laeuaque, sursum deorsumque. Nam ille aeternus quidam motus est circuli. Hic autem numerus Veneri est attributus, quod ex utriusque sexus commixtione conficitur, id est ex triade, qui mas quod impar est numerus habetur, et dyade, quae femina paritate; nam bis terni sexis facit. Solida etiam figura quadrati sex superficies habet. Totius harmoniae toni sunt sex, id est quinque toni et duo hemitonia.

[737]

Idem per primum motum, hoc est dyadem, collatus duodecim facit, inter quos duos numeros duo medii inueniuntur, hoc est octo et nouem. Quorum unus ex meo nomine regulaque censetur (nam arithmeticus memoratur), id est nouenarius; eodem enim numero superatur a duodecim quo nouenarius superat senarium, id est tribus. Alius autem numerus, id est octo, musica ratione confertur. Ea enim parte superatur a duodecim qua ipse superat sextum, id est tertia; nam sexti tertia duo sunt, duodecimi tertia quattuor. Quod geometrica ratione componitur; ea enim possunt per collationem media, id est octo per nouem, quae extrema, id est sex per duodecim; nam utrumque facit septuaginta duo. Item et in maioribus numeris media extremorum rationibus componuntur sub praedicta senaria ratione. Nam sexies septuages dipondius facit quadringenta tries dipondius; similiter octies septuages dipondius quingenta LXXVI. Item nouies LXXII facit sescentos XLVIII; similiter duodecies facit octingentos LXIIII. Quae media inter se multiplicata reddunt numeros extremorum inter se conuenientium. Hic primus numerus, id est senarius, harmonias ostenditur genuisse; quippe sex ad duodecim est symphonia diapason, sex ad nouem hemiolios, sex ad octo epitritos, id est symphonia diatessaron. Vnde Venus Harmoniae mater perhibetur. Item hic senarius quadrato et solido quaternario sociatus horas diei noctisque dimetitur; nam quater seni XXIIII facit.

[738]

Quid autem te, heptas, uenerandam commemorem? Quae, quod naturae opera sine feturarum contagione conformas, inter deos Tritoniae uirginis uocabulum possedisti. Namque omnes numeri intra decadem positi aut gignunt alios ‹aut gignuntur ab allis aut simul gignunt alios ab› aliisque gignuntur aut procreantur; ‹monas, dyas, trias, pentas, alios procreant, non procreantur;› hexas, ogdoas, ‹enneas,› generantur tantummodo, tetras autem et creat et creatur, at heptas, quod nihil gignit, eo uirgo perhibetur, sed quod nullo nascitur, hinc Minerua est, et quod ex numeris tam masculinis quam femininis constet, Pallas uirago est appellata. Nam ex tribus et quattuor septem fiunt, qui numerus formas lunae complectitur. Nam primo est corniculata, quam menoidem Graeci uocant, deinde medilunia, quam dichotomon, dehinc dimidiata maior, quae dicitur amphicyrtos, mox plena, quae dicitur pleroselenos; item tres formas praedictas deficiens repetit. Hic numerus lunae mensem significat; nam unum, duo, tria, quattuor, quinque, sex, septem uiginti octo faciunt. Item septem sunt circuli et tot planetae, ‹totidem stellae in uertice axis caelestis,› tot dies totque transfusiones elementorum. Nam ex informi materie primus ignis, ex igni aer, ex aere aqua, ex aqua terra; item fit ascensio, et ex terra aqua est, ex aqua aer, ex aere ignis; ex igni in materiem incomprehensam iam non poterit perueniri.

[739]

Quid? Hominum natura nonne huic probatur numero deseruire? In principio septimani partus hominem absolutum perfectumque dimittunt. Dehinc idem homo septem meatus habet in capite sensibus praeparatos , duos oculos auresque et nares totidem et os unum. Dehinc paruulis mense septimo dentes emergunt ac septimo anno mutantur. Item secunda hebdomas pubertatem mouet gignendique possibilitatem, tertia florem genarum; quarta incrementa staturae finiuntur; quinta iuuenalis aetatis plena perfectio est. Septem etiam natura abstrusit membra uitalia: linguam, cor, pulmonem, lienem, iecur et duo renes. Item septem corporis partes hominem perficiunt: caput tenus imum collum, pectus, uenter, duae manus pedesque :[; totidem stellae in uertice axis caelestis].

[740]

At octonarius numerus primus cybus est et perfectus, Vulcano dicatus. Nam ex primo motu, id est dyade, quae Iuno est, constat. Nam dyas per dyadem facit tetradem; at bis facit ogdoadem. Perfectus item quod a senario tegitur; omnis enim cybus sex superficies habet; item ex imparibus consecutis impletur. Nam primus imparium trias, secundus pentas; ambo ogdoadem faciunt. Item cybum qui a triade uenit, id est XXVII, sequentes impares reddunt, id est heptas, enneas et undecimus, qui omnes faciunt XXVII. Item tertius cybus, qui a tetrade uenit, id est LXIIII (nam quater quatemi sedecim sunt, hoc quater LXIIII), fit et hic ex imparibus quattuor qui superioressequuntur; id est, XIII, XV, XVII, XVIIII fiunt simul LXIIII. Et sic omnes cybi per imparium incrementa inueniuntur sui dumtaxat numeri. Sane hic octonarius cybus ita omnium cyborum primus est ut monas omnium numerorum. Cybus autem omnis etiam Matri deum tribuitur; nam ideo Cybebe nominatur.

[741]

Enneas quoque perfecta est et perfectior dicitur quoniam ex triade perfecta forma eius multiplicata perficitur; deinde, quod primi uersus finem tenet, et ideo Mars appellata, a quo finis omnium rerum. Quadratus quoque finis est eorum quae per collationem augentur. Nam et harmoniae ultima pars est; ad enneadem enim ab ogdoade collatio percussionis tonus efficitur. Non minus nouem Musas dixere. In mundo etiam nouem sunt zonae, id est sphaerae et deorum septem et terrae.

[742]

Decas uero ultra omnes habenda, quae omnes numeros diuersae uirtutis ac perfectionis intra se habet. Quae licet primi uersus finis sit, secundi monadis implet auxilium. Haec primi uersus numerorum regulas, analogias, genera, species, differentias, perfectiones et imperfecta concludit, daturque Iano, quamuis eam plurimi apocatastasin memorarint.

[743]

Dictum breuiter qui numerus primum uersum facit, quos deorum contineat quasque uirtutes. Iam nunc quid ipse numerus sit quasue inter se analogias seruet et formas breuiter intimabo. Numerus est congregatio monadum uel a monade ueniens multitudo atque in monadem desinens. Sunt autem numeri simplicis regulae quattuor. Prima est quae appellatur a paribus par, secunda a paribus impar, tenia ab imparibus par, quarta ab imparibus impar, quas inferius memorabo.

[744]

Sunt etiam qui primi numeri appellantur, qui a nullo numero diuidi possunt nisi a monade tantum; non diuidi, sed componi uidentur, ut puta VII, XI, XIII, XVII et cetera similia; nullus enim eos numerus diuidere uno ordine potest. Quapropter primi appellantur, quoniam a nullo numero exoriuntur nec aequis portionibus discernuntur. A semet igitur nati alios ex se creant numeros, quoniam ab imparibus paria fiunt, a paribus impar fieri nullo modo potest. Ergo et primi numeri necessario habendi pulchrique.

[745]

Sed omnes numeros primi uersus sub his regulis retractemus: monas quidem numerus non est; dyas par est; trias et ordine et uirtute primus; tetras a paribus par; pentas primus; hexas a paribus impar et ab imparibus par, unde et perfectus nominatur; heptas primus; ogdoas a paribus par; enneas ab imparibus impar; decas ab imparibus par. Sicuti in primo uersu, ita et in sequentibus hae regulae colliguntur. Primus igitur uersus est a monade usque ad enneadem, secundus a decade usque ad nonaginta, tertius uero ab hecatontade usque ad nongentos, quartus, qui et ultimus, a mille usque ad nouem milia, licet nonnulli Graeci etiam myria adiecisse uideantur.

[746]

Mihi uero solus numerus approbatur qui digitis coercetur; alias quaedam bracchiorum contorta saltatio sit. Quo fit ut numeros germanae praecedentis formis ac lineis concinamus. Nam mihi in primo uersu monas, illi in signo principium, quod non habet partes; in secundo uersu a decem numeri ueluti linea distenduntur; in tertio uersu quadrati ex centum reliquisque fiunt, quae uelut latitudo primae longitudini sociatur; in quarto uersu iam cybi sunt; ideo ex mille reliquisque soliditas. Fines ergo uel limites mihi sunt monas, decas, hecatontas et mille, Geometriae uero nota, linea, figura, soliditas. Nam monas ita indiuidua est ut nota; decas in numeris ut linea longitudinis solius; hecatontas quadratus, qui est superficies et in longitudinem latitudinemque diuiditur; id est decussis per decussim fit centum quadratus, hoc per decem fit cybus mille.

[747]

Omnis impar progressus a monade per singulas positiones necessario quadratos efficit: primam ipsam monadem; adde triadem: fecit quattuor, primum quadratum; associatis quinque fecisti secundum quadratum VIIII; iunge septem, implesti quadratum XVI; adicis item VIIII, et perficis quadratum XXV. Eodem modo progreditur ratio usque in infinitum. Sed ad superius diuisa regrediar: omnem numerum aut parem aut imparem esse et utroque finiri; quicquid numero adiciatur finito, finitum adici, neque ex finitis infinitum fieri posse.

[748]

Omnis uero numerus aut par aut impar est. Par est qui in duas aequas partes diuiditur, ut II, IIII, VI; impar, qui in duas aequas partes diuidi non potest, ut III, V, VII. Deinde ex imparibus quidam ex impari tantum impares sunt, ut III, V, VII; quidam etiam multitudine constant, ut VIIII, XV, XXI, quos περισσάκις περισσούς Graeci appellant. At in his qui pares sunt plura discrimina sunt, ‹:[...]› an pares sint et dici possint. Ceteri uel ex paribus pares uel ex imparibus pares; et illos Graeci ἀρτιάκις ἀρτίους, ‹hos› uel περισσάκις ἀρτίους uel ἀρτιάκις περισσούς nominant.

[749]

Pares ex paribus sunt IIII, quia ex bis binis, octo, quia ex bis quaternis constat; pares ex imparibus et qui parium impari multiplicatione fiunt, ut ter bini sex sunt aut quinquies quaterni XX, quod genus Graeci περισσάκις ἀρτιον uocant, et hi qui imparem numerorum multitudinem pari multiplicatione consummant, ut cum bis terni sexis, et quater quini XX fiunt, quod genus ἀρτιάκις περισσόν Graeci uocant. Qui numeri quamuis idem sunt, rationes tamen increscendi diuersas recipiunt. Atque ex his ipsis quidam in duas partes diuisi protinus in impares numeros recidunt, quidam semel saepiusue per pares replicati citra singularitatem in impares resoluuntur. Nam duodecim et uiginti semel per pares diuidi possunt; at XLVIII nimirum bis uicenos quaternos, inde bis duodenos, dein bis senos, omnes adhuc pares, efficiunt, nouissime in ternos impares decidunt. Itaque nemo longius procedere simili multiplicatione potest; quin, ut duplicatione reuoluta ascenditur, sic per replicationes item in plures partes digeritur. Nam XX et bis dena sunt ‹et quater quina› et quinquies quaterna et decies bina.

[750]

Quattuor deinde species numeros excipiunt. Quidam enim sunt per se incompositi, quidam per se compositi, quidam inter se incompositi, quidam inter se compositi; ex quibus duo priores primi numeri, duo sequentes secundi nominantur. Sed ea res quo facilius addisci possit planius indicanda est. Prima et minima omnis numeri mensura singularitas est, quia nullus numerus non in singula diuidi potest. Deinde eum etiam aliae mensurae excipiunt, ut duplicationes, quae duplo, triplicationes, quae triplo increscunt. Cum hoc ita sit, quibusdam numeris in singularitate sola mensura est, qui nisi in singula digeri non possunt, quales sunt tres: tantum impares tres sunt; quibusdam uero et in aliis numeris, quales sunt IIII et VIIII; nam bis bina IIII, ter terna nouem sunt: ita illa duplicatione, haec triplicatione metimur. Ac saepe non una quidem talis mensura numero, sed plures; siquidem octo metiri et quadruplicatione et duplicatione facile est, cum et quater bina et bis quaterna VIII sint. Itaque euidens est quicquid aliqua multiplicatione metimur metiri nos etiam singularitate posse, non ubicumque singularitatis mensura est esse alicuius etiam multiplicationis. Ita singularitas omnibus communis mensura, quibusdam unica est.

[751]

Cum hoc sit, per se incompositi numeri dicuntur qui nullam mensuram habent nisi singularitatis; per se uero compositi quos metiri non tantum singularitate, sed alia quoque multiplicatione licet. Et haec quidem singulorum numerorum aestimatio est. Bini uero pluresue iuncti inter se incompositi esse dicuntur, qui nullam communem mensuram nisi singularitatis habent, ut III et IIII. Neque enim interest an IIII dupli mensuram habeant, cum eadem illa in tribus non sit. At inter se compositi sunt quibus alia quoque quam singularitatis mensura communis est, ut VIIII et XII, quorum utrumque licet triplicatione metiri, cur ter terna VIIII, ter quaterna XII fiant.

[752]

Cum uero alii numeri in singula tantum, alii etiam in aliquos solidos numeros diuidantur, ut re ipsa discreti sunt, sic etiam uocabulis discernam, ne qua indiligentibus confusio oriatur, et cuiusque numeri membra nominabo solidos numeros in quos is diduci poterit, ut in XII ‹III et IIII› fiunt; at singula et si qui etiam solidi numeri immixti singulis inserentur, partes appellabo, ut in VII uel totidem singula uel etiam bis terna singulo adiecto.

[753]

Ex numeris quidam perfecti sunt, quidam ampliores perfectis, quidam imperfecti: τελείους et ὑπερτελείους et GὑποτελείουςG Graeci appellant. Perfecti sunt qui partibus suis pares sunt, ampliores perfectis qui plus in partibus suis quam in se ipsis habent, imperfecti in quorum partibus minus quam in ipsis est. Et exempli causa sumamus sex. Hi et in singula diuidi possunt et in bina et in terna, cum et sexies singula et ter bina et bis tema fiant sex; ergo partes eius sunt I, II, III. Nunc in unum eae conferantur, fiunt VI: hoc est parem esse partibus suis, et hoc numeri genus in aliqua uirtute est, cetera in uitio uel ex superante uel ex deficiente, ut puta sumamus XII: et duodecies singula et sexies bina et quater terna et ter quaterna et bis sena XII fiunt. Itaque eius partes sunt I, II, III, IIII, VI, quae iunctae in unum XVI efficiunt; hic amplior perfetto numerus est. At XVI fiunt iunctis sedecies singulis, octies binis, quater quaternis, bis octonis, neque praeter has :[si facias] ulla eius numeri mensura est. Collati autem in unum I, II, IIII, VIII non ultra faciunt quam ‹XV, id est› minus quo ex quo orti sunt. Hic imperfectus numerus est.

[754]

Alii etiam plani numeri sunt, alli crassitudinem quoque in se habent. Planum numerum esse Graeci dicunt qui a duobus numeris continetur. Id eiusmodi est: in ratione mensurarum tantum de norma contineri quantum a toto quadriangulo cuius pars in ea norma sit existimant. Item ad numeros planos feruntur qui in duo latera ordinantur sic ut rectum angulum faciant et normae similitudinem repraesentent. Igitur si in alterum latus IIII, in alterum III porriguntur, hi duo numeri lege eorum XII capiunt, planumque eum numerum nominant. At crassitudinem aiunt a tribus numeris. Sint in alterum puta latus IIII, in alterum III supra deinde quattuor adiciantur. His numeris altitudinem quoque super inferiorem normam impleri dicunt includique uiginti quattuor. In quibus, obscuritate ex superuacuo quaesita, euidentissimum est planum esse numerum sic singulis iunctis ne quid super alterum sit, crassitudinem fieri numero super numerum imposito.

[755]

Ipsa autem planities uarias formas habet, numeris ad similitudinem aliquarum figurarum ordinatis, quae incipiunt a linea, tum uel triangulae ‹uel quadriangulae› fiunt; atque eae quae quattuor angulos habent uel quadratae sunt uel altera parte longiores, quas ἑτερομήκεις Graeci appellant. Praeterea plures quoque anguli possunt interdum etiam inaequalia numeri latera esse. At cum deinde in crassitudinem insurgat figurasque plures efficiat, tessera perfectissima esse inter eas uidetur. Est autem triangulum in paucissimis tribus, quadratum in paucissimis ΙΙΙΙ, id autem quod imparia latera habet in paucissimis V, altera parte longius quadriangulum in paucissimis sex; crassitudo item, quae tessera, in paucissimis octo. Nam duo simplicem ordinem faciunt; tres sic componi possunt ut totidem angulos habeant; quattuor in quadrum positi in omnem partem binos habent; quinque sic colligantur ut in altero latere duo, in altero tres sint; sex, ut quadriangulum faciant, quod in duobus lateribus binos, in duobus ternos habet. At si quattuor ponuntur, et crassitudo oritur et paria omnia latera in planitiem atque altitudinem sunt, binis in omnem partem ordinatis.

[756]

Similes autem plani numeri sunt quorum latera eandem rationem habent, ut VI et DC, cum illis in altero latere II et in altero III, his in altero CC, in altero CCC sint. Eodemque modo similes etiam in crassitudine numeri sunt quorum latera sub eadem ratione sunt, ut uiginti quattuor et nonaginta sex. Nam ut in illis alterum latus IIII et alterum III habet, quo fit ut planities XII, crassitudo XXIIII capiat, sic in his alterum latus VIII, alterum sex recipiat, quo fit ut planities XLVIII, crassitudo XCVI comprehendat. Quod est autem inter duos et tres, hoc inter CC et CCC; ratio quae est inter III et IIII, haec est inter VI et VIII. Manifestum erit simul atque rationes quae inter numeros sunt subiecero.

[757]

Omnis enim numerus pars est alicui numero maiori; maior autem aut multiplicatione procedit, aut ratione membrorum aut partium, aut simul et multiplicatione et ratione membrorum uel partium. Ratio membrorum in uno membro pluribusue, ratio partium in una parte pluribusue est. Minor uero numerus aut replicatione minuitur aut ratione membrorum uel partium, interdum etiam simul replicatione et ratione aut membrorum aut partium. Neque ulla ratio numeri ad numerum non intra haec est. Graeci multiplicatos numeros πολλαπλασίους, replicatos ὑποπολλαπλασίους, membro membrisue antecedentes ἐπιμορίους, membro membrisue ‹inferiores ὑπεπιμορίοθς, parte partibusue antecedentes ἐπιμερεῖς, parte partibusue› inferiores ὑπεπιμερεῖς appellant; binis deinde nominibus utuntur in his in quibus binae rationes sunt.

[758]

Cum hoc ita sit, numerus ‹ad numerum› comparem rationem habet aequalitatis, quam ἰσότητα Graeci uocant, ut duo ad duos, tres ad tres; quae ratio etiam perfetto numero ad suas partes est, ideoque is numerus potior ceteris habetur. Quid enim aequo esse melius potest? At ubi alter numerus maior, alter minor est, protinus inter eos distantia est, quod in omnibus fit qui ratione membrorum uel partium aut antecedunt aut anteceduntur; ideoque hi numeri peiores sunt, inter quos partesque eorum aliquod discrimen est. Sed ut distantia inter duos numeros maiorem minoremque eadem est, sic ratio inter eosdem contraria est; tantundem enim distat inter tres et quattuor quantum inter quattuor et tres, at ratio inter hos ipsos diuersa est, eaque quae sit infra patebit.

[759]

Cum proposuerim uero primas in multiplicatione rationes esse, multiplicationis ratio est senioni ad ternionem, octonario numero ad quaternarium; contra replicationis ternioni ad senionem, quaternario numero ad octonarium. Membrorum uero ratione uincit is numerus qui solido membro membrisue antecedit, qualis est nouenarius ad senarium; ternione enim uincit, quae eadem bis in senario numero inuenitur, contraque membrorum ratione uincitur a nouenario senarius. At partium ratione uincit qui in se et ipsum minorem numerum habet et aliquam partem eius partesue, ut si VII cum IIII conferantur; siquidem in septenario numero et IIII sunt et horum III partes. Contra ergo partium ratione uincuntur IIII a VII. At idem numerus et multiplicatione et membrorum ratione antecedit, si puta VIII et III iunguntur; nam VIII et bis terna habent et praeterea membrum in duobus. Et multiplicatione uero et partium ratione uincunt V, si conferantur cum duobus; nam in quinque bis bina sunt et praeterea duorum pars una. Contra in his ipsis numeris minores a maioribus simul et replicatione uincuntur et aut membrorum ratione aut partium.

[760]

Sed ut genera rationum inter numeros haec sunt, sic species in singulis plures. Nam ut ad multiplicationem primum replicationemque ueniamus, inter hos aut dupli ratio est aut tripli aut quadrupli, ac procedere quoque ultra multiplicatio potest, per eosdemque rursus gradus idem numerus replicatur. Ergo rationem habent duplo maiorem duo ad unum, IIII ad duos, VIII ad IIII; duplo minorem unus ad duos, duo ad IIII, IIII ad VIII; item triplo maiorem III ad I, VIIII ad III ; triplo minorem I ad III, III ad VIIII; quadruplo maiorem IIII ad I, XVI ad IIII; quadruplo minorem I ad IIII, IIII ad XVI; eademque in ulterioribus multiplicationibus et incrementi et deminutionis ratio est.

[761]

At ubi inter maiores minoresque numeros ratio membrorum est, maior aut superdimidio uincit, quem ἡμιόλιον, aut supertertio, quem ἐπίτριτον, aut superquarto, quem ἐπιτέταρτον Graeci uocant, et sic ad superquintum, supersextum ulterioresque ratio procedit. Superdimidius est qui ipsum aliquem numerum et dimidium eius habet; supertertius, qui ipsum aliquem et tertiam eius; superquartus, qui ipsum aliquem et quartam eius; eademque in ulterioribus ratio est. Contra ex isdem numeris minor maiori aut subdimidius est, quem ὑφημιόλιον, aut subtertius, quem ὑπότριτον , aut subquartus, quem ὑποτέταρτον Graeci appellant. Superdimidii rationem habent tres ad duos, CCC ad CC, quorum supra facta mentio est; conta subdimidii duo ad tres, CC ad CCC. At supertertii IIII ad III, VIII ad VI, qui ipsi quoque supra positi sunt; subtertii III ad IIII, VI ad VIII; superquarti V ad IIII, X ad VIII; subquarti IIII ad V, VIII ad X.

[762]

Partium uero ratio proxima in quibusdam numeris supertertio est, in quibusdam superquarto, idque procedere ultra potest. Supertertio similis est ubi maior numerus minorem ipsum et aliquas eius tertias partes comprehendit, superquarto ubi et illum ipsum et quartas eius. Sumamus V et III et X et VI. Antecedit quinarius ternionem, quod et illam ipsam et eius duas tertias habet. Item in X sunt et VI et de sex duae tertiae. At proxima superquarto ratio est inter septem et IIII, inter XIIII et VIII. In VII et ipsa IIII sunt et eius tres quartae :[atque ut ea ratione quae supertertiae et superquartae proxima est maiores in his numeris uincunt, sic rationem proximam subtertiae et subquartae minores cum maioribus habent]. Illo neminem decipi conuenit, ut aliquam partium rationem superdimidiae similem putet; nam si numerus aliquis numerum aliquem et dimidium eius habet, superdimidius est; si numerum aliquem et eius duo dimidia habet, duplus est. Nec ut duae quidem tertiae rationem supertertio proximam habent, sic duae quartae rationem superquarto proximam recipiunt. Nam si quis ipsum et eius duas quartas habet, superdimidius est, ut sunt VI et IIII: in sex enim et quattuor sunt et eius duae quartae. Contra uero ut ea ratione quae supertertiae et superquartae proxima est, maiores his numeris uincunt, sic rationem proximam subtertiae et subquartae minores cum maioribus habent, eademque ratio procedit, sicut superquintae ulterioribusue similis est.

[763]

Hinc rursus plura discrimina oriuntur, siquidem unus numerus potest duplo ‹aut triplo aut quadruplo au›geri et aut superdimidio aut supertertio aut superquarto ulterioribusue et multiplicationum et membrorum rationibus. Ponamus IIII et X: ex his X duplo et superdimidio aucti sunt; nam bis quaterna VIII sunt, deinde dimidium IIII fit in duobus. At ponamus IIII et XIIII: ex his XIIII triplo et superdimidio aucti sunt; nam ter quaterna XII sunt, deinde dimidium quattuor fit in duobus. Progrediamur ultra usque IIII et XVIII: ex his XVIII quadruplo et superdimidio increuerunt; nam quater quaterni XVI sunt; deinde dimidium quattuor fit in duobus. At sint III et VII: ex his VII duplo aucti sunt et supertertio nam bis terna VI sunt; deinde pars tertia triumfit in uno. Sint III et X: ex his X triplo increuerunt et supertertio; nam ter terna VIIII sunt, et deinde pars tertia trium fit in uno. Ponantur III et XIII: ex his XIII quadruplo aucti sunt et supertertio; nam ter quaterna XII sunt; deinde pars tertia trium fit in uno. Accipiamus nunc IIII et VIIII: ex his VIIII et duplo plus habent et superquarto; nam bis quatema VIII sunt; deinde IIII quarta pars est in uno. IIII uero et XIII tripli et superquarti, item IIII et XVII quadrupli et superquarti ratio est. Idemque in ulterioribus numeris fit, perindeque numeri minores ex iis et replicationis alicuius et subdimidii uel subtertii uel subquarti uel alicuius ulterioris rationem cum maioribus habent.

[764]

Vt apparere autem ex his potuit, multiplicatio a minima ratione incipit et subinde ad maiores maioresque transit ratione membrorum uel partium; replicatio a maxima ratione incipit et subinde ad minores minoresque transit. Maior ratio dicitur quae plus, minor quae minus adicit; ergo maior ratio tripli quam dupli, maior quadrupli quam tripli est; contra minor dupli quam tripli, minor tripli quam quadrupli est.

[765]

Incipit igitur multiplicatio a duplo, inde ad triplum, ad quadruplum semperque ad maiores rationes transit. At ratio membrorum incipit a superdimidio, deinde ad supertertium, superquartum semperque ad minus et minus peruenit. Quae omnes rationes inter duos fines sunt. Ita numeri sunt: ut puta dupli ratio est inter II et I, tripli inter III et I, quadrupli inter quattuor et I, et sub isdem rationibus nominum fines minimi suaque comparatione multo ‹minores; neque› minores uel sub duplo quam duo et I, uel sub triplo quam III et I, uel sub quadruplo quam IIII et I sunt. Super hos deinde quantumlibet isdem rationibus soluis, fines his numeris augentur. Ideoque :[hii] eos fines qui minimi sunt ‹πυθμένας› pythagoricus Thymarides nominabat, quod ut uas super suum fundum, sic numeri rationis eiusdem super istos adiunguntur; idemque etiam ratione membrorum.

[766]

Minimi enim fines sunt superdimidii inter II et III, supertertii inter III et IIII, superquarti inter IIII et V, tum deinde sub isdem rationibus numeri complentur. Neque alia condicio‹ne partium ratio› est, quae ipsa incipit a tenia parte, sicut membrorum ratio de hemiolio, deinde primum minimos fines comprehendit, tum ad maiores transit.

[767]

Ex his autem uerisimile est primam multiplicationem esse inuentam, deinde rationem membrorum, tum partium. Neque enim difficultas ad duplum, deinde triplum et quadruplum apparuit. Tum ex duplo superdimidii facta condicio, ex triplo supertertii, ex quadruplo superquarti est, idemque in ulterioribus incidit. Nam qui duplum uidebat hoc ipso coepit intellegere dimidium, quia ut duplum quattuor duorum sunt, sic dimidium quaternionis duo. Vt igitur duobus duos adiciendo quattuor fecit, sic rursus quaternioni duos adiciendo fecit superdimidium, utque ex duobus triplo sexis impleuit, sic senario numero duos adiciendo supertertium inuenit, idemque in ulterioribus incidit. Deinde, cum incurrerent numeri sine iudicii quidem rationibus positi, quaesitum est quot quotaeue partes alterius numeri in altero essent. Ex his eo uentum est ne cuius numeri non aliqua ratio ad alium numerum exploratissima sit; post haec non difficillima animaduersio gemina ratione in numeris fluxit.

[768]

Quoniam genera numerorum rationumque inter eos orientium exposui, rursus ad ea singula reuertar, et quae in quoque animaduersiones sint indicabo. Incipiam de paribus atque imparibus. Par omni multiplicatione sic procedit ut par maneat. Duplo augentur II et IIII et VIII et XVI, triplo II, VI, XVIII, quadruplo I, IIII, XVI, LXIIII, CCLVI, idemque in ulterioribus fit. At impar pari multiplicatione protinus interit et in numerum parem recidit impari multiplicatione increscere potest, ut impar maneat. Nam bis tema sex, item bis quaterna VIII fiunt, eodemque modo quater tema XII, quater quina XX; at ter tema VIIII, et ter VIIII XXVII; item quinquies tema XV, quinquies quina XXV, idemque in omnibus multiplicationibus euenit. Quo fit ut, siue par siue impar parium numerorum multitudo est, id quod consummatum est par sit, ut II, III, VI, VIII, quae par numerorum multitudo est, fiunt XX; II, IIII, VI, quae impar numerorum multitudo est, XII, ambo numeri pares.

[769]

Item par imparium numerorum multitudo pares facit; ergo III et V fiunt VIII, qui pares sunt. Impar tantummodo imparium multitudo impares seruat; nam III et V et VII fiunt XV, illi quoque impares. Eadem de causa quotiens par numerus uel parem uel imparem multiplicat, is qui efficitur par est. Nam duplicatio, siue duo multiplicauit, fecit IIII siue III, fecit VI, ambos pares. At impar numerus, si parem multiplicat, facit parem, si imparem, tum demum imparem reddit. Nam triplicatio, si duos multiplicat, efficit VI, ipsos quoque pares; si III, efficit VIIII, qui impares sunt.

[770]

Tum si pari par adicitur, par manet, ut, si duobus IIII adiciantur, sunt VI. Si impari impar adicitur, par fit, ut, si tribus V adiciantur, sunt VIII. Vno autem modo impar numerus procedit, si numero numerus non adicitur eiusdem generis, sed pari ‹impar›, impari par. Nam siue IIII quis adiectis tribus auxerit, siue III adiectis IIII, fient VII, qui impares sunt. Deinde numero pari quale demitur tale superest; numero impari contrarium est, ne quod demitur supersit. Ergo si pari par demitur, id quod superest par est, ut si ex VIII duo auferantur, supersint VI. Si numero pari impar demitur, id quod superest ‹impar est, ut si ex VIII III auferantur, supersint V. Contra si numero impari impar demitur, id quod superest› par est, ut si ex VII III auferantur, supersint IIII. Si numero impari par demitur, id quod superest impar est, ut si ex VII duo auferantur, supersint V.

[771]

Par deinde ex paribus est numerus quisquis dimidium par habet, ut est in XII, quorum dimidium in senario numero est, ipso quoque pari. Item par ex paribus est quisquis a duobus duplo increuit, ut IIII, VIII, XVI aut quisquis ab aliis sic increuit uti recidere in parem possit, quod euenit etiam quadruplo uel octuplo similibusue auctis. At quisquis numerus dimidium impar habet par ex imparibus est, ut senio, cuius dimidium in tribus est. Si quis uero neque ‹a› duobus per duplicationem increuit nec dimidium impar habet, par quidem ex paribus est, oritur tamen ab eo qui par ex imparibus est, ut XII. Hic enim numerus neque per duplicationem a duobus ortus est neque dimidium impar habet, sed a senario numero per duplicationem increuit; ille autem par ex imparibus, id est ternis, est.

[772]

Transeamus nunc ad numeros incompositos et compositos, quos etiam primos secundosque nominari proposui. Incompositi per se numeri nulli pares sunt exceptis, ut supra posui, duobus; ceteri quicumque per se incompositi sunt omnes impares sunt, ut III, V, VII, XI, XIII, XVII, XVIIII similesque. Per se uero compositi numeri sunt omnes pares qui uel ex paribus uel ex imparibus sunt. Nam et IIII atque VIII duplicatione metimur, quorum alter numerus in binos, alter in quaternos replicatur; et idem facere in VI aut X facile est, cum ille in ternos, hic in quinos resoluatur. Praeter hos multi impares per se compositi sunt, id est quicumque impari numero multiplicantur. Nam siue ternio siue quinarius numerus siue quis alius impar impares numeros multiplicauit, qui sic effectus impar est et per se compositus. Multiplicet ternio se ipsum, fiunt ter terna VIIII; multiplicet quinarius numerus se ipsum, fiunt quinquies quina XXV; at multiplicet uel ternio quinarium numerum uel quinarius numerus ternionem, fiunt XV; omnesque hi numeri VIIII, XXV, XV, per se compositi sunt, et quicumque impares sortis eiusdem sunt.

[773]

Inter se uero incompositi nulli duo pares sunt, siue ex paribus siue ex imparibus sunt, quia nulli non aliquam communem mensuram habent. Nam ut sumamus duos pares numeros, alterum ex paribus, alterum ex imparibus, id est IIII et VI, tamen inter se compositi sunt, quia communis iis duplicatio est, qua bis bina IIII, bis terna VI sunt. At impares primum omnes qui per se incompositi sunt; neque enim possunt aliquam communem mensuram praeter singularitatem habere qui ne propriam quidem ullam habent. Ergo III, V, VII similesque omnes, ut per se, sic etiam inter se incompositi sunt, et in eadem sorte is quoque numerus est qui par sub eodem iure est, duo; nam ne hic quidem cum tribus aut quinque aut consimili componitur.

[774]

Tum quisquis ex his numeris qui per se incompositi sunt iungitur cum altero numero, quamuis per se composito, efficit ut hi duo numeri inter se incompositi sint, ut si III et IIII iungantur. Quid enim interest an alteri mensura aliqua praeter eandem singularitatem sit, si alteri non est? Ac licet etiam duo pluresue numeri non per se tantum, sed etiam inter se ‹compositi sint, unus per se› incompositus efficit ut omnes inter se incompositi sint, quia quamuis aliqua mensura pluribus communis, nulla tamen omnibus praeter singularitatem. Quod euenit si IIII, VI, VIII et quotlibet similes ponantur, adiciantur deinde iis III; nam quamuis tres priores numeri inter se componi possunt, tamen quattuor hi inter se non componuntur.

[775]

Non tantum uero adiectio eius numeri qui per se incompositus est efficit ut plures numeri inter se non componantur, sed potest etiam euenire ut qui per se compositi sunt in unum dati inter se incompositi sint, ubi quamuis aliquas mensuras, diuersas tamen recipiunt; idque euenit et inter impares duos numeros et parem atque imparem. Sumamus VIIII et XXV; horum uterque per se compositus est. Habet enim mensuram nouenarius numerus in ternione, habent XXV in quinario numero. Inter se tamen hi non componuntur, quia neque VIIII quinarii numeri mensuram neque XXV ternionis admittunt. Idem fit inter VIII et VIIII, parem atque imparem numerum: nam neque duplicatione aut quadruplicatione VIIII, neque ternione VIII metiri possumus. Itaque per se compositi etiam inter se incompositi sunt; qui per se componuntur, non protinus etiam inter se componi possunt.

[776]

Compositi uero inter se sunt omnes pares, ut apparere supra quoque potuit, quicumque uel ex paribus uel ex imparibus sunt; deinde quidam impares, ut VIIII et XV, cum uterque numerus in ternos recidunt; tum quidam pares et quidam impares, ut VIIII et XII, siquidem his quoque triplicatio communis est: ter terna VIIII, ter quaterna XII sunt. Illud animaduersione dignum est, quod cum impari numero numquam is par componi potest qui ex paribus, sed qui ex imparibus ortus est; adeo mutata quoque sorte iuris tamen aliqua societas superest. Ergo VIIII neque cum IIII neque cum VIII neque cum XVI neque cum ullo simili numero componi possunt; componuntur uero cum XII et XXIIII, quae a tribus initium sumpserunt.

[777]

Ac ne cum omnibus quidem qui pares ex imparibus sunt componi potest omnis impar numerus qui per se compositus est, quia potest non in eandem mensuram recidere. Ergo VIIII et L componi non possunt, quia L nullam triplicationem recipiunt, quae nouenario numero sola praeter singularitatem mensura est; euenit autem hoc quia ne XXV quidem, quae duplicata L fecerunt, ternionem recipiebant. Ergo si quando impar numerus ex quo par factus est eandem mensuram quam alter impar tenet habuerit, tum demum cum illo impari par qui ex hoc factus est componi potest; ubi illud non antecessit, ne hoc quidem sequitur. Ideo VIIII et L inter se non componuntur; at VIIII et XXX inter se componuntur: orta sunt enim XXX duplicatis XV, iam autem VIIII et XV inter se componi poterant, cum communis his mensura in ternione esset. Ex his cetera oriuntur quae ad hoc genus numerorum pertinent.

[778]

Ex duobus numeris inter se incompositis, siue uterque siue alter per se compositus est, mensura alterius cum altero non componitur. Sint IIII et VIIII; hi per se compositi, inter se incompositi sunt. Mensura autem quattuor in duobus, nouem in tribus est, neque duo uero cum VIIII, neque III cum IIII componuntur. At sint V et IIII alter per se incompositus; mensuram quaternio habet in duobus; duo autem et V non componuntur. Si duo numeri inter se incompositi sunt et alter ex his se ipsum multiplicarit, is qui sic effectus est cum priore illo non componitur. Sint III et IIII: hi inter se incompositi sunt. Siue ternio se multiplicarit, VIIII et IIII , siue quaternio idem fecerit, XVI et III inter se incompositi erunt. Si duo numeri inter se incompositi se ipsos multiplicarint, qui ex his fient inter se incompositi erunt, ut si eosdem III uel IIII sumpserimus et uterque se multiplicarit, VIIII quoque et XVI inter se incompositi erunt.

[779]

Si duo numeri inter se incompositi sunt et alter ex his se multiplicarit effectusque sic numerus rursus ipse se multiplicarit, qui sic effectus est numerus cum altero illo non componitur. Sint II et III; uterlibet numerus se multiplicet, fiunt bis bina IIII, ter terna VIIII; rursus hos numeros idem multiplicent, fiunt bis quaterna VIII, ter VIIII XXVII. Sumantur nunc II et XXVII uel III et VIII; aeque inter se incompositi sunt. Si duo numeri inter se incompositi sunt et uterque se multiplicarit, deinde effectum ex se rursus multiplicauerit, hi quoque qui sic effecti sunt ‹inter se incompositi sunt›, ut in iis ipsis qui supra positi sunt. Nam ex duobus VIII, ex tribus XXVII sic facti inter se non componuntur. Si duo numeri inter se incompositi sunt et in unum iunguntur, hic numerus qui sic effectus est componi cum alterutro ex prioribus non potest. Si III et V in unum iungantur, fiunt VIII; hi neque cum V neque cum tribus componi possunt.

[780]

Si numerus in duos inter se incompositos diuisus est, componi cum alterutro eorum non potest. Diuidantur VIIII in IIII et V; neque cum neque cum V componi VIIII possunt. Si duo numeri cum tertio iuncti sic fuerint ut omnes inter se incompositi sint, deinde ex duobus alter alterum multiplicarit, qui sic effectus erit aeque cum eodem illo tertio componi non poterit. Sint duo numeri IIII et VIII; adiciantur his III: inter se incompositi sunt. Multiplicent duo priores alter alterum; quater VIII aut octies quaterna fiunt XXXII; hi et III inter se incompositi erunt.

[781]

Omnis numerus qui per se incompositus est componi cum altero non potest, nisi cuius ipse mensura est. ‹:[...]› Ergo componuntur III ad VIIII, V ad XV, quia ter terna VIIII, quinquies terna XV sunt. ‹Si ergo› in quo numero quid eius non habebunt, cum eo componi non poterunt. Si duobus numeris positis minor ‹semper› e maiore detrahitur et is qui superest non est mensura eius qui proximus ante eum demptus est, hi numeri inter se incompositi sunt. Sint III et VIII; tollantur ex maiore numero terni quotiens possunt, supersunt duo; in his trium mensura non est. Ergo III quoque et VIII inter se incompositi sunt. Si tres minimi sunt ex omnibus qui sub eadem ratione sunt, ex his duo quilibet in unum iuncti cum tertio non componuntur. Sint tres numeri VIIII, XII, XVI; horum insequens semper priori supertertius est, nec ulli tres minores sic iuncti reperientur. Confundantur in unum VIIII et XII: fiunt XXI. Hi cum XVI non componentur.

[782]

Si impar numerus cum aliquo componi non potest, nec cum duplicato quidem eo componitur. Sint V et VIII; hi inter se incompositi sunt. Duplicentur VIII; fiunt XVI; nec cum his quidem quinque componi possunt. Si duo et alteri duo numeri ponuntur sic ut neuter ex prioribus cum alterutro ex insequentibus componi possit, ne is quidem qui ex duobus prioribus factus est componi cum alterutro insequentium potest. Sint duo numeri IIII et VIII itemque alii duo V et VII; neuter ex prioribus componi cum alterutro insequentium potest. Confundatur in unum IIII et VIII; fiunt XII: ne hi quidem cum V aut VII componuntur.

[783]

Minimi numeri ex his qui sub eadem ratione sunt inter se incompositi sunt, ut in dupli ratione minimi sunt II et I, in tripli III et I, hique inter se non componuntur. At quamuis magni numeri sumantur qui inter se incompositi sunt, minimi sunt ex omnibus qui sub eadem ratione sunt. Sint CC et CI; hi inter se non componuntur; est autem inter eos partium ratio, quod CC CI :[dimidio et] XCVIIII partibus antecedunt, neque id esse inter ullos minores numeros potest.

[784]

Cum uero mensurae ratio efficiat ut quidam per se incompositi compositiue, quidam inter se incompositi compositiue sint, non alienum uidetur de mensuris protinus subicere. Omnis numerus aut per se incompositus est aut, si per se compositus est, in aliquo per se incomposito mensuram habet, ut VIIII quique ab eo per triplicationem increscunt in tribus, item XV in V. Sed eorum qui pares ex paribus sunt minima mensura in duobus est; eorum qui pares ex imparibus aut etiam impares sunt potest minima mensura etiam in maioribus numeris esse, omnibus tamen imparibus. Vnius autem compositi mensura uel minima uel maxima facile reperitur. Replicato enim numero proxima mensura maxima, ultima minima est. Vt puta sint quinquaginta; hi replicentur: dimidia pars earum XXV; in his maxima mensura est. Rursus animaduertamus quas inferiores mensuras habeant: sunt autem decies quina L, item quinquies dena, item bis quina uicena; nec ulla ex his minor est ea quae ex duobus est: haec igitur minima mensura quinquagenarii est.

[785]

At si duo numeri inter se compositi sunt, maior et minor, quomodo reperiatur communis his maxima minimaque mensura quaeri potest. Oportet autem maiori numero minorem detrahere quotiens potest; deinde quantum ex priore superest, tantundem demere ex minore quotiens potest. Qui supererit numerus, is erit eorum numerorum mensura maxima. Sint duo numeri CCCL et C; demantur ex CCCL quotiens possunt centeni, id est ter: reliqui sunt L. Ex altero centenario numero detrahantur L, supererunt ex eo L. Hic numerus CCCL et C communis mensura maxima est; nam quinquagiens bina centum, quinquagiens septena CCCL sunt. Ex hoc etiam illud apparet quod quisquis numerus minor :[maximam in supra] duos numeros metitur maximam quoque eorum mensuram metietur. Minima autem mensura eorundem numerorum sic inuenitur: ubi maxima reperta est, illius ipsius minima quaeritur; eadem etiam prioribus numeris communis minima est, ut hic quoque minima quinquagenarii mensura in duobus est; igitur eadem etiam priorum numerorum minima mensura est.

[786]

At trium numerorum qui inter se compositi sunt maxima minimaque mensura sic inuenitur: duorum mensura maxima quaeritur; si est tertio quoque eorum minimo communis, repertum est id quod desideratum est; si non est, medii minimique maxima mensura eodem modo requiritur, eaque tribus omnibus communis est. Sint tres numeri CCCL, C, LXXV: quaesita mensura maxima sit communis his qui CCCL et his qui C sunt, repertaque sit in quinquagenario numero. Consideremus an hic tertium illum qui LXXV habet metiatur. Si metiretur, omnibus tribus communis esset; non metitur autem. Ergo iungimus C et LXXV, et horum maximam mensuram requiramus. Demo ex C LXXV; supersunt XXV. Hos quotiens possum demo ex eo numero qui LXXV habet, id est bis; supersunt XXV. Hic numerus maxima mensura est communis his qui C et his qui LXXV sunt; in his etiam omnium trium numerorum maxima mensura communis est. Nam uicies quinquies terna LXXV sunt, uicies quinquies quatema C, uicies quinquies quatema dena CCCL. Consideremus nunc horum XXV quae minima mensura sit: ea peruenire neque ad duos neque ad tres neque ad quattuor potest, sed est in quinario numero; et haec eadem mensura minima communis omnibus tribus superioribus numeris reperietur. Nam duo, qui et CCCL et C metiuntur, LXXV non metiuntur; III, qui LXXV metiuntur, CCCL et C non metiuntur IIII, qui C metiuntur, rursus CCCL et LXXV non metiuntur. V primum omnes illos metiri possunt, quia quinquies quina dena LXXV, quinquies uicena C, quinquies septuagena CCCL sunt.

[787]

Duobus uero numeris datis, quem minimum metiantur sic inuenitur: sint dati numeri duo et III. Hi inter se incompositi sunt; ex his alter alterum multiplicet: bis terna uel ter bina fiunt VI. Hic minimus numerus est quem duo metiantur. Maximum quem metiri possint nemo dixerit, sed omnem idem numeri metientur quicumque senario numero multiplicato fiet. At dentur duo numeri inter se compositi VIIII et XII; simili multiplicatione eodem non peruenitur, quia potest etiam minor numerus quam qui sic efficitur in his mensuram habere; alia igitur uia reperiendum est.

[788]

Videamus qui minimi numeri sub eadem ratione qua hi sint. Est autem :[in] nouenario numero minimus rationis eiusdem in tribus, duodenario in duobus. Nunc multiplicet ex minoribus numeris uterlibet non suum numerum, sed alienum, id est uel III XII uel II VIIII; ter duodena XXXVI, bis nouena XVIII. Ex his consideremus an minor numerus, qui est XVIII, mensuram habeat et in VIIII et in XII; habet autem in VIIII, in XII non habet. Dimittatur igitur, et maior apprehendatur, qui est XXXVI. Hic minimus est quem metiri et VIIII et XII possint; nam et nouies quaterna et duodecies tema XXXVI sunt. Eadem ratione omnem numerum quicumque XXXVI multiplicatis fiet idem illi duo numeri metiuntur.

[789]

Tribus autem numeris datis numerus quem minimum illi metiantur sic inuenitur: sint dati tres numeri II, III, IIII; sumatur is numerus qui minimus et in duplicatione et in triplicatione mensuram habet: is est senarius. Consideremus an hunc etiam tertius ex tribus, id est quaternio, metiatur. Si metiretur, repertum id esset quod requisitum est. Nunc non metitur; aspiciamus ergo quem minimum IIII et III metiantur: is est XII; ergo is est minimus quem omnes illi tres metiri possint; nam et bis sena et ter quaterna et quater terna XII fiunt. Et hinc quoque omnem numerum qui XII multiplicatis fiet idem illi numeri III metiuntur.

[790]

Vbi duo numeri numerum aliquem metiuntur, qui minimus in illis duobus mensuram habet eiusdem illius numeri mensura est. Sint dati XII; hos et II et III metiuntur. Minimus autem numerus quem duo metiuntur senarius; atquin idem etiam XII metitur; nam sexies bina XII sunt. Idem fit in eo numero quem tres aliqui metiuntur; nam hunc quoque metitur qui minimus in illis tribus mensuram habet. Ponantur XXIIII; hos et II et III et IIII metiuntur; minimus autem numerus qui :[est XII] in isdem illis tribus mensuram habet ‹est XII›. Atquin hic quoque eos qui XXIIII sunt metitur; nam duodecies bina XXIIII sunt.

[791]

Si bini numeri ‹qui minimi sunt ex iis qui sub eadem ratione sunt cum binis numeris maioribus› :[maiores minoresque] ponuntur sic ut eadem ratio inter maiores minoresque sit, quotiens maior maiorem, totiens minor minorem metitur. Sint numeri II et III, deinde VIII et XII. Eadem inter maiores minoresque numeros ratio est; nam et III duobus et XII his qui VIII sunt superdimidii sunt. Metiuntur autem III eos qui XII sunt quater; nam quater tema XII sunt. Atqui duo quoque eos qui VIII sunt quater metiuntur; nam quater bina VIII sunt.

[792]

‹Si› quotiens singularitas aliquem numerum metitur, totiens alius numerus alium metietur, eueniet ut quotiens singularitas ex secundis priorem numerum metietur, totiens is qui arte in singularitatis mensuram uenerit ulteriorem numerum metiatur. Sint I et V et VI et XXX. Singularitas quinarium numerum quinquies metitur, idem facit serio in XXX; rursus ipsos sex singularitas sexies metitur; atquin quinarius quoque numerus sexies metitur eos qui XXX sunt.

[793]

Si duo numeri alter alterum multiplicant, eum uero numerum qui sic effectus est aliquis qui per se incompositus est metitur, idem necesse est etiam utrumque ex prioribus metiatur. Multiplicet decussis octonarius numerus, fiunt LXXX; hos duo metiuntur; nam bis quadragena LXXX sunt; atquin idem II VIII quoque et X metiuntur, cum bis quatema octo, bis quina X fiant.

[794]

Quotienscumque numeri portionis eiusdem, quam ἀναλογίαν Graeci uocant, in ordinem ponuntur, primus si ultimum metitur secundum quoque et deinceps omnes metietur; si secundum metitur, ultimum quoque et medios metietur; si quemlibet denique unum metitur, omnes metietur. Contra si ultimum non metitur, ne secundum quidem neque quemquam alium; si secundum non metitur, ne ultimum quidem aliumue; si quem medium non metitur, ne alium quidem. Sint III et VIIII, XXVII, LXXXI, CCXLIII; inter hos omnes tripli ratio est; ternio autem metitur eos qui CCXLIII sunt: ter octogena singula CCXLIII sunt. Idem ergo metitur nouenarium numerum, cum ter terna VIIII sint; et quia hunc metitur, etiam ultimum, et quia utrumlibet, etiam ceteros, et quia medium quemuis ex illis, et priores quoque et ulteriores. At duo, quia non metiuntur CCXLIII, ne VIIII quidem aut medios; quia VIIII non metiuntur, ne CCXLIII quidem aut medios; quia nullum ex mediis metiuntur, ne ulteriores quidem.

[795]

Si quotlibet ab uno numeri conueniunt portionis eiusdem, quot per se incompositi numeri ultimum numerum, totidem etiam eum qui ab uno proximus est metientur. Sint numeri qui duplo increscunt I, II, IIII, VIII, XVI; ex his eos qui XVI sunt II, et idem se ipsos metiuntur. At sint I, XII, CXLIIII, MDCCXXVIII: ‹metiuntur eos qui MDCCXXVIII› sunt per se incompositi numeri II et III, quia bis octingena sexagena quaterna MDCCXXVIII sunt; itemque ter quingena septuagena sena. Atquin idem II et III XII quoque, qui ab uno proximi sunt, metiuntur, cum bis sena et ter quaterna XII sint.

[796]

Si quotlibet ab uno numeri portionis eiusdem sunt, minor numerus maiorem semper per aliquem aliorum qui sub eadem portione sunt metitur. Sint I, II, IIII, VIII, XVI, XXXII, LXIIII. Ex his II eos qui IIII sunt, IIII eos qui VIII sunt, VIII eos qui XVI sunt, XVI eos qui XXXII sunt, XXXII eos qui LXIIII sunt duplicatione metiuntur. At II eos qui VIII sunt quadruplicatione metiuntur; eadem eos qui XVI sunt metiuntur qui IIII sunt, VIII eos qui XXXII sunt, XVI eos qui LXIIII sunt. Itemque octuplicatione metiuntur II eos qui XVI sunt, IIII eos qui XXXII sunt, VIII eos qui LXIIII sunt, neque inuenitur numerus qui non et maiorem metiatur et nulla alia mensura id facit quam quae in isdem numeris est.

[797]

Si quotlibet ab uno numeri portionis eiusdem sunt et is qui ab uno proximus est per se incompositus est, maximus ex his in mensuram non ueniet nisi ‹ab iis› qui eiusdem portionis erunt. Sint I, III, VIIII, XXVII: inter hos tripla portio est et uni proximus numerus per se incompositus est. Igitur eos qui XXVII sunt nullus numerus metiri potest nisi aut III aut VIIII, qui sub eadem portione sunt. Quod non ita euenit si quando ab uno proximus numerus compositus est. Sint I, IIII, XVI, LXIIII: proximus ab uno numerus per se compositus est; ergo ultimus, qui est LXIIII, alias quoque mensuras quam quae in hac serie sunt admittit, et II et VIII et XXXII, cum bis XXXII, octies octona, bis et tricies bina LXIIII faciant. Quem minimum numerum duo per se incompositi metiuntur, eum nullus alius per se incompositus metietur. Sumantur V et VII: nullum minorem numerum quam XXXV metiuntur; nam quinquies VII et septies quina XXXV sunt, atque nullus aius numerus per se incompositus hunc metiri potest, non II, non III, non XI, non XIII, non XVII, multo uero minus ulteriores numeri.

[798]

Si quadratus numerus quadratum metitur, in latere Quoque eius lateris mensura est. Sint duo quadrati numeri IIII et XVI: metitur eos qui XVI sunt quaternio; quater enim IIII XVI. Atquin in latere quattuor duo sunt, in latere eorum qui XVI sunt IIII sunt: II metiuntur quaternionem; bis enim bina IIII sunt. Ex hoc etiam illud apparet ex duobus quadratis numeris, si in alterius latere ‹alterius lateris› mensura est, in ipso quoque quadrato numero alterius quadrati mensuram esse.

[799]

Si quadratus numerus quadratum non metitur, ne in latere quidem alterius mensura alterius ‹lateris› est. Sint quadrati numeri IIII et VIIII: quaternio nouenarium numerum non metitur; ergo ne duo quidem, qui in latere quaternarii sunt, III, qui in latere nouenarii numeri sunt, metiuntur. Ex hoc etiam illud apparet ex duobus quadratis numeris, si in alterius latere alterius lateris mensura non est, ne in alio quidem quadrato numeri alterius quadrati mensuram esse.

[800]

Si tessera tesseram metitur, in latere quoque alterius alterius lateris mensura est. Sint duae tesserae VIII et LXIIII: eos qui LXIIII sunt octo metiuntur, siquidem octies VIII LXIIII sunt. Atquin si in latere eius tesserae quae VIII habet II sint, in latere eius quae LXIIII habet IIII sint, II quattuor mensura sunt. Ex hoc etiam illud apparet: si ex duabus tesseris in alterius latere alterius lateris mensura est, eius quoque tesserae aria tessera mensura est. Atquin si tesseram tessera non metitur, ne in latere quidem alterius lateris alterius mensura est. Sint duae tesserae VIII et XXVII: eos qui XXVII sunt VIII non metiuntur; ergo cum in latere eius tesserae quae VIII habet II sint, in eius quae XXVII habet III sint, II ternionem non metiuntur. Ex hoc etiam illud apparet, quod, si in latere tesserae ‹lateris alterius tesserae› non est mensura, ne ea quidem tessera eam tesseram metitur.

[801]

In omni numero, qui mensuram in aliquo numero habet ex eodem et membri nomen acquirit qui mensuram facit. Sint VIIII: hos ternio metitur, et est nouenarii numeri tertia pars in tribus. Sint XVI: hos quaternio metitur, et est quarta eorum qui XVI sunt IIII; idemque in ceteris omnibus numeris reperietur. Sequitur autem ut, si numero membrum sit, in eo numero mensuram is habeat cui cum eo membro commune nomen sit; ut nouenarii numeri membrum in ternione est, eumque tres metiuntur.

[802] Hos sat erit cursim numeros memorasse modosque; cetera Cecropias aequum perhibere cathedras, si tamen ullus inest nostris super halitus aris aut lite in ueterem cultum replicantur abollae. Me spatium admonuit iam claudere fatibus orsa, ne superum nostri capiant fastidia coetus, et uetus astrigero pellar Numeraria caelo.» Sic ait, ac reticens propiori adiuncta sorori.