Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/55

Haec pagina emendata est
45
moduli qui sunt numperi primi

cedentis, scilicet semper dari numeros, quorum nulla potestas inferior quam ta unitati congrua, et quidem totidem inter et , quot infra sint numeri ad primi. Cuius theorematis demonstratio quum minime tam obvia sit quam primo aspectu videri possit, propter theorematis dignitatem liceat aliam adhuc adiicere a praecedente aliquantum diversam, quandoquidem methodorum diversitas ad res obscuriores illustrandas plurimum conferre solet. Resolvatur in factores suos primos fiatque etc., designantibus etc. numeros primos inaequales. Tum theorematis demonstrationem per sequentia absolvemus:

I. Semper inveniri posse numerum (aut plures) ad exponentem pertinentem, similiterque numeros etc. ad exponentes etc. respective pertinentes.

II. Productum ex omnibus numeris etc. (sive huius producti residuum minimum) ad exponentem pertinere. Haec autem ita demonstramus.

I. Sit g numerus aliquis ex his , congruentiae non satisfaciens, omnes enim hi numeri congruentiae huic, cuius gradus , satisfacere nequeunt. Tum dico si potestas ta ipsius ponatur , hunc numerum, sive eius residuum minimum ad exponentem pertinere.

Namque patet potestatem tam ipsius congruam fore potestati tae ipsius i. e. unitati, potestas vero ta ipsius congrua erit potestati tae ipsius , i. e. unitati erit incongrua, multoque minus potestates tae etc. ipsius unitati congruae esse possunt. At exponens infimae potestatis ipsius unitati congruae, sive exponens ad quam pertinet , numerum metiri debet (art. 48). Quare quum per alios numeros divisibilis non sit quam per se ipsum, atque per inferiores ipsius potestates, necessario erit exponens ad quem pertinet. Q. E. D. Per similem methodum demonstratur, dari numeros ad exponentes etc. pertinentes.

II. Si supponimus, productum ex omnibus etc. non ad exponentem , sed ad minorem pertinere, ipsum metietur (art. 48), sive erit integer unitate maior. Facile autem perspicitur, hunc quotientem vel esse unum e numeris primis etc. vel saltem per aliquem eorum divisibilem (art. 17), ex. gr. per , de reliquis enim simile est ratiocinium.