DEMONSTRATIO NOVA ALTERA THEOREMATIS
OMNEM FUNCTIONEM ALGEBRAICAM RATIONALEM INTEGRAM
UNIUS VARIABILIS
IN FACTORES REALES PRIMI VEL SECUNDI GRADUS RESOLVI POSSE.
1.
Quamquam demonstratio theorematis de resolutione functionum algebraicarum integrarum in factores, quam in commentatione sedecim abhinc annis promulgata tradidi, tum respectu rigoris tum simplicitatis nihil desiderandum relinquere videatur, tamen haud ingratum fore geometris spero, si iterum ad eandem quaestionem gravissimam revertar atque e principiis prorsus diversis demonstrationem alteram haud minus rigorosam adstruere coner. Pendet scilicet illa demonstratio prior, partim saltem, a considerationibus geometricis: contra ea, quam hic exponere aggredior, principiis mere analyticis innixa erit. Methodorum analyticarum, per quas usque ad illud quidem tempus alii geometrae theorema nostrum demonstrare susceperunt, insigniores loco citato recensui, et quibus vitiis laborent, copiose exposui. Quorum gravissimum ac vere radicale omnibus illis conatibus, perinde ac recentioribus, qui quidem mihi innotuerunt, commune: quod tamen neutiquam inevitabile videri in demonstratione analytica, iam tunc declaravi. Esto iam penes peritos iudicium, an fides olim data per has novas curas pleno sit liberata.
2.
Disquisitioni principali quaedam praeliminares praemittentur, tum ne quid deesse videatur, tum quod ipsa forsan tractatio iis quoque, quae ab aliis iam delibata fuerant, novam qualemcunque lucem affundere poterit. Ac primo quidem de altissimo divisore communi duarum functionum algebraicarum integrarum unius indeterminatae agemus. Ubi praemonendum, hic semper tantum de functionibus integris sermonem esse: e qualibus duabus si productum confletur, utraque huius divisor vocatur. Divisoris ordo ex exponente summae potestatis indeterminatae quam continet diiudicatur, nulla prorsus coëfficientium numericorum ratione habita. Ceterum quae ad divisores communes functionum pertinent, eo brevius absolvere licet, quod iis, quae ad divisores communes numerorum spectant, omnino sunt analoga.
Propositis duabus functionibus indeterminatae quarum prior sit ordinis altioris aut saltem non inferioris quam posterior, formabimus aequationes sequentes
ea scilicet lege, ut primo
dividatur sueto more per
dein
per residuum primae divisionis
, quod erit ordinis inferioris quam
tunc rursus residuum primum per secundum
et sic porro, donec ad divisionem absque residuo perveniatur, quod tandem necessario evenire debere inde patet, quod ordo functionum
etc. continuo decrescit. Quas functiones perinde atque quotientes
etc. esse functiones
integras ipsius
, vix opus est monere. His praemissis, manifestum est,
I. regrediendo ab ultima istarum aequationum ad primam, functionem esse divisorem singularum praecedentium, adeoque certo divisorem communem propositarum .
II. Progrediendo a prima aequatione ad ultimam, elucet, quemlibet divisorem communem functionum etiam metiri singulas sequentes, et proin etiam ultimam Quamobrem functiones habere nequeunt ullum divisorem communem altioris ordinis quam omnisque divisor communis eiusdem ordinis ut erit ad hunc in ratione numeri ad numerum, unde hic ipse pro divisore communi summo erit habendus.
III. Si est ordinis i.e. numerus, nulla functio indeterminatae proprie sic dicta ipsas metiri potest: in hoc itaque casu dicendum est, has functiones divisorem communem non habere.
IV. Excerpamus ex aequationibus nostris penultimam; dein ex hac eliminemus adiumento aequationis antepenultimae; tunc iterum eliminemus adiumento aequationis praecedentis et sic porro: hoc pacto habebimus
si functiones
etc. ex lege sequente formatas supponamus
Erit itaque
valentibus signis superioribus pro
pari, inferioribus pro impari. In eo itaque casu, ubi
et
divisorem communem non habent, invenire licet hoc modo duas functiones
indeterminatae
tales, ut habeatur
V. Haec propositio manifesto etiam inversa valet, puta, si satisfieri potest aequationi
ita, ut
sint functiones integrae indeterminatae
ipsae
et
certo divisorem communem habere nequeunt.
3.
Disquisitio praeliminaris altera circa transformationem functionum symmetricarum versabitur. Sint etc. quantitates indeterminatae, ipsarum multitudo designemusque per illarum summam, per summam productorum e binis, per summam productorum e ternis etc., ita ut ex evolutione producti
oriatur
Ipsae itaque
etc. sunt functiones symmetricae indeterminatarum
etc, i.e. tales, in quibus hae indeterminatae eodem modo occurrunt, sive clarius, tales, quae per qualemcunque harum indeterminatarum inter se permutationem non mutantur. Manifesto generalius, quaelibet functio integra ipsarum
etc. (sive has solas indeterminatas implicet, sive adhuc alias ab
etc. independentes contineat) erit functio symmetrica integra indeterminatarum
etc.
4.
Theorema inversum paullo minus obvium. Sit functio symmetrica indeterminatarum etc., quae igitur composita erit e certo numero terminorum formae
denotantibus
etc. integros non negativos, atque
coëfficientem vel determinatum vel saltem ab
etc. non pendentem (si forte aliae adhuc indeterminatae praeter
etc. functionem
ingrediantur). Ante omnia inter singulos hos terminos ordinem certum stabiliemus, ad quem finem primo ipsas indeterminatas
etc. ordine certo per se quidem prorsus arbitrario disponemus, e.g. ita, ut
primum locum obtineat,
secundum,
tertium etc. Dein e duobus terminis
priori ordinem altiorem tribuemus quam posteriori, si fit
i.e. si e differentiis
etc. prima, quae non evanescit, positiva evadit. Quocirca quum termini eiusdem ordinis non differant nisi respectu coëfficientis
adeoque in terminum unum conflari possint, singulos terminos functionis
ad ordines diversos pertinere supponemus.
Iam observamus, si sit ex omnibus terminis functionis is, cui ordo altissimus competat, necessario esse maiorem, vel saltem non minorem, quam Si enim esset terminus quem functio utpote symmetrica, quoque involvet, foret ordinis altioris quam contra hyp. Simili modo erit maior vel saltem non minor quam porro non minor quam exponens sequens etc.: proin singulae differentiae etc. erunt integri non negativi.
Secundo perpendamus, si e quotcunque functionibus integris indeterminatarum etc. productum confletur, huius terminum altissimum necessario esse ipsum productum e terminis altissimis illorum factorum. Aeque manifestum est, terminos altissimos functionum etc. resp. esse etc. Hinc colligitur, terminum altissimum e producto
prodeuntem esse
quocirca statuendo
terminus altissimus functionis
certo erit ordinis inferioris quam terminus altissimus functionis
Manifesto autem
et proin etiam
fiunt functiones integrae symmetricae ipsarum
etc. Quamobrem
perinde tractata, ut antea
discerpetur in
ita ut
sit productum e potestatibus ipsarum
etc. in coëfficientem vel determinatum vel saltem ab
etc. non pendentem,
vero functio integra symmetrica ipsarum
etc. talis, ut ipsius terminus altissimus pertineat ad ordinem inferiorem, quam terminus altissimus functionis
Eodem modo continuando, manifesto tandem
ad formam
etc. redacta, i.e. in functionem integram ipsarum
etc. transformata erit.
5.
Theorema in art. praec. demonstratum etiam sequenti modo enunciare possumus: Proposita functione quacunque indeterminatarum etc. integra symmetrica assignari potest functio integra totidem aliarum indeterminatarum etc. talis, quae per substitutiones etc. transeat in Facile insuper ostenditur, hoc unico tantum modo fieri posse. Supponamus enim, e duabus functionibus diversis indeterminatarum etc. puta tum ex tum ex post substitutiones etc. resultare eandem functionem ipsarum , , etc. Tunc itaque erit functio ipsarum etc. per se non evanescens, sed quae identice destruitur post illas substitutiones. Hoc vero absurdum esse, facile perspiciemus, si perpendamus, necessario compositam esse e certo numero partium formae
quarum coëfficientes
non evanescant, et quae singulae respectu exponentium inter se diversae sint, adeoque terminos altissimos e singulis istis partibus prodeuntes exhiberi per
et proin ad ordines diversos referendos esse, ita ut terminus absolute altissimus nuUo modo destrui possit.
Ceterum ipse calculus pro huiusmodi transformationibus pluribus compendiis insigniter abbreviari posset, quibus tamen hoc loco non immoramur, quum ad propositum nostrum sola transformationis possibilitas iam sufficiat.
6.
Consideremus productum ex factoribus
quod per
denotabimus, et, quum indeterminatas
etc. symmetrice involvat, in formam functionis ipsarum
etc. redactum supponemus. Transeat haec functio in
, si loco ipsarum
etc. resp. substituuntur
,
,
etc. His ita factis, ipsam
vocabimus \textit{determinantem} functionis
Ita e.g. pro
habemus
Perinde pro
invenitur
Determinans functionis
itaque est functio coëfficientium
etc. talis, quae per substitutiones
etc. transit in productum ex omnibus differentiis inter binas quantitatum
,
,
etc. In casu eo, ubi
i.e. ubi unica tantum indeterminata
habetur, adeoque nullae omnino adsunt differentiae, ipsum numerum
tamquam determinantem functionis
adoptare conveniet.
In stabilienda notione determinantis, coëfficientes functionis tamquam quantitates indeterminatas spectare oportuit. Determinans functionis cum coëfficientibus determinatis
erit numerus determinatus
puta valor functionis
pro
,
,
etc. Quodsi itaque supponimus,
resolvi posse in factores simplices
sive
oriri ex
statuendo
etc., adeoque per easdem substitutiones
,
,
etc. resp. fieri
,
,
etc., manifesto
aequalis erit producto e factoribus
Patet itaque, si fiat
, inter quantitates
etc. duas saltem aequales reperiri debere; contra, si non fuerit
cunctas
etc. necessario inaequales esse. Iam observamus, si statuamus
sive
haberi
Si itaque duae quantitatum
etc. aequales sunt, e. g.
per
divisibilis erit, sive
et
implicabunt divisorem communem
. Vice versa, si
cum
ullum divisorem communem habere supponitur, necessario
aliquem factorem simplicem ex his
etc. implicare debebit, e.g. primum
quod manifeste fieri nequit, nisi
alicui reliquarum
etc. aequalis fuerit. Ex his omnibus itaque colligimus duo
Theoremata:
- Si determinans functionis fit certo cum divisorem communem habet, adeoque, si et divisorem communem non habent, determinans functionis nequit esse
- Si determinans functionis non est certo et divisorem communem habere nequeunt; vel, si et divisorem communem habent, necessario determinans functionis esse debet
7.
At probe notandum est, totam vim huius demonstrationis simplicissimae inniti suppositioni, functionem in factores simplices resolvi posse: quae ipsa suppositio, hocce quidem loco, ubi de demonstratione generali huius resolubilitatis agitur, nihil esset nisi petitio principii. Et tamen a paralogismis huic prorsus similibus non sibi caverunt omnes, qui demonstrationes analyticas theorematis principalis tentaverunt, cuius speciosae illusionis originem iam in ipsa disquisitionis enunciatione animadvertimus, quum omnes formam tantum radicum aequationum inquisiverint, dum existentiam temere suppositam demonstrare oportuisset. Sed de tali procedendi modo, qui nimis a rigore et claritate abhorret, satis iam in commentatione supra citata dictum est. Quamobrem iam theoremata art. praec., quorum altero saltem ad propositum nostrum non possumus carere, solidiori fundamento superstruemus: a secundo, tamquam faciliori, initium faciemus.
8.
Denotemus per functionem
quae, quoniam
per singulos denominatores est divisibilis, fit functio integra indeterminatarum
etc. Statuamus porro
ita ut habeatur
Manifesto pro
, fit
unde concludimus, functionem
indefinite divisibilem esse per
et perinde per
etc., nec non per productum
. Statuendo itaque
erit
functio integra indeterminatarum
etc., et quidem, perinde ut
symmetrica ratione indeterminatarum
etc. Erui poterunt itaque functiones duae integrae
indeterminatarum
etc., tales quae per substitutiones
etc. transeant in
resp. Quodsi itaque analogiam sequentes, functionem
i.e. quotientem differentialem
per
denotemus, ita ut
per easdem illas
substitutiones transeat in
patet
per easdem substitutiones transire in
i.e. in
adeoque necessario iam per se identice evanescere debere (art. 5): habemus proin aequationem identicam
Hinc si supponamus, ex substitutione
etc. prodire
erit etiam identice
ubi, quum
sint functionis integrae ipsius
vero quantitas determinata seu numerus, sponte patet,
et
divisorem communem habere non posse, nisi fuerit
Quod est ipsum theorema posterius art. 6.
9.
Demonstrationem theorematis prioris ita absolvemus, ut ostendamus, in casu eo, ubi et non habent divisorem communem, certo fieri non posse Ad hunc finem primo, per praecepta art. 2 erutas supponimus duas functiones integras indeterminatae puta et tales, ut habeatur aequatio identica
quam hic ita exhibemus:
sive, quoniam habemus
in forma sequente:
Exprimamus brevitatis caussa
quae est functio integra indeterminatarum
etc.
unde erit identice
Habebimus itaque aequationes identicas [1]
Supponendo itaque, productum ex omnibus
quod erit functio integra indeterminatarum
etc.,
etc. et quidem functio symmetrica respectu ipsarum
etc., exhiberi per
e multiplicatione cunctarum aequationum [1] resultabit aequatio identica nova [2]
Porro patet, quum productum indeterminatas etc. symmetrice involvat, inveniri posse functionem integram indeterminatarum etc. talem, quae per substitutiones etc. transeat in Sit illa functio, eritque etiam identice [3]
quoniam haec aequatio per substitutiones
etc. in identicam [2] transit.
Iam ex ipsa definitione functionis sequitur, identice haberi
Hinc etiam identice erit
et proin erit etiam identice
adeoque etiam identice [4]
Quamobrem e combinatione aequationum [3] et [4], et substituendo
etc. habebimus [5]
si per
denotamus valorem functionis
illis substitutionibus respondentem. Qui valor quum necessario fiat quantitas finita,
certo nequit esse
Q.E.D.
10.
E praecedentibus iam perspicuum est, quamlibet functionem integram unius indeterminatae cuius determinans sit decomponi posse in factores, quorum nullus habeat determinantem Investigato enim divisore communi
altissimo functionum et illa iam in duos factores resoluta habebitur. Si quis horum factorum iterum habet determinantem eodem modo in duos factores resolvetur, eodemque pacto continuabimus, donec in factores tales tandem resoluta habeatur, quorum nullus habeat determinantem
Facile porro perspicietur, inter hos factores, in quos resolvitur, ad minimum unum reperiri debere ita comparatum, ut inter factores numeri, qui eius ordinem exprimit, binarius saltem non pluries occurrat, quam inter factores numeri qui exprimit ordinem functionis puta, si statuatur denotante numerum imparem, inter factores functionis ad minimum unus reperietur ad ordinem referendus, ita ut etiam sit impar, atque vel vel Veritas huius assertionis sponte sequitur inde, quod est aggregatum numerorum, qui ordinem singulorum factorum ipsius exprimunt.
11.
Antequam ulterius progrediamur, expressionem quandam explicabimus, cuius introductio in omnibus de functionibus symmetricis disquisitionibus maximam utilitatem affert, et quae nobis quoque peropportuna erit. Supponamus, esse functionem quarundam ex indeterminatis etc., et quidem sit multitudo earum, quae in expressionem ingrediuntur, nullo respectu habito aliarum indeterminatarum, si quas forte implicet ipsa Permutatis illis indeterminatis omnibus quibus fieri potest modis tum inter se tum cum reliquis ex etc., orientur ex aliae expressiones ipsi similes, ita ut omnino habeantur
expressiones, ipsa
inclusa, quarum complexum simpliciter dicemus
complexum omnium Hinc sponte patet, quid significet aggregatum omnium
productum ex omnibus
etc. Ita e.g.
dicetur productum ex omnibus
productum ex omnibus
aggregatum omnium
etc.
Si forte est functio symmetrica respectu quarundam ex indeterminatis, quas continet, istarum permutationes inter se functionem non variant, quamobrem in complexu omnium quilibet terminus pluries, et quidem
vicibus reperietur, si est multitudo indeterminatarum, quarum respectu est symmetrica. Si vero non solum respectu indeterminatarum symmetrica est, sed insuper respectu aliarum, nec non respectu aliarum etc., ipsa non variabitur sive binae e primis indeterminatis inter se permutentur, sive binae e secundis sive binae e tertiis etc., ita ut semper
permutationes terminis identicis respondeant. Quare si ex his terminis identicis semper unicum tantum retineamus, omnino habebimus
terminos, quorum complexum dicemus
complexum omnium exclusis repetitionibus, ut a
complexu omnium admissis repetitionibus distinguatur. Quoties nihil expressis verbis monitum fuerit, repetitiones admitti semper subintelligemus.
Ceterum facile perspicietur, aggregatum omnium vel productum ex omnibus vel generaliter quamlibet functionem symmetricam omnium semper fieri functionem symmetricam indeterminatarum etc., sive admittantur repetitiones, sive excludantur.
12.
Iam considerabimus, denotantibus indeterminatas, productum ex omnibus exclusis repetitionibus, quod per designabimus. Erit itaque productum ex factoribus his
Quae functio quum indeterminatas
etc. symmetrice implicet, assignari poterit functio integra indeterminatarum
etc., per
denotanda, quae transeat in
, si loco indeterminatarum
etc. substituantur
etc. Denique designemus per
functionem solarum indeterminatarum
in quam
transit, si indeterminatis
etc. tribuamus valores determinatos
etc.
Hae tres functiones considerari possunt tamquam functiones integrae ordinis indeterminatae cum coëfficientibus indeterminatis, qui quidem coëfficientes erunt
- pro functiones indeterminatarum etc.
- pro functiones indeterminatarum etc.
- pro functiones solius indeterminatae
Singuli vero coëfficientes ipsius transibunt in coëfficientes ipsius per substitutiones etc. nec non in coëfficientes ipsius per substitutiones etc. Eadem, quae modo de coëfficientibus diximus, etiam de determinantibus functionum valebunt. Atque in hos ipsos iam propius inquiremus, et quidem eum in finem, ut demonstretur
Theorema. Quoties non est determinans functionis certo nequit esse identice
13.
Perfacilis quidem esset demonstratio huius theorematis, si supponere liceret, resolvi posse in factores simplices
Tunc enim certum quoque esset,
esse productum ex omnibus
atque determinantem functionis
productum e differentiis inter binas quantitatum
Hoc vero productum identice evanescere nequit, nisi aliquis factorum per se identice fiat
unde sequeretur, duas quantitatum
etc. aequales esse, adeoque determinantem
functionis
fieri
contra hyp.
At seposita tali argumentatione, quam ad instar art. 6 a petitione principii proficisci manifestum est, statim ad demonstrationem stabilem theorematis art. 12 explicandam progredimur.
14.
Determinans functionis erit productum ex omnibus differentiis inter binas , quarum differentiarum multitudo est
Hic numerus itaque indicat ordinem determinantis functionis
respectu indeterminatae
Determinans functionis
quidem ad eundem ordinem pertinebit: contra determinans functionis
utique ad ordinem inferiorem pertinere potest, quoties scilicet quidam coëfficientes inde ab altissima potestate ipsius
evanescunt. Nostrum iam est demonstrare, in determinante functionis
omnes certo coëfficientes evanescere non posse.
Propius considerando differentias illas, quarum productum est determinans functionis deprehendemus, partem ex ipsis (puta differentias inter binas tales, quae elementum commune habent) suppeditare
e reliquis vero (puta e differentiis inter binas
tales, quarum elementa diversa sunt) oriri
Productum prius factorem unumquemque
manifesto
vicibus continebit, quemvis factorem
autem
vicibus, unde facile concludimus, hocce productum fieri
Quodsi ita productum posterius per
designamus, determinans functionis
erit
Denotando porro per
functionem indeterminatarum
etc. eam, quae transit in
per substitutiones
etc., nec non per
functionem solius
eam, in quam transit
per substitutiones
etc., patet determinantem functionis
fieri
determinantem functionis
autem
Quare quum per hypothesin
non sit
res iam in eo vertitur, ut demonstremus,
certo identice evanescere non posse.
15.
Ad hunc finem adhuc aliam indeterminatam introducemus, atque productum ex omnibus
exclusis repetitionibus considerabimus, quod quum ipsas
etc. symmetrice
involvat, tamquam functio integra indeterminatarum
etc. exhiberi poterit. Denotabimus hanc functionem per
Multitudo illorum factorum
erit
unde facile colligimus, fieri
et proin etiam
nec non
Functio
generaliter quidem loquendo ad ordinem
referenda erit: at in casibus specialibus utique ad ordinem inferiorem pertinere potest, si forte contingat, ut quidam coëfficientes inde ab altissima potestate ipsius
evanescant: impossibile autem est, ut illa functio tota sit identice
quum
aequatio modo inventa doceat, functionis saltem terminum ultimum non evanescere. Supponemus, terminum altissimum functionis
qui quidem coëfficientem non evanescentem habeat, esse
. Si igitur substituimus
patet,
esse functionem integram indeterminatarum
sive quod idem est, functionem ipsius
cum coëfficientibus ab indeterminata
pendentibus, ita tamen ut terminus altissimus sit
, et proin coëfficientem determinatum ab
non pendentem habeat, qui non sit
Perinde
erunt functiones integrae indeterminatae
tales ut singularum terminus altissimus sit
, terminorum sequentium autem coëfficientes resp.
etc. pendeant. Hinc productum ex
factoribus
erit functio integra ipsius
cuius terminus altissimus erit
dum terminorum sequentium coëfficientes pendent ab indeterminatis
etc.
Consideremus iam porro productum ex factoribus his
quod quum sit functio indeterminatarum,
c etc.
etc., et quidem symmetrica respectu ipsarum
etc., exhiberi poterit tamquam functio indeterminatarum
etc.
etc. per
denotanda. Erit itaque
productum ex factoribus
et proin indefinite divisibilis per
quum facile perspiciatur, quemlibet factorem ipsius
in aliquo illorum factorum implicari. Statuemus itaque
ubi characteristica
functionem integram exhibebit. Hinc vero facile deducitur, etiam identice esse
Sed supra demonstravimus, productum e factoribus
quod erit
habere terminum altissimum
eundem proin terminum altissimum habebit functio
adeoque certo non est identice
Quocirca etiam
nequit esse identice
neque adeo etiam determinans functionis
Q.E.D.
16.
Theorema. Denotet productum ex quotcunque factoribus talibus, in quos indeterminatae lineariter tantum ingrediuntur, sive qui sint formae
sit porro alia determinata. Tunc functio
indefinite erit divisibilis per Dem. Statuendo
erunt
etc. functiones integrae indeterminatarum
etc. atque
Substitutis hisce valoribus in factoribus, e quibus conflatur productum
puta in
hi obtinent valores sequentes
quapropter
erit productum ex
in factores
etc. i.e. ex
in functionem integram indeterminatarum
etc. Q.E.D.
17.
Theorema art. praec. manifesto applicabile est ad functionem quam abhinc per
exhiberi supponemus, ita ut
indefinite divisibilis evadat per
quotientem, qui erit functio integra indeterminatarum
etc., symmetrica respectu ipsarum
etc., exhibebimus per
Hinc concludimus , fieri etiam identice
nec non
Quodsi itaque functionem
simpliciter exhibemus per
ita ut habeatur
erit identice
18.
Si itaque e valoribus determinatis ipsarum puta ex prodire supponimus
erit identice
Quoties
non evanescit, statuere licebit
unde emergit
quod etiam ita enunciare licet:
Si in functione statuitur transibit ea in
19.
Quum in casu eo, ubi non est determinans functionis sit
functio indeterminatae per se non evanescens, manifesto multitudo valorum determinatorum ipsius per quos hic determinans valorem nancisci potest, erit numerus finitus, ita ut infinite multi valores determinati ipsius assignari possint, qui determinanti illi valorem a diversum concilient. Sit talis valor
ipsius (quem insuper realem supponere licet). Erit itaque determinans functionis non , unde sequitur, per theorema II. art. 6 , functiones
habere non posse divisorem ullum communem. Supponamus porro, exstare aliquem valorem determinatum ipsius
puta
(sive realis sit, sive imaginarius i.e. sub forma
contentus), qui reddat
i.e. esse
Erit itaque
factor indefinitus functionis
et proin functio
eerto per
non divisibilis. Supponendo itaque, hanc functionem
nancisci valorem
si statuatur
certo esse nequit
. Manifesto autem
erit valor quotientis differentialis partialis
pro
,
quodsi itaque insuper pro iisdem valoribus ipsarum
valorem quotientis differentialis partialis
per
denotemus, perspicuum est per ea quae in art. praec. demonstrata sunt, functionem
per substitutionem
identice evanescere, adeoque per factorem
indefinite esse divisibilem. Quocirca statuendo
patet,
divisibilem esse per
adeoque obtinere valorem
, si pro
accipiatur radix aequationis
i.e. si statuatur
quos valores vel reales esse vel sub forma
contentos constat.
Facile iam demonstratur, per eosdem valores ipsius etiam functionem evanescere debere. Manifesto enim est productum ex omnibus exclusis repetitionibus, et proin Hinc sponte sequitur
sive
, cuius itaque valor determinatus evanescere nequit, nisi simul evanescat valor ipsius
20.
Adiumento disquisitionum praecedentium reducta est solutio aequationis
i.e. inventio valoris determinati ipsius vel realis vel sub forma contenti, qui illi satisfaciat, ad solutionem aequationis siquidem determinans functionis non fuerit Observare convenit, si omnes coëfficientes in i.e. numeri etc. sint quantitates reales, etiam omnes coëfficientes in reales fieri, siquidem, quod licet, pro quantitas realis accepta fuerit. Ordo aequationis secundariae exprimitur per numerum quoties igitur est numerus par formae denotante indefinite numerum imparem, ordo aequationis secundariae exprimitur per numerum formae
In casu eo, ubi determinans functionis fit assignari poterit per art. 10 functio alia ipsam metiens, cuius determinans non sit et cuius
ordo exprimatur per numerum formae , ita ut sit vel vel Quaelibet solutio aequationis etiam satisfaciet aequationi solutio aequationis iterum reducetur ad solutionem alius aequationis, cuius ordo exprimetur per numerum formae
Ex his itaque colligimus, generaliter solutionem cuiusvis aequationis, cuius ordo exprimatur per numerum parem formae reduci posse ad solutionem alius aequationis, cuius ordo exprimatur per numerum formae ita ut sit Quoties hic numerus etiamnum par est, i.e. non eadem methodus denuo applicabitur, atque ita continuabimus, donec ad aequationem perveniamus, cuius ordo exprimatur per numerum imparem; et huius aequationis coëfficientes omnes erunt reales, siquidem omnes coëfficientes aequationis primitivae reales fuerunt. Talem vero aequationem ordinis imparis certo solubilem esse constat, et quidem per radicem realem, unde singulae quoque aequationes antecedentes solubiles erunt, sive per radices reales sive per radices formae .
Evictum est itaque, functionem quamlibet formae ubi etc. sunt quantitates determinatae reales, involvere factorem indefinitum ubi sit quantitas vel realis vel sub forma contenta. In casu posteriori facile perspicitur, nancisci valorem etiam per substitutionem adeoque etiam divisibilem esse per et proin etiam per productum Quaelibet itaque functio certo factorem indefinitum realem primi vel secundi ordinis implicat, et quum
idem iterum de quotiente valeat, manifestum est, in factores reales primi vel secundi ordinis resolvi posse. Quod demonstrare erat propositum huius commentationis.