De Motu Accelerato

by Galileo Galilei

Galileo Galilei

Le opere di Galileo Galilei - Vol. II

1891

Trattato della Sfera ovvero Cosmografia	La Nuova Stella dell’ottobre 1604

DE MOTU ACCELERATO.

AVVERTIMENTO.

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Come a suo luogo^[1] abbiamo accennato, dagli studi «De motu» si è stimato opportuno distaccare il presente capitolo, la cui data è tanto nota, che non potevamo, senza venir meno al prefisso ordine cronologico, lasciarlo insieme con gli altri concernenti queste medesime materie. Sopra di esse tornò Galileo a più riprese in vari tempi della sua vita, di che fa fede, se non altro, la corrispondenza di lui; e finalmente nella occasione di enunciare nelle «Nuove Scienze», insieme raccolti, buona parte dei risultati ai quali era per lo innanzi pervenuto. Alcuni di tali studi, come per esempio, quelli concernenti la « proposizione dei moti fatti in tempi uguali nella medesima quarta del cerchio », alla quale sappiamo ch'egli pervenne sin dal 1602, non possiamo separarli dalle opere pubblicate dipoi, perchè con esse troppo intimamente connessi. Non abbiamo voluto tuttavia trascurare d' inserire qui, secondo la ragion de' tempi, questo capitolo, poiché siamo certi che del moto accelerato si occupò Galileo nella seconda metà dell' anno 1604, affermandolo egli stesso in una lettera a Fra Paolo Sarpi, del 16 ottobre di detto anno^[2]. E ciò facciamo tanto più volentieri, perchè l' autografo del quale ci serviamo (Mss. Gal., Par. V., T. I, car. 39-42) è da credere ci offra, con le sue cancellature e correzioni, un primo testo, modificato poi per la parziale pubblicazione fattane nelle « Nuove Scienze ».

Al presente capitolo abbiamo conservato il titolo, che esso porta, di « Liber secundus », imperocché per esso è giustificato un richiamo che si legge nelle prime linee, ed ancora perchè è posto in maggior evidenza il luogo assegnatogli, secondo un ordinamento posteriore, da Galileo, rispetto ad altri suoi studi; scrivendo egli, nella introduzione alla Giornata terza «De motu locali», che il trattato di tal materia viene diviso in tre parti, ed aggiungendo : « In prima parte consideramus ea quae spectant ad Motum aequabilem, seu uniformem. In secunda de Motu naturaliter accelerato scribimus. In tertia de Motu violento, seu de proiectis »^[3].

Nel riprodurre l'autografo sopra citato, ci siamo tenuti alle norme seguite nella stampa del «De Motu», indicando, come là e col medesimo artifizio tipografico, a pie di pagina, oltre gli errori materiali, anche alcune frasi cancellate, e corrette poi dall'Autore. Nelle prime pagine, dove l' autografo è giunto fino a noi in condizioni pur troppo assai infelici, a togliere alcuni dubbi di lettura, abbiamo fatto più volte ricorso alla stampa delle « Nuove Scienze».

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LIBER SECUNDUS

in quo agitur de motu accelerato.

Quae in motu aequabili contingunt accidentia, in praecedenti libro considerata sunt: modo de motu accelerato pertractandum.

Et primo, definitionem ei, quo utitur natura, apprime congruentem investigare atque explicare convenit^[4]. Quamvis enim aliquam lationis speciem ex arbitrio confingere, et consequentes eius passiones contemplari, non sit inconveniens (ita, enim, qui helicas^[5] aut conchoidas^[6] lineas ex motibus quibusdam exortas, licet talibus non utatur natura, sibi finxerunt, earum symptomata^[7] ex suppositione demonstrarunt^[8] cum laude), tamen quandoquidem quadam accelerationis specie in suis quibusdam motibus, gravium scilicet descendentium, utitur natura. Eorundem^[9] speculari passiones decrevimus, si eam, quam allaturi sumus de nostro motu accelerato definitionem, cum motus naturaliter accelerati essentia congruere contigerit. Quod tandem, post diuturnas mentis agitationes, reperisse confidimus; ea potissimum ducti ratione, quia symptomatis^[10], deinceps a nobis demonstratis, apprime respondere atque congruere videntur ea, quae naturalia experimenta sensui^[11] repraesentant. Postremo, ad investigationem definitionis motus naturaliter accelerati nos quasi manu duxit animadversio moris atque instituti ipsiusmet naturae in ceteris suis operibus omnibus, in quibus^[12] exercendis, mediis uti primis, simplicissimis, facillimis, consuevit. Neminem enim esse arbitror, qui credat, natatum aut volatum simpliciori aut faciliori modo exerceri posse, quam eo ipso, quo pisces et aves naturali instinctu utuntur.

Dum igitur lapidem, ex sublimi a quiete descendentem, nova deinceps velocitatis acquirere incrementa animadverto, cur talia additamenta, simplicissima atque omnium magis obvia ratione, fieri non credam? Idem est mobile, idem principium movens: cur non eadem quoque reliqua? Dices: eadem quoque velocitas. Minime: iam enim re ipsa constat, velocitatem eandem non esse, nec motum esse aequabilem: oportet igitur, identitatem, seu dicas uniformitatem, ac simplicitatem, non in velocitate, sed in velocitatis additamentis, hoc est in acceleratione, reperire atque reponere. Quod si attente inspiciamus, nullum additamentum, nullum incrementum simplicius inveniemus quam illud, quod semper eodem modo superaddit. Quod, ut me clarius explicem, facile intelligemus, maximam temporis atque motus affinitatem inspicientes: sicut enim motus aequabilitas et uniformitas per temporum spatiorumque aequalitates definitur ac concipitur (lationem, enim, tunc aequabilem appellamus^[13] , cum temporibus aequalibus aequalia conficiuntur spatia)^{[§ 1]} ita per easdem temporis partium aequalitates, celeritatis incrementa simpliciter facta percipere possumus; intelligentes ac mente concipientes, motum illum uniformiter atque eodem modo continuo acceleratum esse, dum temporibus quibuscunque aequalibus aequalia ei superaddantur^{[§ 2]} celeritatis additamenta. Adeo ut, sumptis quotcumque temporis particulis^[14] aequalibus a primo instanti in quo mobile recedit a quiete et descensum aggreditur, celeritatis gradus in prima cum secunda temporis^[15] particula acquisitus, duplus sit gradus quem acquisivit mobile in prima^[16] particula ; gradus itidem quem obtinet in tribus temporis particulis, triplus^[17]; quem in 4, quadruplus^[18] eiusdem gradus primi temporis : adeo ut, si mobile lationem suam continuaret iuxta velocitatis gradum seu momentum in prima temporis particula acquisitum, motumque suum deinceps^{[§ 3]} aequabiliter cum tali velocitate extenderet, talis latio duplo esset tardior ea, quam iuxta gradum velocitatis in secundo tempore acquisitae obtineret.

Apparet^[19], proinde, a recta ratione absonum nequaquam esse, si accipiamus intensionem velocitatis fieri iuxta temporis extensionem: nisi quod unum non leviter tale assumptum perturbare atque infirmare videtur. Hoc autem tale quid est: si a primo termino lationis ex quiete fit deinceps perpetua novae celeritatis additio iuxta rationem legemque eandem, secundum quam temporis discursus a primo instanti nova perpetuo suscipit additamenta, considerandum occurrit quod, sicuti post primum instans non est assignare tempus aliquod tam breve, quin aliud atque aliud brevius atque brevius^{[§ 4]} inter hoc et primum instans non mediet, ita post relictam quietem in latione non poterit assignari gradus adeo exiguus velocitatis, seu tam magnus tarditatis, quin in altero adhuc illo^[20] tardiori mobile descendens constitutum antea non fuerit; cumque tarditas in infinitum augeri, aut velocitas imminui, possit, fateri oportebit, mobile aliquando tam immensum obtinuisse tarditatis momentum, ut, cum eo latum, vel integri anni curriculo ne spatium transversi digiti pertransisset. Quod profecto mirum, seu potius absurdum videtur: verumtamen, licet primo intuitu mirum, falsum tamen non esse ncque absurdum, experientia, qualibet demonstratione haud^[21] infirmior, quemlibet admonere potest. Videmus enim, ingens pondus ferreum seu plumbeum super acuminatum trabem impositum, quem humi infigere intendimus, ipsum, propria tantum gravitate premendo^[22], ad certam mensuram, nec ultra, impellere: quod si idem pondus ex sublimi decidens super trabem percutiat, comprimet magis, atque inferius impellet, et eo magis quo ex sublimiori loco fiet ictus. Haec autem nova compressio atque impulsio non^[23] nisi novae causae effectus est, velocitatis, scilicet, percutientis ponderis ; et quia videmus ictus eo valentiores evadere, quo ex sublimiori fiunt loco, idest quo velociori fiant obcursu, ex loci sublimitate, nempe ex percutientis celeritate, quantitatem penetrationis trabis arguere poterimus, et, censo versim, quantitas penetrationis motus celeritatem arguet: adeo ut, ubi ictus percutientis machinae minimum quid egerit, trabem impellendo, super eo quod prius suo simplici pendere fecerat, minimum atque lentissimum fuisse motum eiusdem, iure coniicere poterimus. At quis non videt, quod si machina feriens super trabis verticem latum solummodo digitum elevetur, vix, at ne vix quidem, ictibus mille quid sensibile trabem impellet? Quod si elevatio sit solummodo ad papyri^[24] crassitiem, quot ictuum millia^[25] vix latum unguem lignum promovebunt? Intelligamus igitur, mobile, licet gravissimum^[26], ex quiete naturaliter descendens^[27], per omnes tarditatis gradus facere transitum, in nullo tamen commorari, sed, ad instantium temporis successionem, novos maioresque semper acquirere celeritatis gradus. Plures alias experientias istud^[28] idem confirmantes in medium afferre possem, quas in meis Mechanicis Quaestionibus^[29], tanquam loco convenientiori, repono.

His animadversis, attendendum est, quod iidem velocitatis gradus aliis atque aliis maioribus ac minoribus temporibus acquiri possunt, idque pluribus ob causis; quarum una, et quae apprime nostrae est considerationis, est spatii super quo fit motus. Grave enim non modo in linea perpendiculari versus centrum, quo gravia omnia tendunt, descendit, verum etiam super planis versus horizontem inclinatis, et tardius in iis quorum maior sit inclinatio, tardissime in planis quorum elevatio supra horizontem minima sit, infinita demum tarditas, hoc est quies, in ipsomet plano horizontali: tam late vero estenditur talis differentia graduum celeritatis acquirendorum, ut quem gradum grave cadens in perpendiculari horae minuto assequitur, super plano indinato, nec integra hora, nec tota die, nec integro mense, vel anno, assequi, potis esset, licet continua cum acceleratione labens. Cuius accidentis, non repugnantiam, imo probabilitatem magnam, congruentissimo exemplo possumus explicare.

Finge tibi lineam horizonti parallelam ab, a cuius puncto medio e descendant 2 lineae cd, ce, acutum angulum continentes dce, aliae autem 2, obtusum in eodem puncto e constituentes feg. Intelligas modo lineam hl, prius quidem cum horizontali ab coniunctam, deinceps vero ab eadem separatam, atque deorsum descendentem motu aequabili, atque ea lege, ut semper eidem ab parallela servetur. Iam, cum eius descensus uniformis intelligatur, poterit elongatio eius ab horizontali ab temporis effluxum repraesentare, quem non nisi uniformem et aequabilem, mens nostra concipere valet. Animadvertas, inde, partes ipsius lineae hl inter dce et inter fcg^[30], sub angulo c, interceptas, nempe ipsas oi, mn, continuo excrescere ad elongationem hl ab horizontali ab; adeo ut nulla^[31] sit linea ex infinitis mn minoribus, cui aequalis aliquando intercepta non fuerit ab ipsis fcg, in recessu lineae hl ab al, nullaque sit ex infinitis oi minoribus, cui similiter aequalis non fuerit pars eiusdem hl, inter dce intercepta. Amplius, nulla est tam exigua lineola sub acutissimo angulo dce depraehensa, cui altera aequalis aliquando sub obtusissimo fcg, in descensu ex ab in hl, depraehensa non fuerit. Id autem manifeste colligitur ductis a punctis o, i perpendicularibus^[32] super ab; quae dum fc, gc secabunt, lineam ipsi oi aequalem inter sectiones depraehendent. Hinc apparet, lineas omnes, quotquot in triangulo oci, ipsi oi parallelas, intelligere quis potest (quae infinitae sunt), fuisse quoque compraehensas a^[33] triangulo mcn, in descensu lineae hl, sed tempore breviori. Pariter quoque, nulla est in triangulo mcn parallela^[34] ipsi mn tam longa, quin ei par aliquando inter dce, si procedat descensus et elongatio lineae hl a ba, assignare non contingat, saltem longum post tempus.

Si itaque animo concipiamus, temporis decursum elongationi aequabili lineae^[35] hl a ba respondere, adeo ut primum temporis instans separationis fuerit ultimum coniunctionis earundem linearum; item intelligamus, gradibus celeritatis a mobilibus ex quiete in c descendentibus^{[§ 5]} acquirendae respondere lineas intra triangula men, oci compraehensas; cognoscere non erit obscurum, qua ratione fieri possit ut iidem gradus modo a mobili tempore brevissimo obtineantur, modo longissimo: adeo ut, ampliato magis magisque angulo obtuso fcg, cum lineae cf, cg quam proximae erunt ipsis ca, cb quam primum hl a linea ab seiungetur; quod idem est ac si dicamus, tempore brevissimo, seu^[36] summa cum celeritate, lineas omnes, nempe infinitas, et magnitudinum omnium quotquot sunt inter punctum e et maximam partem eiusdem hl interceptam sub obtusissimo angulo, designabit suo motu eadem linea hl; designabit, inquam, adeo ut nulla sit earum, cui aequalis aliquando non fuerit una interceptarum a lineis obtusum angulum continentibus. Ex quo accidit, motum punctorum m, n super lineas ef, cg velocissimum evadere, licet elongatio lineae hl a ba sit minima atque tardissima: fieri enim potest, angulum c adeo esse obtusum, et lineas cf, eg ipsi ab adeo propinquas, ut lineae cm, cn, seu etiam ipsa mn, infinito pene excessu superent distantiam inter ab, hl. Ac tandem in altissima et ultima anguli c dilatatione, hoc est in coniunctione linearum cf, cg cum lineis ca, cb^[37] motus consimilis motibus iam declaratis evadit instantaneus, simulque infinitus ex termino c. Numquid eiusmodi sit luminis expansio, quod certe loco uno ac terminato generatur, et tempore eodem locis omnibus late circumquaque patentibus reperitur? Sed ad rem nostram : non difficile esse arbitror ex^[38] allato exemplo intelligere, simulque concedere, mobilium ex quiete naturaliter descendentium^[39] alia suos celeritatis gradus brevi tempore, alia longiori, alia acquirere longissimo^[40]: quae enim in perpendiculari cadunt, cito velocia apparent; quae vero per declivia plana descendunt, velocitantur quidem, sed tempore longiori ad ea celeritatis momenta perveniunt, quo citius pervenit cadens ad perpendiculum.

Ex bis quae explicata sunt, omnis, ni fallor, ablata videtur repugnantia, quominus motus uniformiter, seu aequabiliter, accelerati definitionem in medium afferre possimus. Talis igitur esto definitio:

DEFINITIO.

Motum uniformiter, seu aequabiliter, acceleratum dico illum, cuius momenta, seu gradus, celeritatis a discessu ex quiete augentur iuxta ipsiusmet temporis incrementum a primo instanti lationis.

Varianti

1. Vol. 1, pag. 249.
2. Mes. Galileiani, Par. VI. T. VI, car. 13-14.
3. Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla Mecanica et i Movimenti Locali, del signor Galileo Galilei, ecc. In Leida, appresso gli Elsevirii. M.B.C. XXXVIII, pag. 150.
4. convenit, Licet Quamvis emim ex arbitrio aliquam
5. elicas
6. aut concoides concoidas
7. simpthomata
8. suppositione demonstrare non est inconveniens demonstrarunt
9. natura de iisdem eorundem
10. simpthomatis
11. quae sensui experimenta naturalia.
12. omnibus est, enim de more ipsius in suis operibus in quibus
13. aequabilem appellavi appellamus
14. quotcumque particulis temporis
15. in secundo tempore prima
16. quem habuit aqquivisit — in primo tempore prima
17. quem habet obtinet in tertio tempore tribus
18. in quarto 4 quadruplus
19. Videtur Apparet
20. adhuc tardius illo
21. aud
22. gravitate prementem premendo
23. impulsio effectus est non
24. papiri
25. crassitiem quod quot ictuum milliaria millia
26. igitur mobilis mobile licet gravissimi gravissimum
27. naturaliter descendentis descendens
28. experientias in medium afferre possem istud
29. mecanicis questionibus
30. inter mcn fcg
31. ut nullae sint lineae nulla
32. punctis o, i parallelis perpendicularibus
33. compraeliensas sub a
34. paralla
35. linae
36. brevissimo lineae infinitae inter punctum e et hi seu —
37. Da « hoc est » a « cum lineis ca, cb » è aggiunto in margine.
38. arbitror intelligere simulque concedere ex
39. naturaliter recedentium descendentium
40. alia longissimo acquirere —

Note del curatore

1. Da lationem a spatia è aggiunto in margine.
2. superaddantur è sostituito ad altra parola, che presentemente è illeggibile.
3. deinceps è aggiunta interlineare, autografa essa pure, ma d'altro inchiostro.
4. Brevius atque brevius è scritto interlinearmente sopra minus atque minus.
5. « a mobilibus ex quiete in e descendentibus » è aggiunto in margine.